二重積分學(xué)習(xí)總結(jié)

1、高等數(shù)學(xué)論文 二重積分學(xué)習(xí)總結(jié) 姓名：徐琛豪 班級(jí)：安全工程02班 學(xué)號(hào)：1201050221 完成時(shí)間：2013年6月2日 推薦精選 二重積分【本章學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解二重積分的概念與性質(zhì)，了解二重積分的幾何意義以及二重積分與定積分之間的聯(lián)系，會(huì)用性質(zhì)比較二重積分的大小，估計(jì)二重積分的取值范圍。領(lǐng)會(huì)將二重積分化為二次積分時(shí)如何確定積分次序和積分限，如何改換二次積分的積分次序，并且如何根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的特征選擇坐標(biāo)系。熟練掌握直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系下重積分的計(jì)算方法。掌握曲頂柱體體積的求法，會(huì)求由曲面圍成的空間區(qū)域的體積。1 二重積分的概念與性質(zhì)1二重積分定義為了更好地理解二重積分的定義，必須首

2、先引入二重積分的兩個(gè)“原型”，一個(gè)是幾何的“原型”曲頂柱體的體積如何計(jì)算，另一個(gè)是物理的“原型”平面薄片的質(zhì)量如何求。從這兩個(gè)“原型”出發(fā)，對(duì)所抽象出來(lái)的二重積分的定義就易于理解了。在二重積分的定義中，必須要特別注意其中的兩個(gè)“任意”，一是將區(qū)域D成n個(gè)小區(qū)域的分法要任意，二是在每個(gè)小區(qū)域上的點(diǎn)的取法也要任意。有了這兩個(gè)“任意”，如果所對(duì)應(yīng)的積分和當(dāng)各小區(qū)域的直徑中的最大值時(shí)總有同一個(gè)極限，才能稱二元函數(shù)在區(qū)域D上的二重積分存在。2明確二重積分的幾何意義。(1) 若在D上0，則表示以區(qū)域D為底，以為曲頂?shù)那斨w的體積。特別地，當(dāng)1時(shí)，推薦精選表示平面區(qū)域D的面積。(2) 若在D上0，則上述曲

3、頂柱體在Oxy面的下方，二重積分的值是負(fù)的，其絕對(duì)值為該曲頂柱體的體積(3)若在D的某些子區(qū)域上為正的，在D的另一些子區(qū)域上為負(fù)的，則表示在這些子區(qū)域上曲頂柱體體積的代數(shù)和(即在Oxy平面之上的曲頂柱體體積減去Oxy平面之下的曲頂柱體的體積).3二重積分的性質(zhì)，即線性、區(qū)域可加性、有序性、估值不等式、二重積分中值定理都與一元定積分類似。有序性常用于比較兩個(gè)二重積分的大小，估值不等式常用于估計(jì)一個(gè)二重積分的取值范圍，在用估值不等式對(duì)一個(gè)二重積分估值的時(shí)候，一般情形須按求函數(shù)在閉區(qū)域D上的最大值、最小值的方法求出其最大值與最小值，再應(yīng)用估值不等式得到取值范圍。【主要概念梳理】1.二重積分的定義 設(shè)

4、二元函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上有定義且有界.分割 用任意兩組曲線分割D成n個(gè)小區(qū)域同時(shí)用表示它們的面積，其中任意兩小塊和除邊界外無(wú)公共點(diǎn)。既表示第i小塊,又表示第i小塊的面積.近似、求和 對(duì)任意點(diǎn) ,作和式取極限 若為的直徑，記,若極限推薦精選存在，且它不依賴于區(qū)域D的分法，也不依賴于點(diǎn)的取法，稱此極限為f(x,y)在D上的二重積分. 記為稱f(x,y)為被積函數(shù)，D為積分區(qū)域，x、y為積分變?cè)?，為面積微元(或面積元素).2.二重積分 的幾何意義(1) 若在D上f(x,y)0，則表示以區(qū)域D為底，以f(x,y)為曲頂?shù)那斨w的體積.(2) 若在D上f(x,y)0，則上述曲頂柱體在Oxy面的

5、下方，二重積分 的值是負(fù)的，其絕對(duì)值為該曲頂柱體的體積(3)若f(x,y)在D的某些子區(qū)域上為正的，在D的另一些子區(qū)域上為負(fù)的，則表示在這些子區(qū)域上曲頂柱體體積的代數(shù)和(即在Oxy平面之上的曲頂柱體體積減去Oxy平面之下的曲頂柱體的體積).3二重積分的存在定理 3.1若f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則f(x,y)在D上的二重積分必存在(即f(x,y)在D上必可積).3.2若有界函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上除去有限個(gè)點(diǎn)或有限個(gè)光滑曲線外都連續(xù)，則f(x,y)在D可積.推薦精選4二重積分的性質(zhì)二重積分有與定積分類似的性質(zhì).假設(shè)下面各性質(zhì)中所涉及的函數(shù)f(x,y)，g(x,y)在區(qū)域 D上都

6、是可積的.性質(zhì)1 有限個(gè)可積函數(shù)的代數(shù)和必定可積，且函數(shù)代數(shù)和的積分等于各函數(shù)積分的代數(shù)和，即性質(zhì)2 被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)前面，即性質(zhì)3 若D可以分為兩個(gè)區(qū)域D1,D2，它們除邊界外無(wú)公共點(diǎn)，則性質(zhì)4 若在積分區(qū)域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示區(qū)域D的面積，則性質(zhì)5 若在D上處處有f(x,y)g(x,y)，則有推論 性質(zhì)6(估值定理) 若在D上處處有mf(x,y)M，且S(D)為區(qū)域D的面積，則性質(zhì)7(二重積分中值定理) 設(shè)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則在D上存在一點(diǎn),使推薦精選【數(shù)學(xué)思想方法】二重積分是一元函數(shù)定積分的推廣與發(fā)展，它們都是某種形式的和的極限，即分

7、割求和、取極限，故可用微元法的思想來(lái)理解二重積分的概念與性質(zhì)。2 在直角坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算本章的重點(diǎn)是二重積分的計(jì)算問(wèn)題，而直角坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算問(wèn)題關(guān)鍵是如何確定積分區(qū)域及確定X型區(qū)域還是Y型區(qū)域，這也是本章的難點(diǎn)。直角坐標(biāo)系中二重積分計(jì)算的基本技巧： (1)在定積分計(jì)算中，如果D的形狀不能簡(jiǎn)單地用類似或的形式來(lái)表示，則我們可以將D分成若干塊，并由積分性質(zhì)對(duì)右端各式進(jìn)行計(jì)算。(2)交換積分次序不僅要考慮到區(qū)域D的形狀，還要考慮被積函數(shù)的特點(diǎn)。如果按照某一積分次序的積分比較困難，若交換積分次序后，由于累次積分的積分函數(shù)(一元積分)形式發(fā)生變化，可能會(huì)使新的積分次序下的積分容易計(jì)算，從而

8、完成積分的求解。但是無(wú)論是先對(duì)推薦精選積分，再對(duì)y積分，還是先對(duì)y積分，再對(duì)積分最終計(jì)算的結(jié)果應(yīng)該是相同的。一般的處理方法是由積分限確定積分區(qū)域D，并按照新的積分次序?qū)⒍胤e分化成二次積分。具體步驟如下：確定D的邊界曲線，畫出D的草圖；求出D邊界曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)；將D的邊界曲線表示為x或y的單值函數(shù)；考慮是否要將D分成幾塊；用x,y的不等式表示D.注：在積分次序選擇時(shí)，應(yīng)考慮以下幾個(gè)方面的內(nèi)容：()保證各層積分的原函數(shù)能夠求出；()若D為X型(Y型),先對(duì)x(y)積分；()若D既為X型又為Y型，且滿足()時(shí)，要使對(duì)D的分塊最少。(3) 利用對(duì)稱性等公式簡(jiǎn)化計(jì)算設(shè)f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù)，則當(dāng)區(qū)

9、域D關(guān)于x軸對(duì)稱若，則0；若，則2，其中D1為D在x軸上方部分。當(dāng)區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱若，則0；若，則2，其中D2為D在推薦精選y軸右側(cè)部分。當(dāng)區(qū)域D關(guān)于x軸和y軸都對(duì)稱若或，則0；若，則4，其中D1為D在第一象限部分。輪換對(duì)稱式設(shè)D關(guān)于直線對(duì)稱，則.【主要概念梳理】直角坐標(biāo)系中二重積分計(jì)算當(dāng)被積函數(shù)f(x,y)0且在D上連續(xù)時(shí), 若D為 X - 型區(qū)域 則 若D為Y 型區(qū)域,則說(shuō)明:若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y 型區(qū)域 , 則有3 在極坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算極坐標(biāo)系中二重積分計(jì)算的基本技巧：(1)一般地，如果積分區(qū)域是圓域、扇形域或圓環(huán)形域，且被積函數(shù)為推薦精選等形式時(shí)，計(jì)算二重積分時(shí)，往往采用極坐標(biāo)系來(lái)計(jì)算?！局饕拍钍崂怼坷脴O坐標(biāo)系計(jì)算二重積分 在極坐標(biāo)系下, 用同心圓r=常數(shù)及射線q =常數(shù), 分劃區(qū)域D 為。則特別地若 則有若則有若則有 9.4 二重積分的應(yīng)用二重積分的應(yīng)用主要在幾何方面和物理方面。幾何應(yīng)用之一是求曲線所圍成的面積，應(yīng)用之二是求曲面所圍成的立體的體積；物理應(yīng)用主要是平面薄片的質(zhì)量?！局饕拍钍崂怼?1) 空間立體的體積V設(shè)空間立體由曲面與所圍成， 在面投影為平面區(qū)域D，并且.則推薦精選或.