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1、會(huì)計(jì)學(xué)1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末復(fù)習(xí)題概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末復(fù)習(xí)題 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)一、填空題一、填空題 CBA1.設(shè)設(shè)A、B、C為三事件,則事件為三事件,則事件“A發(fā)生發(fā)生B與與C都不發(fā)生都不發(fā)生”可可 表示為表示為_; 事件事件“A、B、C不都發(fā)生不都發(fā)生”可表示為可表示為_ 事件事件“A、B、C都不發(fā)生都不發(fā)生”可表示為可表示為_。CBACBA 2. 100件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有10件次品,任取件次品,任取5件恰有件恰有3件次品的概率為件次品的概率為_(只寫算式)。(只寫算式)。5100290310CCC 3, 132 , 5 . 021 , 4 . 01, 0 xxx
2、xxF3. 已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 ,則P(X=1)=_0.4 ,P(X=2.5)= 0_ 4. 設(shè)設(shè) 3 , 1 NX則則X的函數(shù)的函數(shù)Y= 31X N(0,1) 。 第1頁/共42頁5.設(shè)二維隨機(jī)變量(設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為 121,jiyYxXP; 3 , 2 , 1i4 , 3 , 2 , 1j則則1xXP_1/3_ _15_2XD5 .1EX62EX _3_2XE_75. 3_)(XD6.已知已知,則則 7. 在假設(shè)檢驗(yàn)中若原假設(shè)在假設(shè)檢驗(yàn)中若原假設(shè)H0實(shí)際為真時(shí)卻拒絕實(shí)際為真時(shí)卻拒絕H0 ,稱這類錯(cuò)誤為稱這類錯(cuò)誤為 棄真(第
3、一類棄真(第一類)錯(cuò)誤錯(cuò)誤 8.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 pnbX,4 .2EX44. 1DX則則_6_n_4 . 0_p 66 . 00 xp9.若X2(10),則E(X)=10,D(X)=2010. P(2(11)s)=0.05,則675.19)11(250 . 0s357.080.21)12,9(1)12,9(1)9,12(.110.0595.0195.0FFF05.005.005.095.0)50()5()5(.12uttt,第2頁/共42頁213121)(,)(,)(ABPBPAP,12/7)(, 4/ 1)(BAPABP則4/3)(BAP13.13.已知已知A,BA,B為兩事件,為兩事
4、件,14.14.已知已知A A,B B為兩事件,為兩事件, 4 . 0AP6 . 0ABP16. 0ABP則15. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量XN(0,1),Y U(0,1),Z B(5,0.5),且且X,Y,Z獨(dú)立,獨(dú)立, 則則E(2X+3Y)(4Z-1) = 27/2 16.若若X與與Y相互獨(dú)立,則必有相互獨(dú)立,則必有X與與Y 不相關(guān)不相關(guān)第3頁/共42頁二、解答題二、解答題 1.將兩信息分別編碼為將兩信息分別編碼為A和和B傳送出去,接收站收到時(shí),傳送出去,接收站收到時(shí), A被誤收作誤收作B的概率為的概率為 0.02,而,而 B被誤收作被誤收作 A的概率為的概率為 0.01.信息信息 A與信息信
5、息 B傳送的頻率程度為傳送的頻率程度為2:1。 (1)若接受站收到一信息,是若接受站收到一信息,是 A的概率是多少?的概率是多少? (2)若接受站收到的信息是)若接受站收到的信息是 A,問原發(fā)信息是,問原發(fā)信息是 A的概率是多少?的概率是多少? 解:設(shè)解:設(shè) 21AA,分別表示發(fā)出分別表示發(fā)出A,B. 1B2B 分別表示收到分別表示收到A,B 2121111ABPAPABPAPBP01. 03198. 0326567.0 9949. 01971966567. 098. 032111111BPABPAPBAP第4頁/共42頁)()()(1)(2121nnAPAPAPAAAP2、乘法公式的簡(jiǎn)化乘法
6、公式的簡(jiǎn)化:若事件A1,A2,An相互獨(dú)立, 則 )()()()(2121nnAPAPAPAAAP第5頁/共42頁另解 02. 0)8 . 01)(9 . 01 ()()()()(BPAPBAPCP98. 0)(1)(CPCP第6頁/共42頁3 .甲、乙、丙三人獨(dú)立破譯一份密碼。已知甲、乙、丙三人能譯出的概率甲、乙、丙三人獨(dú)立破譯一份密碼。已知甲、乙、丙三人能譯出的概率 分別為分別為1/5,1/3,1/4。(1)求密碼能破譯的概率;)求密碼能破譯的概率;(2)求甲、乙、丙中恰有一人破譯密碼的概率。)求甲、乙、丙中恰有一人破譯密碼的概率。解解 設(shè)設(shè)A,B,C分別表示甲、乙、丙譯出的事件,分別表示
7、甲、乙、丙譯出的事件, D表示密碼被破譯的事件,表示密碼被破譯的事件, E表示恰有一人譯出的事件,則表示恰有一人譯出的事件,則53)(1)()(52)411)(311)(511 ()(*)(*)()()() 1 (DPCBAPDPCPBPAPCBAPDP3013)()()()()()()()()()()()2(CPBPAPCPBPAPCPBPAPCBACBACBAPEP恰有一人譯出的概率為第7頁/共42頁4.設(shè)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量,已知是連續(xù)型隨機(jī)變量,已知X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 00,00,)(,xxAexfx試求試求 (1)常數(shù)常數(shù)A (2)X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x) 10)(00
8、AdxAedxdxxfxA解:解: xdxxfxF)()(,當(dāng)0 x00)(xdxxF0 x當(dāng)xxxxedxedxdxxfxF10)()(000001)(xxexFx第8頁/共42頁5.已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為其他021210 xxxaxxf)(求求 (1)常數(shù)常數(shù)a (2)分布函數(shù)分布函數(shù) )2321(3 XP)(4)求)求E(X),D(X) 解:解: 1212)2(1)(12110adxxaxdxdxxf)(得得a =12121)2 (1000)(21010 xxdtttdtxtdtxxFxx)(2121122102100)(22xxxxxxxxF)2321(3
9、XP)(43)22 (2)2 ()(231212122311212321xxxdxxxdxdxxf131312421321210321102xxxdxxxdxxEX)(6741324122132131042121032xxxdxxxdxxEX6116722EXEXDX第9頁/共42頁6.6. 設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過3 3盞信號(hào)燈。每盞信盞信號(hào)燈。每盞信號(hào)燈以概率號(hào)燈以概率1/21/2允許汽車通過或禁止汽車通過。以允許汽車通過或禁止汽車通過。以X表示汽車首表示汽車首次停下時(shí),它已通過的信號(hào)燈的盞數(shù)次停下時(shí),它已通過的信號(hào)燈的盞數(shù)( (各信號(hào)燈工作相互
10、獨(dú)立各信號(hào)燈工作相互獨(dú)立) )。求求X的分布律、分布函數(shù)以及概率的分布律、分布函數(shù)以及概率),2523(),23(XPXP解解 設(shè)設(shè)p為每盞信號(hào)燈禁止汽車通過的概率,則為每盞信號(hào)燈禁止汽車通過的概率,則 P(X=k)=p(1-p)k,k=0,1,2;P(X=3)=(1-p)3,故,故X的分布律為:的分布律為:) 32( XPX0123P1/21/41/81/8X的分布函數(shù):的分布函數(shù):332211000)()(81814121814121412121xxxxxxXPxF3132211000874321xxxxx第10頁/共42頁7. 7. 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量X X的分布函數(shù)為的分布函
11、數(shù)為2/122,21 ,3/211,1,0)()(且XPxbaxaxaxxF求求a,ba,b及及X X的分布律的分布律,E(X),D(X),E(X),D(X)。解解 因因P(X=2)=a+b-(2/3-a)=1/2 P(X=2)=a+b-(2/3-a)=1/2 ,a+b=1a+b=1 于是于是a=1/6,b=5/6a=1/6,b=5/6 X X的分布律為的分布律為 X -1 1 2 p 1/6 1/3 1/2第11頁/共42頁8. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 求(求(1)常數(shù))常數(shù)A,B的值;的值; (2)P(-1X1);); (3)求)求X的密度函數(shù)。的密度函
12、數(shù)。 )0(0,00,)(xxBeAxFx0, 00,1)(10)(lim1)(lim)(1 ) 1 (0 xxexFBBAxFXAABeAFxxxx故以分布函數(shù)是連續(xù)的,是連續(xù)型隨機(jī)變量,所因解eFFXP1) 1() 1 () 11() 2(0 x, 00 x,e)x(F)x(f )3(x/第12頁/共42頁萬公里的概率。只行駛路程不足只輪胎,試求至少有兩今從中隨機(jī)抽取其概率密度為是一個(gè)隨機(jī)變量,已知(以萬公里計(jì))能行駛的路程設(shè)某種輪胎在損壞以前305,0, 00,101)(; 910 xxexfXx 99997. 09502. 019502. 0159502. 019502. 005130
13、59502. 01101)(3030415030300310PedxedxxfXPx萬公里的概率為駛路程不足只輪胎中至少有兩只行)(萬公里的概率為程不足解一只輪胎能行駛的路第13頁/共42頁10.二維隨機(jī)變量(二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為其他,00 , 10,1,xyxyAyyxf(1)試確定常數(shù)試確定常數(shù)A;(2)求關(guān)于求關(guān)于X和和Y的邊緣密度函數(shù);的邊緣密度函數(shù);(3)判斷判斷X和和Y是否相互獨(dú)立。是否相互獨(dú)立。解:解:(1) dyyAydxdxdyyxfx 0101,112321032AdxxAxA12A 其他其他)(, 010 ,46010)1 (12,232
14、0 xxxxdyyydyyxfxfxX其他其他010)1 (12010)1 (12),()(21yyyydxyydxyxfyfy yfxfyxfYX,3)(所以 X與Y不獨(dú)立第14頁/共42頁11.二維隨機(jī)變量(二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為 (1), 01,01( , )0,Ay xyxyf x y 其 他(1)確定常數(shù))確定常數(shù)A (2)試問)試問X與與Y是否相互獨(dú)立?是否相互獨(dú)立? 解:解:(1) dxdyyxf,1dxxyyAdy10101dyyxxyxA1010221AyyA474310274A dyxyydyyxfxfX174,210)(xxyyy37221
15、21741022當(dāng)當(dāng)0 x1 dxxyydxyxfyfY174,10yyxxyx231742174102當(dāng)當(dāng)0y1. yxfyfxfYX,所以所以X與與Y不獨(dú)立不獨(dú)立 第15頁/共42頁(1)求常數(shù)求常數(shù)K;(2)求聯(lián)合分布函數(shù)求聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y);(3) 求概率求概率P(X+2Y 1)。 12.12. 已知已知解解 (1)其其它它00, 0),(),(32yxKeyxfYXyx 1),(dxdyyxf00321dyKedxyx030216kdyedxeKyxK=6O xyx+2y=1(2) xydudvvufyxF),(),(其它其它00, 060 032yxdudvex yvu其它其
16、它00, 0)1)(1 (32yxeeyx(3)10210326) 12(xyxdyeedxYXP5135. 02)1(2101032dxeexyx第16頁/共42頁13. 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具具有概率密度函數(shù)有概率密度函數(shù) 其它其它0 00y, 0 xe),()yx(xyxf(1)求求X,Y的邊緣概率密度;的邊緣概率密度;(2)問問X與與Y是否相互獨(dú)立?是否相互獨(dú)立?O xy解解 dyyxfxfX),()(其它其它0 00 xxe0)yx(dy其其它它0 00 xxexdxyxffY),()y(其它其它0 00yexey0yx(dx)由于由于f(x,y)=fX(x)fY(
17、y) ,因此,因此X與與Y相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。第17頁/共42頁14. 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為YX010q010p其中其中p+q=1,求相關(guān)系數(shù),求相關(guān)系數(shù)XY ,判斷判斷X,Y相相關(guān)性和獨(dú)立性。關(guān)性和獨(dú)立性。解解 由題意可得由題意可得X,Y的邊緣分布律為的邊緣分布律為X01PqpY01Pqp均為均為01分布,分布, E(X),D(X)=pq,E(Y)=p,D(Y)=pq,所以所以Cov(X,Y)=E(XY) E(X)E(Y) =00q+010+100+11p pp =p p2=pq因此因此1)()(),(CovpqpqpqYDXDYXXY(1)X,
18、Y正相關(guān)正相關(guān)(2) X,Y不獨(dú)立不獨(dú)立第18頁/共42頁其其它它0),(2),(Dyxyxf解解322)(010 xdyxdxXE312)(010 xydydxYE181942)(0102xdydxxXD412)(010 xydyxdxXYE181912)(0210 xdyydxYD361)()()(),(CovYEXEXYEYX)()(),(CovYDXDYXXY2115.設(shè)設(shè)(X,Y)服從區(qū)域服從區(qū)域D:0 x1,0yx上的均勻分布上的均勻分布,求求X與與Y的相關(guān)系數(shù)。的相關(guān)系數(shù)。第19頁/共42頁16.16. (X,Y)的聯(lián)合分布律如下:的聯(lián)合分布律如下: 試求試求(1)X,Y的邊緣分
19、布律。的邊緣分布律。 解解YX1234pi11/40001/421/81/8001/431/121/121/1201/441/161/161/161/161/4pj25/4813/487/483/48(1)X和和Y的邊緣分布律分別為的邊緣分布律分別為X1234P1/41/41/41/4Y1234P25/48 13/487/483/48,的獨(dú)立性判斷的相關(guān)性判斷)(X)4(YX,)3(21 , 35 .1P2YX24/512/18/121 , 35 .1P2YX)(不獨(dú)立計(jì)算YXpppYDXDYXjiij,*)4()()(),cov() 3(第20頁/共42頁17.某校抽樣調(diào)查結(jié)果表明,考生的概
20、率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)成績(jī)某校抽樣調(diào)查結(jié)果表明,考生的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布近似地服從正態(tài)分布 ,平均成績(jī)平均成績(jī) 72分,分,96分以上的占考生總數(shù)的分以上的占考生總數(shù)的2.3,求考生的概率統(tǒng)計(jì)成績(jī)?cè)冢罂忌母怕式y(tǒng)計(jì)成績(jī)?cè)?0分至分至84分之間的概率。分之間的概率。),(2N ),72(2NX解:%3 . 272961)96(1)96(XPXP977.02422412682. 01) 1 (2) 1() 1 (127260127284)8460(XP第21頁/共42頁18 . 某車間有某車間有200臺(tái)車床,每臺(tái)車床有臺(tái)車床,每臺(tái)車床有60%的時(shí)間在開動(dòng),每臺(tái)車床的時(shí)間在開動(dòng),每臺(tái)
21、車床開動(dòng)期間的耗電量為開動(dòng)期間的耗電量為1千瓦,問至少應(yīng)供應(yīng)給此車間多少電量才千瓦,問至少應(yīng)供應(yīng)給此車間多少電量才能以能以99.9%的概率保證此車間不因供電不足而影響生產(chǎn)?的概率保證此車間不因供電不足而影響生產(chǎn)?解:設(shè)至少需供給解:設(shè)至少需供給nE千瓦電量千瓦電量,X為同時(shí)開動(dòng)的車床數(shù),則為同時(shí)開動(dòng)的車床數(shù),則 ) 6 . 0 ,200( BX484 . 06 . 0200)1 (,1206 . 0200pnpnp999. 0 nXP999. 04812048120nXP01. 348120999. 0)48120(nn141n第22頁/共42頁nXXX,.1921設(shè)為總體的一個(gè)樣本,總體為總
22、體的一個(gè)樣本,總體X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 其他,010,1xxxf其中其中 0為未知參數(shù)。為未知參數(shù)。 求:(求:(1) 的矩估計(jì)量的矩估計(jì)量 (2) 的極大似然估計(jì)量。的極大似然估計(jì)量。 解:解:(1) 1110110 xdxxdxxxfXE)(XXE1)(解得矩估計(jì)量為:解得矩估計(jì)量為: XX1第23頁/共42頁(2)似然函數(shù)為似然函數(shù)為 niiixfLx1)()(, 0niinniixx1111 niixnL1ln1lnln 0lnln1niixndLd解得極大似然估計(jì)為:解得極大似然估計(jì)為: niixn1lnniin1Xln第24頁/共42頁20.為了解燈泡使用時(shí)數(shù)的均值為
23、了解燈泡使用時(shí)數(shù)的均值 及標(biāo)準(zhǔn)差及標(biāo)準(zhǔn)差 ,測(cè)量,測(cè)量10個(gè)燈泡,得個(gè)燈泡,得 hShx20,1500如果已知燈泡的使用時(shí)數(shù)服從正態(tài)分布,求如果已知燈泡的使用時(shí)數(shù)服從正態(tài)分布,求 ,的的95%的置信區(qū)間的置信區(qū)間 解解:(1)這是一個(gè)總體方差未知求這是一個(gè)總體方差未知求 的置信度為的置信度為0.95的置信區(qū)間的問題的置信區(qū)間的問題 262. 2) 9 () 1(025. 02tnt20,1500,10Sxn31.1514,69 21500,1020262. 21500/) 1(,/) 1(22nSntxnSntx(2)這是一個(gè)求這是一個(gè)求 的置信度為的置信度為0.95
24、的置信區(qū)間的問題的置信區(qū)間的問題 700. 2) 9 () 1(2975. 0221n023.19)9() 1(2025. 022n33.1333,24.189700. 2209,023.19209) 1() 1(,) 1() 1(2222122222nSnnSn的為:),的為(33.13324.189第25頁/共42頁21 .某校進(jìn)行教學(xué)改革,一學(xué)科學(xué)生成績(jī)某校進(jìn)行教學(xué)改革,一學(xué)科學(xué)生成績(jī)X服從正態(tài)分布,服從正態(tài)分布, 2,均未知。均未知?,F(xiàn)抽測(cè)現(xiàn)抽測(cè)19人的成績(jī)?nèi)缦拢喝说某煽?jī)?nèi)缦拢?0 80 67 86 61 96 92 87 62 51 81 99 76 86 93 79 81 62 4
25、7問是否有理由認(rèn)為該科的平均成績(jī)大于對(duì)照組的平均成績(jī)問是否有理由認(rèn)為該科的平均成績(jī)大于對(duì)照組的平均成績(jī)70? 05. 0解:檢驗(yàn)解:檢驗(yàn) :0H700:1H0選取統(tǒng)計(jì)量:選取統(tǒng)計(jì)量: nSXt0由題意條件得:由題意條件得: 19n023.156316.76sX,9241.10nSXt734.11805.0 t故拒絕故拒絕 H0即認(rèn)為該科的平均成績(jī)大于對(duì)照組的平均成績(jī)即認(rèn)為該科的平均成績(jī)大于對(duì)照組的平均成績(jī)70。拒絕域拒絕域734. 1)18() 1(T05. 0tnt假設(shè)檢驗(yàn)九種類型!假設(shè)檢驗(yàn)九種類型!第26頁/共42頁22. )1 , 0( NX(X1,X2,X6)為為X的一個(gè)樣本的一個(gè)樣本
26、求常數(shù)求常數(shù)C使得使得CY服從服從 2分布。分布。26542321)XXX()XXX(Y解解 因?yàn)橐驗(yàn)?X1,X2X6)為為X的一個(gè)樣本的一個(gè)樣本,XiN(0,1),i=1,26則則) 3 , 0 (N)XXX(3 , 0 (N)XXX(654321)) 1 , 0(N3XXX1 , 0(N3XXX654321))n()3XXX()3XXX(226542321所以,取常數(shù)所以,取常數(shù)C=1/3使得使得CY服從服從 2分布分布第27頁/共42頁23.設(shè)總體設(shè)總體X服從服從N(0,1),樣本,樣本X1,X2Xn來自總體來自總體X,試求,試求常數(shù)常數(shù)c使統(tǒng)計(jì)量使統(tǒng)計(jì)量 服從服從t-分布分布.2524
27、2321)(XXXXXc3/2ct(3) 服從)(相互獨(dú)立又因?yàn)榉姆姆姆慕猓?/2,)3()1 ,0(,)1 ,0(2)2,0(2524232121225242325,4321121XXXXXYYXXXYNXXXNXXYNXX第28頁/共42頁24. (X1,X2,X5)為取自正態(tài)總體為取自正態(tài)總體XN(0,2)的樣本,的樣本,求統(tǒng)計(jì)量求統(tǒng)計(jì)量)(2)(32524232221XXXXX的分布的分布解解), 0(2NXi)5 , 2 , 1(i) 1 , 0(0NXXii)2(22221XX) 3(2252423XXX) 3 , 2(322524232221FXXXXX)3 , 2()(
28、2)(32524232221FXXXXX第29頁/共42頁25. 25. 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X有如下分布律,試求隨機(jī)有如下分布律,試求隨機(jī)變量變量Y=(X- -3)2+1的分布律的分布律 X1357P0.50.1 0.15 0.25解解 Y的所有可能取值為的所有可能取值為1,5,171 . 0)3() 11)3() 1(2XPXPYP65. 015. 05 . 0)5() 1()51)3()5(2XPXPXPYP25. 0)7()171)3()17(2XPXPYP故,故,Y的分布律為的分布律為Y1517P0.10.650.25第30頁/共42頁設(shè)設(shè)(X1,X2,Xn)是正態(tài)總體是
29、正態(tài)總體N(,2)的樣本,則的樣本,則 (1)nNX2,(2) 1()XX(1) 1(2n1i2i222nSn(3)X與與S2獨(dú)立獨(dú)立(4)()X(12n1i2i2n)1()5(ntnSX第31頁/共42頁2626.設(shè)設(shè)X X1 1, X X2 2 ,X X2525是取自是取自N N(2121,4)4)的樣本的樣本, , 求(求(1 1)樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差;)樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差;24.021-XP)2()254,21(NX25n),4,21(NX4514. 01)6 . 0(26 . 04 . 021-X24. 021-X) 1 , 0(N0.421-X)16. 0 ,21(NXP
30、P16. 0254)XD(,21)X(E解解:第32頁/共42頁2727.設(shè)設(shè)X X1 1, ,X X1010是取自是取自N N(2 2,16)16)的樣本的樣本, , 求求a a。解:解:95. 0252 aSP 10122)(91iiXXS)9(16922 S95. 0409169140916925222aSPaSPaSP919.16)9(409250 . 0a196.75 a第33頁/共42頁28. 28. 設(shè)設(shè)X X1 1,X X2 2, , ,X X8 8 是取自是取自N(1,9)N(1,9)的樣本的樣本, ,求樣本方差求樣本方差 S S2 2的期望與方差。的期望與方差。解:解: 8
31、122)(71iiXXS)7(9722 S7)(97)97(22 SESE9)(2 SE14)(8149)97(22 SDSD7162)(2 SD第34頁/共42頁29.29.設(shè)設(shè)X X1 1,X X2 2, , ,X X9 9 是取自是取自N(0,9)N(0,9)的樣本的樣本, ,求求解:解:)9 , 0( NXi0 SXP)8(3)(tSXSXn21031030SXPSXPSXP第35頁/共42頁30. 設(shè)總體設(shè)總體X的的k階矩存在,則不論階矩存在,則不論X的分布如何,樣本的分布如何,樣本k階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩nikikXnA11是總體是總體k階矩的無偏估計(jì)。階矩的無偏估計(jì)。證明證明設(shè)設(shè)X的的
32、k階矩階矩 k=E(Xk),k1(X1,X2,Xn)是來自正態(tài)總體是來自正態(tài)總體X的一個(gè)樣本,則的一個(gè)樣本,則kkkiXEXE)()(ni, 2 , 1)1()(1nikikXnEAEnikiXEn1)(1knikn1)(1所以所以Ak是是k的無偏估計(jì)的無偏估計(jì).第36頁/共42頁31. 設(shè)設(shè)XN(0,2),(1)證明證明 是是2無偏估計(jì)無偏估計(jì)。(2)求)求(X1,X2,Xn)是來自總體是來自總體X的一個(gè)樣本的一個(gè)樣本niiXn122122112122n1D1E11EEnXnXnXnniiniinii)(解:niiXn1221是是2無偏估計(jì)。無偏估計(jì)。2n)(D)n(2122212niini
33、iXX)(2Dn22nnD1DD42412224122niiniiXnXn)(第37頁/共42頁32. 設(shè)設(shè)(X1,X2,Xn)是總體是總體X的一個(gè)樣本,的一個(gè)樣本,個(gè)最有效?)三個(gè)無偏估計(jì)中哪一(的無偏估計(jì);為)證明(2X53X52,X43X41,X32X311212121的無偏估計(jì)。三個(gè)估計(jì)都是)()()()(5352X53X52E4341X43X41E3231X32X31E1212121最有效。)21222212222122221X53X522513259254X53X52(D85169161X43X41(D959491X32X31(2)D第38頁/共42頁33.33.設(shè)設(shè)(X,Y)(X
34、,Y)服從服從N(1,0,9,16,-0.5)N(1,0,9,16,-0.5)分布,分布,Z=X/3+Y/2Z=X/3+Y/21)1)求求Z Z的概率密度,的概率密度,2)2)求求X X與與Z Z的相關(guān)系數(shù),的相關(guān)系數(shù),3) X3) X與與Z Z是否相互獨(dú)立是否相互獨(dú)立?解解:():()X XN(1,9),YN(1,9),YN(0,16),N(0,16), XYXY=-0.5=-0.5 注:注:(X,Y)(X,Y)N(N( 1 1, , 2 2, , 1 12 2, , 2 22 2, , ) ),X X與與Y Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立 X X與與Y Y不相關(guān)。不相關(guān)。其中其中 =cov(X,Y)=cov(X,Y)。(2 2)cov(X,Z)=cov(X,X/3+Y/2)=cov(X,X/3)+cov(X,Y/2)cov(X,Z)=cov(X,X/3+Y/2)=cov(X,X/3)+cov(X,Y/2)=(1/3)cov(X,X)+(1/2)cov(X,Y)=(1/3)D(X)+(1/2)(-6)=0=(1/3)cov(X,X)+(1/2)cov(X,Y)=(1/3)D(X)+(1/2)(-6)=0643)5 . 0()()(),cov( YDXDYXxy 3120312)(3)()23()( YEXEYXEZE3)6(61241699)2,3co
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