101分班考試班第二講幾何教師版

1、真題模考1. 圖中的大小正方形的邊長均為整數(shù)積=（厘米），它們的面積之和等于 52 平方厘米，則陰影部分的面分析】 觀察圖形組合特征，陰影部分為直角三角形，若知兩直角邊長，則問題可解。連接 BE ，梯形ABEG的面積 = 6 6 4 6 2 48 平方厘米，AEG面積= 6 6 4 2 30平方厘米， 所以，ABE面積= 48 30 18平方厘米。 因?yàn)椋?SABE所以， 5BH =18 ， BH5 厘米，所以，陰影部分11S ABH S BEH 6 BH 4 BH 5BH ，22ABH 的面積 = 6 18 1 54 平方厘米。5252.（2003 年一零一培訓(xùn)學(xué)校圓明杯 ”數(shù)學(xué)邀請賽附加題

2、第1 題 ）有一個(gè)三角形ABC 的面積為 1，如11圖，且 ADAB， BEBC ， CF2311CA ，求三角形 DEF 的面積 .4A分析】 先分別求出 ADF 、 BDE 、CEF的面積， 再用 ABC面積減去這三個(gè)三角形面積即為DEF的面積。連接 CD 。因?yàn)椋?AD1AB，CF1CA，所以， S ACD1SS ABC1SADF3SS ACD31324224428同理可得， S BDE 111，S1CEF211 ，所以，S DEF13117。BDE 326CEF 436866 24ADBC3. 一塊正方形玻璃，一邊截去 15 厘米，另一個(gè)非平行邊截去 10 厘米，剩下的長方形玻璃比原來

3、 的面積減少 1750 平方厘米，那么原來的正方形的邊長是 。1510分析】 法 一：將截去的兩個(gè)部分拼成一個(gè)長等于正方形邊長，寬等于15+10=25 厘米的長方形（需補(bǔ)上一個(gè) 1510 的小長方塊） ，其面積等于 1750+1510=1900 平方厘米。所以，其長 =190025=76 厘米，則原來 正方形邊長是 76 厘米。法二：設(shè)原正方形邊長是 x厘米，由題意得： x2-（ x -15）（ x-10）=1750， x2 - x2 +25 x -150=1750， 解得 x =76。所以，原正方形邊長是 76 厘米。4. 如圖，設(shè)扇形 BAC的面積是半圓 ADB面積的 4倍，則角 CAB的

4、3度數(shù)是 ?！痉治觥?設(shè)半圓 ADB的半徑為 1，則半圓面積為12 2= ，扇形 BAC2的面積 = 4=2 。因?yàn)樯刃?BAC的面積= r2 n ，所以，2 3 3 36022 n = 2 ，所以， n 60，即角 CAB的度數(shù)是 60。360 35. ABCD是邊長為 a的正方形，分別以 AB、BC、CD、 DA為直徑畫半圓，則這四個(gè)半圓弧所圍成的陰影部分的面積是分析】 運(yùn) 用充斥原理。 觀察可發(fā)現(xiàn)： 計(jì)算四個(gè)半圓的面積和， 陰影部分 重疊計(jì)算一次， 所以，四個(gè)半圓的面積和減去正方形面積即為陰 影部分面積。所以，陰影部分面積 = （a）224-a2= a2（ -1） =1.57 a2 。學(xué)

5、而思 教育六年級101分班考試班第二講教師版 Page 2 of 86. 如圖，將邊長為 1 的正三角形 放在一條直線上，讓三角形繞頂點(diǎn) C 順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到達(dá) ，再繼 續(xù)這樣轉(zhuǎn)動(dòng)到達(dá) ，則 A 點(diǎn)走過的路程的長 ?！痉治觥?圖中圓弧即為 A點(diǎn)走過的路程， 分為兩段， 均為圓心角為 120O、半徑為 1 的扇形的圓弧。 所以， 兩個(gè)扇形圓弧長之和 =2 1120 2= 4 ，即 A 點(diǎn)走過的路程的長是 4 。360 3 37. 如圖，以 B、 C 為圓心的兩個(gè)半圓的直徑都是 2 厘米，陰影部分的周長（精確到分析】 陰影部分周長等于 BC長加上兩段圓弧的長。 因兩段圓弧的長均等于圓心角為 600 、

6、半徑為 1的 扇形的圓弧，所以，陰影部分周長 =1+ 260 2=1+ 2 3.09 厘米。360 38. （2003 年一零一中學(xué)入學(xué)摸底考試第 18 題）有一塊寬為 18 厘米的長方形鐵皮，在四角各剪去邊 長為 5 厘米的正方形后，將它焊成一個(gè)無蓋的盒子已知這個(gè)盒子的容積是 480 立方厘米 （ 鐵皮 厚度忽略不計(jì) ），原來這塊鐵皮的面積是多少？【分析】 由題意可知，焊成的無蓋盒子的寬是 18-5-5=8 厘米，高是 5厘米，容積是 480 立方厘米，所以 可求出無蓋盒子的長是 480（ 85）=12 厘米，原來這塊鐵皮的長是 12+5+5=22 厘米，所以， 原來這塊鐵皮的面積是 221

7、8=396 平方厘米。5 刀，沿著寬邊等距離切 4 刀，沿著高邊24塊，則 n 的取值是 9. 一個(gè)長方體，六個(gè)面均涂有紅色，沿著長邊等距離切 等距離切 n 次后，要使各面上均沒有紅色的小方塊為分析】 沿著長邊等距離切 5刀，可切為 5+1=6 塊；沿著寬邊等距離切 4刀，可切為 4+1=5 塊；沿著高 邊等距離切 n刀，可切為 n+1 塊。由題意可知，長方體每一個(gè)面的外層是涂有 1 面（或 2面、 或 3 面）的小方塊，所以，各面均沒有紅色的小方塊共（6-2）（5-2）（ n+1-2）=12（n-1）個(gè)，因各面均沒有紅色的小方塊為24 塊，所以， 12（ n-1） =24，解得 n 3。10

8、.三個(gè)完全一樣的長方體，棱長總和是 288 厘米，每個(gè)長方體相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長恰是三 個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，給這三個(gè)長方體涂色，一個(gè)涂一面，一個(gè)涂兩面，一個(gè)涂三面。涂色后把三 個(gè)長方體都切成棱長為 1 厘米的小正方體，只有一個(gè)面涂色的小正方體最少有多少個(gè)？分析】 每 個(gè)長方體的棱長和是 2883=96 厘米，所以，每個(gè)長方體長、寬、高的和是 因?yàn)椋?每個(gè)長方體相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長恰是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù) （奇數(shù)項(xiàng)， 數(shù)），所以，每個(gè)長方體的長、寬、高分別是9厘米、 8厘米、 7厘米。要求切割后只有一個(gè)面涂色的小正方體最少有多少個(gè)，則需每一個(gè)長方體按題意涂色時(shí)， 切割后只有一個(gè)面涂色的小正方體最

9、少。所以，涂一面的長方體應(yīng)涂一個(gè)87個(gè)；涂兩面的長方體應(yīng)涂兩個(gè) 87 面，有 872=112 個(gè)；涂三面的長方體應(yīng)涂兩個(gè) 個(gè) 97 面，有 （8-1） 72+（9-2） 7=147 個(gè)，所以，切割后只有一個(gè)面涂色的小正方體最少 有 56+112+147=315 個(gè)。964=24 厘米。 則中間數(shù) = 平均應(yīng)讓面，有 87=56 87 面、一例 1 】考點(diǎn)拓展一個(gè)長方體的長是 12 厘米，寬 10 厘米，高也是整厘米數(shù)，在它的表面涂滿顏色后，截成棱長 是 1 厘米的小正方體，其中一面有色的小正方體有 448 個(gè)。求原來長方體的體積與表面積。先 求出長方體的高，再求其體積和表面積。設(shè)長方體的高為

10、的小正方體有 （ 12-2）（10-2）2+（12-2）（h-2）2+ 為，一面有色的小正方體有 448 個(gè)，所以， 88+36h=448 ，解得 h=10。 長方體體積 =12 10 10=1200 立方厘米。長方體表面積 =（1210+1210+1010） 2=680 平方厘米。 小結(jié)：立體圖形涂色問題中，表面涂色的長方體或正方體切割成小正方體后，只有三面涂色的小正方體 是頂點(diǎn)上的八個(gè)，共 8 個(gè)；只有兩面涂色的小正方體是十二條棱上（不含頂點(diǎn)上的）的小正方 體；只有一面涂色的小正方體是每個(gè)面上（不含四周，即棱上或頂點(diǎn)上的）的小正方體； 色面的小正方體是每個(gè)面上去掉一層后的小正方體，即長、寬

11、、 乘數(shù)。分析】h 厘米，則按題意截成的一面有色h -2） （ 10-2）2=88+36h 個(gè)，因沒涂2 后的連例 2】 如 圖 ， 四 邊 形 ABCD 中 ， DE:EF :FC 3:2:1 ，BG: GH : AH 3:2:1 , AD:BC 1:2 ， 已知四 邊形ABCD 的 面積等 于 4，則四 邊 形 EFHG 的 面 積分析】 運(yùn)用三角形面積與底和高的關(guān)系解題。 連接 AC、AE 、GC 、 GE ， 因 為 ， DE:EF:FC 3: 2:1 ，S BCG S ABC BCG 2 ABCBG: GH : AH 3: 2:1 ，所以，在 ABC中，高上的個(gè)數(shù)各自減去，在ACD

12、中，S AED112 S ACD ，在 AEG1S EFG。S EFG 。2 EFG1中， SAEH 2SHEG，在 CEG中， SCFG又因?yàn)?，SAGCES AEH S HEG1S CFG S EFG S HEG21S HEG S EFG S EFG23 S HEGS HEG2 HEGS EFG3 SEFGH ，SEFGH ，2所以， SEFGH例3】 如圖，在正方形 ABCD中， E、F分別在 BC與CD上，且 CE 2BE ， CF 2DF ，連接 BF，DF ，相交于點(diǎn) G ，過 G 作 MN ，PQ 得到兩個(gè)正方形 MGQA 和正方形 PCNG ，設(shè)正方形 MGQA 的面積為 S1，

13、正方形 PCNG 的面積為 S2 ，則 S1:S2 。分析】 連接BD 、 EF 。設(shè)正方形邊長為 3，則 CE CF 2，BE DF 1，所以， EF2=2 例4】 入圖，在 ABC中， D為 BC中點(diǎn)， E為 AB上一點(diǎn)，且 BE 1 AB .已知四邊形 BDME的面積+22=8， 2 2 2 2 2 2BD2 = 32 + 3 =18。因?yàn)椋?EF 為 35。那么三角形 ABC 的面積為 。 BD2=818=144=122，所以， EF BD=12。 由梯形蝴蝶定理，得 SDEF SBEGSDFG SBDG22EF2 BD2EF BD EF BD=81812 12=4966，所以， S

14、BEG =6SBDFE =SBDFE 。4966 25因?yàn)?SBCD =332=9，4S CEF =2 2 2= ，22= 6 5 = 3 。因?yàn)檎叫?PCNG 的邊長等于25 2 5所 以 ， SBDFE = S BCD -S CEF5，2所以， SBEGBEG 底邊 BE 對應(yīng)的高，所以，CN36= 2 1= ，5569NP=3=。55因?yàn)?S1=99=81，S2=66=36 ，所以， S1 S2= 8136=94。552555252525111分析】 連接BM ，因?yàn)?BD DC，BE AB ，所以， SBDM= SBCM，SBEM SABM 。323又據(jù)燕尾定理知， SABM:SAC

15、M BD:DC 1:1 2:2， SBCM :SACM BF:EA 1: 2 ，所以，2:2:1 ，所以，22S ABM:S ACM :S BCMS ABMS ABCS ABC ，2215所以，S BDM111S ABC S ABC ，S BEM1 2SABC 2 SABC SABC 。25 103515因?yàn)?，SBDME=35，且 SBDMES BDMS BEM，所以，35= 1S ABC10S BCM2 S ABCS ABC15 ABCS ABC357S ABC 。530 S ABC ，解得150 。30例 5】 （ 如圖 ）有孔（貫穿）正方體的表面積 （含孔內(nèi)各面 ） 是 A 258B23

16、4C222D 210分析】 觀 察有孔正方體特點(diǎn)，先求出有孔正方體外表面面積，再加上孔內(nèi)表面面積總和，即可求出有孔正方體表面積。2有孔正方體外表面面積： 556-12 26=138。本題關(guān)鍵是計(jì)算孔內(nèi)表面面積，觀察一組相對面之間的孔，每個(gè)孔均分別與另兩個(gè)方向的一個(gè)孔 “相交 ”，所以，其每個(gè)孔內(nèi)表面面積是13- 4+2+2=16，但是兩個(gè) “相交 ”的孔，不僅互相破壞了對方的內(nèi)壁，兩個(gè)孔位被重疊的部分也出現(xiàn)了重疊，所以，有孔正方體孔內(nèi)表面面積綜合 是： 1623-6 2=84。所以，有孔正方體表面積 =138+84=222 。例 6 】 把正方體的六個(gè)面分別劃分成 9 個(gè)相等的正方形，然后用紅

17、、黃、藍(lán)三種顏色去染這些小正方形，要求有公共邊的正方形染的顏色不同。問：用紅色去染的小正方形的個(gè)數(shù)最多是幾個(gè)？分析】 要 求出染紅色的小正方形最多幾個(gè)，則需讓每個(gè)面上的染紅小正方形盡可能多，且只需考慮。 按染色規(guī)則， 一個(gè)面最多可染紅色小正方形 5 個(gè)（圖 1），與其相對的面也有染紅小正方形 5 個(gè)。 因?yàn)橛泄策叺恼叫稳镜念伾煌?，與這兩個(gè)面相鄰的四個(gè)面中有兩個(gè)相對的面最多 可染紅色小正方形 4 個(gè)（圖 2），另兩個(gè)相對的面最多可染紅色小正方形2 個(gè)（圖 3）。所以，染紅色的小正方形最多是： （5+4+2 ） 2=22（個(gè)）。學(xué)而思 教育六年級101分班考試班第二講教師版 Page

18、6 of 8紅紅（圖 1）注：可假設(shè)圖 1 為前后面，圖 2 為上下面，紅紅紅紅圖 2）紅紅紅紅紅圖 3）3 為左右面。 （相對面紅色涂法相同）1. 如圖，一塊長方形鐵皮，利用圖中的陰影部分，剛好能做成一個(gè)油桶（接頭處忽略不計(jì) ），那么這個(gè)油桶的容積是 ：（ =3 14）【分析】 據(jù) 題意，油桶兩底面用鐵皮即為圖中兩個(gè)黑圓大小，油桶身子（周圍側(cè)面）用鐵皮即為圖中黑 色長方形大小。觀察圖可知：長方形鐵皮的長等于油桶底面直徑加上底面周長，油桶的高等于 長方形鐵皮的寬，即等于底面直徑的 2 倍。設(shè)油桶底面半徑為 r 分米，則得22r +2 r =16.56 ，解得 r =2，所以，油桶的高等于 222=8分米，油桶底面面積等于2 三角形 ABF 的面積為 24， AB