北師版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)1.2展開(kāi)與折疊教材解讀

1、1.2 展開(kāi)與折疊新知概覽：知識(shí)要點(diǎn)課標(biāo)要求中考考點(diǎn)節(jié)內(nèi)對(duì)應(yīng)例題節(jié)內(nèi)對(duì)應(yīng)習(xí)題常見(jiàn)幾何體的展開(kāi)圖了解直棱柱、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，能根據(jù)展開(kāi)圖判斷和制作實(shí)物圖會(huì)判斷常見(jiàn)幾何體的展開(kāi)圖即由展開(kāi)圖判斷幾何體試練例3,4；易錯(cuò)典例1,2；題型典例2，3,4；中考典例1，2；中考變式1,2；新題精練1,2,3,5,6,8,9,13,14利用展開(kāi)圖計(jì)算通過(guò)實(shí)例了解展開(kāi)圖在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用能利用展開(kāi)圖進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算題型典例5；中考典例2；新題精煉10本節(jié)重、難點(diǎn)1.重點(diǎn)：幾何體和展開(kāi)圖之間的互化2.難點(diǎn)：由展開(kāi)圖判斷幾何體的形狀知識(shí)全解知識(shí)點(diǎn)1正方體的表面展開(kāi)圖正方體的表面展開(kāi)圖有以下幾種情況：121（1）如圖121

2、“一四一”，中間一行4個(gè)作側(cè)面，兩邊各1個(gè)分別作上下底面，共有6種122（2）如圖122“二三一”（或一三二）型，中間3個(gè)作側(cè)面，上（或下）邊2個(gè)那行，相連的正方形作底面，不相連的再下折作另一個(gè)側(cè)面，共3種（3）如圖123“二二二”型，成階梯狀123（4）如圖124“三三”型，兩行只能有1個(gè)正方形相連124【試練例題1】如下圖125，正方體三個(gè)側(cè)面分別畫(huà)有不同圖案，它的展開(kāi)圖可以是（ ）125 思路導(dǎo)引基本方法是先看上下，后定左右，圖A圖B都是和+兩個(gè)面相對(duì)，不合題意，圖C“”和“”之上，從立體圖看“”在右，符合要求圖D“”和“”之上，“”在右，而立體圖“”應(yīng)在左，不合要求，故選（C）答案：C

3、方法：正方體展開(kāi)圖的題目解題時(shí)，要注意正方體的空間圖形，從相對(duì)面入手，分析及解答問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)2 棱柱的表面展開(kāi)圖知識(shí)詳解：（1）棱柱的表面展開(kāi)圖是由兩個(gè)相同的多邊形和一些長(zhǎng)方形組成的（2）沿棱柱的任意一條側(cè)棱剪開(kāi)，可以得到不同組合方式的平面展開(kāi)圖（3）棱柱的折疊：把一個(gè)平面圖形經(jīng)過(guò)折疊看能否圍成一個(gè)棱柱，但并不是所有的平面圖形都能經(jīng)過(guò)折疊圍成棱柱知識(shí)警示：（1）棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形，這個(gè)矩形可以看作幾個(gè)矩形連在一起組成的，而棱柱的表面展開(kāi)圖是由兩個(gè)相同的多邊形和一些矩形連成的（2）沿棱柱不同的側(cè)棱剪開(kāi)，可以得到不同組合的棱柱表面展開(kāi)圖，即同一棱柱的表面展開(kāi)圖有多種，它們都可以圍成同一個(gè)棱柱

4、【試練例題2】如圖126下列四個(gè)圖形中，是四棱柱的表面展開(kāi)圖是（ ）A B C D126思路導(dǎo)引四棱柱的表面展開(kāi)圖是由兩個(gè)相同的四邊形和一個(gè)有四個(gè)小長(zhǎng)方形組成的大長(zhǎng)方形組成，且兩個(gè)四邊形在大正方形的兩側(cè)，此題符合條件的只有D選項(xiàng)答案：D方法：有關(guān)棱柱的展開(kāi)和折疊問(wèn)題，要注意結(jié)合圖形進(jìn)行一定的想象知識(shí)點(diǎn)3 圓柱、圓錐的表面展開(kāi)圖知識(shí)詳解：（1）如圖127把圓柱的側(cè)面剪開(kāi)，展開(kāi)在一個(gè)平面上，側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)方形這個(gè)長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)等于圓柱的高，另一邊是圓柱底面的周長(zhǎng)，反過(guò)來(lái)可以把一個(gè)長(zhǎng)方形卷成一個(gè)圓柱的側(cè)面（2）如圖128把一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)，得到一個(gè)扇形，反過(guò)來(lái)可以把一個(gè)扇形卷成一個(gè)圓錐的側(cè)面1

5、28127 底面底面?zhèn)?面知識(shí)警示：圓柱、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖不包括底面，而它們的展開(kāi)圖是包括側(cè)面和底面的，解題時(shí)要注意它們的區(qū)別和聯(lián)系【試練例題3】把一個(gè)長(zhǎng)方形卷起來(lái)，可卷成_個(gè)不同圓柱的側(cè)面思路導(dǎo)引：把一個(gè)長(zhǎng)方形分別沿長(zhǎng)邊、短邊卷起來(lái)，可以得到2個(gè)不同圓柱的側(cè)面答案：把一個(gè)長(zhǎng)方形卷起來(lái)，可卷成2個(gè)不同圓柱的側(cè)面方法：本題的關(guān)鍵是理解圓柱的形成，注意分情況探討易錯(cuò)易混辨析易錯(cuò)點(diǎn)1不能正確判斷出幾何體的表面展開(kāi)圖或用展開(kāi)圖想象出原立體圖形【易錯(cuò)典例1】如圖129下面每個(gè)圖形都是由6個(gè)完全相同的正方形組成的，其中是正方體的表面展開(kāi)圖的是（ ）A B C D129解：A、D折疊后第一行兩個(gè)面無(wú)法折起來(lái)

6、，而且下邊沒(méi)有面，不能折成正方體；B、經(jīng)過(guò)折疊后，缺少一個(gè)側(cè)面的正方形，所以也不是正方體的展開(kāi)圖；C、是正方體的展開(kāi)圖故選C易混總結(jié)掌握正方體的表面展開(kāi)圖是解題的關(guān)鍵解決此題時(shí)由于只是注意了圍成立方體的面有6個(gè)，由于空間想象力不足，忽視了展開(kāi)圖中各個(gè)面的排列位置導(dǎo)致出錯(cuò).易錯(cuò)點(diǎn)2圓柱、圓錐平面展開(kāi)圖的畫(huà)法易忽略它們的底面圓【易錯(cuò)典例2】畫(huà)出如圖1210中圓柱和圓錐的平面展開(kāi)圖12101211解：如圖1211易混總結(jié)：圓柱、圓錐的平面展開(kāi)圖，應(yīng)包括側(cè)面和底面此題易受圓柱、圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的影響，在畫(huà)它們的平面展開(kāi)圖時(shí)，易忽略底面圓而畫(huà)成側(cè)面展開(kāi)圖要注意圓柱是由三個(gè)面組成的，即兩個(gè)平面（圓底面）和一

7、個(gè)曲面（側(cè)面）；圓錐是由兩個(gè)面組成的，即一個(gè)平面（圓底面）和一個(gè)曲面（側(cè)面）基礎(chǔ)經(jīng)典全析題型1利用表面展開(kāi)圖識(shí)別立體圖形【題型典例1】如圖1212是某多面體的平面展開(kāi)圖，指出他們的名稱1212思路導(dǎo)引：下邊的平面展開(kāi)圖，把C1、C2、C3、C4、C5合拼成一點(diǎn)，得到的是多面體右邊按共棱黏合方法可得出立體圖形是三棱柱 思路導(dǎo)引：若按運(yùn)算法則先通分計(jì)算括號(hào)內(nèi)的加減運(yùn)算，再進(jìn)行乘法運(yùn)算，運(yùn)算量大且易出錯(cuò)，而直接應(yīng)用乘法分配律，則能口算完成.解：（1）五棱錐（2）三棱柱.方法：側(cè)面是三角形，底面是五邊形的幾何體是五棱錐；側(cè)面是四邊形，底面是三角形的幾何體是三棱柱.1213題型2 正方體的表面展開(kāi)圖中相

8、對(duì)面的判斷【題型典例2】如圖1213所示是一個(gè)立方體紙盒的展開(kāi)圖，在其中的四個(gè)正方形內(nèi)分別標(biāo)有1，2，3和3，要在其余的正方形內(nèi)分別填上1，2，使得折成正方體后，相對(duì)的兩數(shù)互為相反數(shù)，則A處應(yīng)填_；B處應(yīng)填_思路導(dǎo)引：將這個(gè)立方體紙盒的展開(kāi)圖還原成立方體后，易知A的對(duì)面數(shù)字是2，B的對(duì)面數(shù)字是1，又因?yàn)橄鄬?duì)的面上的數(shù)字互為相反數(shù)，所以A處的數(shù)字為2，B處得數(shù)字為1答案：2，1方法：確定正方體的表面展開(kāi)圖將平面圖形轉(zhuǎn)化為立體圖形是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵綜合創(chuàng)新探究題型3利用剪紙判斷圖形【題型典例3】如圖1214，將一個(gè)正方體紙片依次按圖a，圖b的方式對(duì)折，然后沿c中的虛線裁剪，最后將圖d的紙?jiān)僬归_(kāi)鋪

9、平，所得到的圖案是下圖中的（ ）1214 思路導(dǎo)引：根據(jù)題目要求進(jìn)行折疊、裁剪并展開(kāi)即可得到正確答案答案：D方法：有關(guān)利用剪紙判斷圖形的題目，要注意根據(jù)題目要求，進(jìn)行正確操作，即可得到所需結(jié)果1215題型4利用表面展開(kāi)圖相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算【題型典例4】如圖是1215，是一張鐵皮的平面示意圖、（1）計(jì)算該鐵皮的面積（2）能否將它做成一個(gè)長(zhǎng)方體鐵盒？如能，畫(huà)出它的幾何圖形，并計(jì)算出它的體積；若不能，說(shuō)明理由1216思路導(dǎo)引：（1）依次求出各個(gè)長(zhǎng)方形的面積，即可求出鐵皮的面積；（2）分析展開(kāi)圖的數(shù)據(jù)，易知這是一個(gè)長(zhǎng)5cm，寬3 cm，高2cm的鐵盒，利用正方體的體積公式，易求其體積解：（1）該鐵

10、皮的面積為：(25)2+(23)2+(35)2=62（平方米）（2）能做成一個(gè)長(zhǎng)方體鐵盒，如圖1216所示，所以它的體積為352=30（平方米）方法：利用表面展開(kāi)圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí)，要結(jié)合展開(kāi)圖進(jìn)行實(shí)現(xiàn)平面圖形與立體圖形的轉(zhuǎn)化備戰(zhàn)中考本節(jié)內(nèi)容的命題方向是：會(huì)判斷平面圖形能否折疊成幾何體；幾何體剪開(kāi)后，能否展成規(guī)定的平面圖形，并能根據(jù)圖形在展開(kāi)與折疊過(guò)程中的變化，發(fā)現(xiàn)圖形的特征，中考考查以填空題、選擇題為主考點(diǎn)1判別一個(gè)平面圖形能否折疊成一個(gè)立體圖形中考典例1如圖1217所示的平面圖形中，不可能圍成圓錐的是（ ）1217思路導(dǎo)引：根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，可以直接得出答案D是不可能圍成圓錐的。答

11、案：D點(diǎn)撥：本題主要考查圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的性質(zhì)，根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的性質(zhì)得出是解決問(wèn)題的關(guān)鍵同時(shí)要注意要選擇的是不可能圍成圓錐的選項(xiàng)（2011湖南婁底第8題3分）1218變式練習(xí)1如圖1218以下各圖由彼此連接的六個(gè)小正方形紙片組成，其中不能折疊成一個(gè)正方體的是（ ）思路導(dǎo)引：應(yīng)用排除法能夠折疊成一個(gè)正方體的有A、B、C。答案：D (2011江蘇徐州第7題2分)考點(diǎn)2 正方體的表面展開(kāi)圖中相對(duì)面的判斷1219中考典例2如圖1219是每個(gè)面上都有一個(gè)漢字的正方體的一種展開(kāi)圖，那么在原正方體的表面上，與漢字“美”相對(duì)面上的漢字是 （ ）A.我 B.愛(ài) C.長(zhǎng) D.沙思路導(dǎo)引：根據(jù)正方體的展開(kāi)圖類型，

12、展開(kāi)面上漢字“我”對(duì)“沙”，“愛(ài)”對(duì)“麗”，“美”對(duì)“長(zhǎng)”.答案：C 點(diǎn)撥：這類題目考查正方體的平面展開(kāi)圖解決此類問(wèn)題我們可以用紙經(jīng)過(guò)折疊或剪拼動(dòng)手操作來(lái)解決是行之有效的辦法（2011湖南長(zhǎng)沙第8題3分）變式練習(xí)2如圖1220是正方體的展開(kāi)圖，則原正方體相對(duì) 兩個(gè)面上的數(shù)字之和的最小值的是 .1220思路導(dǎo)引：可發(fā)揮想像能力或借助模型確定由平面圖形得到的立體圖形，要弄清哪兩個(gè)面是相對(duì)的面答案：6（2011山東菏澤第12題3分）新題精煉基礎(chǔ)鞏固81如圖1221所示的立方體，如果把它展開(kāi)，可以是下列圖形中的（ ）1221 A B C D2如圖1222下列圖形經(jīng)過(guò)折疊不能圍成棱柱的是（）A B C

13、D1222A B C D12233如圖1223下面的圖形中，是三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的為（ ）4如圖1224下面的圖形表示四棱柱的是（ ）122412255如圖1225下列圖形中，不是立方體表面展開(kāi)圖的是（ ）知識(shí)點(diǎn)3題型3知識(shí)點(diǎn)3題型2知識(shí)點(diǎn)3題型2知識(shí)點(diǎn)2題型1知識(shí)點(diǎn)3題型26如圖1226折疊成一個(gè)帶數(shù)字的立方體，每三個(gè)帶數(shù)字的面交于立方體的一個(gè)頂點(diǎn)，則相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面上的數(shù)字之和最小是（ ） A、 7 B、 8 C、 9 D、 1012267 是_的表面展開(kāi)的平面圖12278如圖1227，一個(gè)正方體的每個(gè)面上都寫有一個(gè)漢字，其平面展開(kāi)圖如圖所示，那么在該正方體中，和“超”相對(duì)的字是 9

14、一個(gè)三棱柱，它的側(cè)棱長(zhǎng)是6cm，它的底面為各邊都是3cm的三角形，則此三棱柱的側(cè)面積是 122810在正方體展開(kāi)圖上標(biāo)有A、B、C、D、M、N等字樣（如右圖1228所示），當(dāng)將它折疊成正方形時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn) 重合，點(diǎn)H點(diǎn) 重合，點(diǎn)N點(diǎn) 重合11如圖1229請(qǐng)你把幾何體和它的平面展開(kāi)圖用線連起來(lái)。1229知識(shí)點(diǎn)3題型5知識(shí)點(diǎn)3題型2知識(shí)點(diǎn)3題型3知識(shí)點(diǎn)2題型5知識(shí)點(diǎn)3題型1知識(shí)點(diǎn)2,4題型1能力提升12如圖1230是一個(gè)35的方格紙，現(xiàn)將其剪為三部分，使每部分都可以拆成一個(gè)無(wú)蓋的小方盒，請(qǐng)問(wèn)如何裁剪123013如圖1231馬小虎同學(xué)準(zhǔn)備制作一個(gè)封閉的正方體盒子，他先用5個(gè)大小一樣的正方形制成如右圖所

15、示的拼接圖形(實(shí)線部分)，經(jīng)折疊后發(fā)現(xiàn)還少一個(gè)面，請(qǐng)你在右圖中的拼接圖形上再接一個(gè)正方形，使新拼接成的圖形經(jīng)過(guò)折疊后能成為一個(gè)封閉的正方體盒子. (注：只需添加一個(gè)符合要求的正方形；添加的正方形用陰影表示.) abc1231de知識(shí)點(diǎn)3題型4知識(shí)點(diǎn)3題型3,4新精煉參考答案基礎(chǔ)鞏固1 D思路導(dǎo)引：A選項(xiàng)中正方形陰影與三角形是相對(duì)的，所以不正確；B選項(xiàng)中正方形的邊與直角三角形直角邊重合；C選項(xiàng)直角三角形與正方形沒(méi)有相鄰，所以只有D選項(xiàng)符合要求2B思路導(dǎo)引：柱體可分為圓柱和棱柱，長(zhǎng)方體和正方體都是四棱柱3A4A5C思路導(dǎo)引：本題主要考查學(xué)生的動(dòng)手能力和空間想象能力，通過(guò)自己對(duì)這四個(gè)圖形動(dòng)手操作，會(huì)

16、發(fā)現(xiàn)C圖不能折合成一個(gè)正方體. 故應(yīng)選6A思路導(dǎo)引：“6”、“2”、“4”、“5”，這四個(gè)數(shù)字所在正方形恰好圍成正方體的側(cè)面，而“1”、“3”正好為正方體的上面、下面，所以“1”與“6”、“2”、“4”、“5”都相鄰，而“2”、“4”又相鄰，為了和最小，我們可先從“1”周圍尋找，從而得出相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面上的數(shù)字之和最小7點(diǎn)撥：確定各個(gè)點(diǎn)的位置很重要相鄰的數(shù)才可能成為相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面上的數(shù)字為了數(shù)字之和最小，我們盡量在較小的數(shù)上進(jìn)行考慮7六棱柱思路導(dǎo)引：觀察可以發(fā)現(xiàn)展開(kāi)圖有六個(gè)邊長(zhǎng)相等的長(zhǎng)方形，并且有兩個(gè)邊長(zhǎng)和長(zhǎng)方形寬相等的六邊形，所以是六棱柱的表面展開(kāi)平面圖點(diǎn)撥：觀察棱柱的展開(kāi)圖，

17、首先作為底面的多邊形必須是相同的多邊形，另外多邊形的邊數(shù)必須等于展開(kāi)圖中長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)8自思路導(dǎo)引：分析展開(kāi)圖可以發(fā)現(xiàn)，“信”與“著”是相對(duì)的，所以這兩個(gè)字不可能與“超”相對(duì)，而“超”與“沉”、“越”是相鄰的，所以只有 “自”與“超”相對(duì).可以把圖畫(huà)下來(lái)，折疊試一試點(diǎn)撥：仔細(xì)分析圖形，找出不可能與“超”相對(duì)的字，剩下的就是與“超”相對(duì)的字.注意與“超”所在正方形有公共頂點(diǎn)、公共邊的正方形都與“超”所在的正方形相鄰,也就是 “相鄰必相連”954思路導(dǎo)引：三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形，它的兩邊長(zhǎng)分別是6cm和9cm，因此，面積為54cm210E、C，P、F，M11思路導(dǎo)引：此題實(shí)質(zhì)就是在讓我們分別找出長(zhǎng)方體、圓錐體、圓柱體、六棱柱體的表面的平面展開(kāi)圖解：如上右圖所示： 點(diǎn)撥：半圓也是扇形的一種，所以有的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖就是半圓。12思路導(dǎo)引：顯然每部分都應(yīng)有5個(gè)小方格。解：可按如圖12的方法裁剪。13思路導(dǎo)引