快速學(xué)習(xí)奈氏圖判斷穩(wěn)定性

1、 4 43 3 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 第三章已經(jīng)介紹，閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性由系統(tǒng)特征方程根的性質(zhì)性質(zhì)唯一確定。對(duì)于三階以下系統(tǒng)，解出特征根就能判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。三階以上的高階系統(tǒng)，求解特征根通常都很困難，前面介紹了基于特征方程的根與系數(shù)關(guān)系的勞斯判據(jù)。 奈奎斯特（Nyquist）穩(wěn)定判據(jù)（簡(jiǎn)稱奈氏判據(jù)）是判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的又一重要方法。它是將系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性 與復(fù)變函數(shù) 位于S平面右半部的零、極點(diǎn)數(shù)目聯(lián)系起來的一種判據(jù)。奈氏判據(jù)是一種圖解法，它依據(jù)的是系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性。由于系統(tǒng)的開環(huán)特性可用解析法或?qū)嶒?yàn)法獲得，因此，應(yīng)用奈氏判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性兼有方便和實(shí)用的優(yōu)點(diǎn)。奈氏判據(jù)還有助

2、于建立相對(duì)穩(wěn)定性的概念。)()(jHjG)()(1)(sHsGsF一、幅角定理一、幅角定理( (KauthyKauthy 幅角定理幅角定理) ) 幅角定理又稱映射定理，它是建立在復(fù)變函數(shù)理論基礎(chǔ)上的。由于奈氏判據(jù)是以幅角定理為依據(jù)的，因此有必要先簡(jiǎn)要地介紹幅角定理。 設(shè)有一復(fù)變函數(shù) 稱之為輔助函數(shù)，其中 是系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù).)()(1)(sHsGsF)()(sHsG通?？蓪懗扇缦滦问?式中 是系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)，將式（4-106）代入式（4-105）得 比較式（4107）和式（4106）可知，)()()()(210111nmmmmpspspsbsbsbsbsHsG)()()()()(2121nn

3、pspspszszszsksF)(sF),2, 1(niZi0)()(1sHsG)(sF 輔助函數(shù) 的零點(diǎn)零點(diǎn) 即閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)即閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，即系統(tǒng)特征方程 的根。因此，如果輔助函數(shù) 的零點(diǎn)都具有負(fù)的實(shí)部，即都位于S平面左半部，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)便不穩(wěn)定。 假設(shè)復(fù)變函數(shù) 為單值，且除了S平面上有限的奇點(diǎn)外，處處都為連續(xù)的正則函數(shù),也就是說 在S平面上除奇點(diǎn)外處處解析， 那么，對(duì)于S平面上的每一個(gè)解析點(diǎn)，在 平面上必有一點(diǎn)（稱為映射點(diǎn)）與之對(duì)應(yīng)。 例如，當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 則其輔助函數(shù)是 除奇點(diǎn) 和 外，在S平面上任取一點(diǎn)，如 則( )F s)1(1)()(sssHsG)1

4、(1)()(1)(2sssssHsGsF0 s1 s（一）（一）S S平面與平面與 平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系 )(sF211js15.095.0)121)(21(1)21()21()(21jjjjjsF F s F s 如圖437所示，在 平面上有點(diǎn) 與S平面上的點(diǎn) 對(duì)應(yīng), 就叫做 在 平面上的映射點(diǎn)。)(sF15. 095. 0)(1jsF211js)(1sF1s)(sFj2j1s s01 s1SmI0eR)(1sFSF15.095. 0 圖4-37 S平面上的點(diǎn)在F（S）平面上的映射 如圖438所示，如果解析點(diǎn) 在S平面上沿封閉曲線 （ 不經(jīng)過 的奇點(diǎn)）按順時(shí)針方向連續(xù)變化一周，那么輔

5、助函數(shù) 在 平面上的映射也是一條封閉曲線 ，但其變化方向可以是順時(shí)針的，也可以是逆時(shí)針的，這要依據(jù)輔助函數(shù)的性質(zhì)而定。1s)(sFFss)(sF)(sF)(sFj S1P2P1S2S3S3P1Z2Z3Z0)(amI)(SFeR)(1SF)(2SF)(3SF0 圖4-38 S平面到F(s)平面的映射)(bsF（二）幅角定理（映射定理）（二）幅角定理（映射定理） 設(shè) 在S平面上，除有限個(gè)奇點(diǎn)外，為單值的連續(xù)正則函數(shù)，若在S平面上任選一封閉曲線s，并使s不通過 的奇點(diǎn)，則S平面上的封閉曲線s 映射到F(s)平面上也是一條封閉曲線F。當(dāng)解析點(diǎn)解析點(diǎn)s按順時(shí)針按順時(shí)針方向沿s 變化一周時(shí)，則在 平面上，

6、 F 曲線按逆時(shí)針方向繞原點(diǎn)的周數(shù)逆時(shí)針方向繞原點(diǎn)的周數(shù)N N等于封閉曲線s內(nèi)包含F(xiàn)(s) 的極點(diǎn)數(shù)P與零點(diǎn)數(shù)Z之差。即 N=P-Z N=P-Z （4108） 式中，若N0N0，則則 F按逆時(shí)針按逆時(shí)針方向繞F(s)平面坐標(biāo)原點(diǎn)N周；若N0Nm時(shí)， （4-121）s的第三部分在GH平面上的映射是它的坐標(biāo)原點(diǎn)（圖443（b）。奈氏軌跡s 在GH平面上的映射 稱為奈奎斯特曲線或奈氏曲線。()lim Re( )( )0jRj nmsG s Hse (4-120)(4-119)GH 2、當(dāng) 在S平面的虛軸上（包括原點(diǎn)）有極點(diǎn)時(shí)虛軸上（包括原點(diǎn)）有極點(diǎn)時(shí)，由于奈氏軌跡不能經(jīng)過開環(huán)極點(diǎn)，s必須避開虛軸上的

7、所有開環(huán)極點(diǎn)。增加第4部分曲線，如圖4-44所示。其中（1）（2） 和（3）部分的定義與圖442相同.)()(sHsG 第（第（4 4）部分的定義）部分的定義是：表明s沿以原點(diǎn)為圓心，半徑為無窮小的右半圓弧上逆時(shí)針變化（ ）。這樣， s 既繞過了 原點(diǎn)上的極點(diǎn)， 又包圍了整個(gè)右半S平面，如果在虛軸上還有其它極點(diǎn)，亦可采用同樣的方法，將s 繞過這些虛軸上的極點(diǎn)。jrres0lim)22(由)()(sHsG設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 （4-122）其中v v稱為無差度稱為無差度，即系統(tǒng)中含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)或位于原點(diǎn)的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)。當(dāng) 時(shí)， )()()()()()(2121vnvmpspspsszszszs

8、ksHsGjrres0limjvjvvrrenvmreseerKpspspsszszszsksHsGjrjr0lim2121limlim)()()()()()(00(4-123) 式(4-123)表明， s 的第（4）部分無窮小半圓弧在 GH平面上的映射為順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的無窮大圓弧順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的無窮大圓弧，旋轉(zhuǎn)的弧度為 弧度。圖445（a）、（b）分別表示當(dāng) v=1v=1和v=2v=2時(shí)系統(tǒng)的奈氏曲線，其中虛線部分是s 的無窮小半圓弧在GH平面上的映射。圖4-44 虛軸上有開環(huán)極點(diǎn) 時(shí)的奈氏軌跡mI 000R01veR)(aGH圖4-45 時(shí)的奈氏曲線0vj000) 1 ()2(R) 3()4(0r

9、 Ss 0 010R0GH2veR)(bmI 應(yīng)用奈氏判據(jù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，可能會(huì)遇到下列三種情況三種情況： (i) 當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 的全部極點(diǎn)都位于全部極點(diǎn)都位于S S平面左半部時(shí)（平面左半部時(shí)（P=0P=0），），如果系統(tǒng)的奈氏曲線 不包圍不包圍GH平面的 點(diǎn)（N=0），則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的（Z=P-N=0），否則是不穩(wěn)定的； （ii)當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 有p p個(gè)位于個(gè)位于S S平面平面右半部的極點(diǎn)右半部的極點(diǎn)時(shí)，如果系統(tǒng)的奈氏曲線 逆時(shí)針包圍逆時(shí)針包圍 點(diǎn)的周數(shù)等于位于S平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)（N=P），則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的（Z=P-N=0），否則是不穩(wěn)定的； (iii) 如果系統(tǒng)的奈

10、氏曲線 順時(shí)針包圍 點(diǎn)（N0），則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定（Z=P-N0）。 （iv）當(dāng) 曲線恰好通過GH平面的 點(diǎn)（注意不是包圍不是包圍），此時(shí)如果系統(tǒng)無位于S平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 綜上，奈氏曲 線 是否包圍GH平面的 點(diǎn)是判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定的重要依據(jù)。), 1(j), 1(j)()(sHsG)()(sHsGGHGHGHGHGH), 1(j), 1(j), 1(j五、奈氏判據(jù)的應(yīng)用五、奈氏判據(jù)的應(yīng)用 例46 試用奈氏判據(jù)分析例41系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 其對(duì)應(yīng)的頻率特性是 當(dāng) 時(shí)系統(tǒng)的奈氏曲線如圖 4-46所示。該系統(tǒng)的兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn) 和 均在S平面左半部

11、，即S平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P=0，由圖4-46可知，系統(tǒng)的奈氏曲線 不包圍 點(diǎn)（N=0），根據(jù)奈氏判據(jù)，位于S平面右半部的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù) Z=PN=0， 該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)穩(wěn)定的定的1212( )( )(0)(1)(1)KG s H sTTTsT s) 1)(1()()(21jTjTKjHjG11T21TGH), 1(j確定幅相曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)，正確作出幅相曲線對(duì)于判斷系確定幅相曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)，正確作出幅相曲線對(duì)于判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性很重要統(tǒng)的穩(wěn)定性很重要!。: 10K0eRmIGH圖4-46 例4-6奈氏曲線 例例4 47 7 試用奈氏判據(jù)分析例試用奈氏判據(jù)分析例4 43 3系統(tǒng)的系統(tǒng)的穩(wěn)定性。穩(wěn)定性。

12、 解 該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其對(duì)應(yīng)的頻率特性是當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)的奈氏曲線如圖 448所示。由于系統(tǒng)含有一個(gè)積分環(huán)節(jié)（v=1），當(dāng) 對(duì)應(yīng)奈氏曲線為順時(shí)針環(huán)繞坐標(biāo)原點(diǎn)的無窮大半圓（圖448中虛線所示）。)10()12()()(22TssTsKsHsGv)21 ()()(22TjTjKjHjGv由變至0: 0圖4-48 例4-7奈氏曲線開環(huán)傳遞函數(shù)無右半S平面的極點(diǎn)，即P=0，系統(tǒng)是否穩(wěn)定取決于奈氏曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)值 的大小，當(dāng) 時(shí)， 不包圍 點(diǎn)，即N=0圖4-48（a），系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng) 時(shí),奈氏曲線 順時(shí)針包圍 點(diǎn)兩周，即 ,圖4-48（b），系統(tǒng)不穩(wěn)定。2TKv12TKv), 1(j12TKv), 1(jGHGH2N02TKV 0 0eRGHmI( )120VK TNa時(shí)112TKV 0 0eRGHmI( )122VK TNb 時(shí)0 例48已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用奈氏判據(jù)分析當(dāng) 時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解解