圓標(biāo)準(zhǔn)方程及求法

1、 湘東職專湘東職專 陽小連陽小連 問題提出問題提出1.1.在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)確定一條在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)確定一條直線，一點(diǎn)和傾斜角也確定一條直線，直線，一點(diǎn)和傾斜角也確定一條直線，那么在什么條件下可以確定一個(gè)圓呢？那么在什么條件下可以確定一個(gè)圓呢？2.2.直線可以用一個(gè)方程表示，直線可以用一個(gè)方程表示，圓也可以圓也可以用一個(gè)方程來表示用一個(gè)方程來表示嗎？嗎？怎樣建立圓的方怎樣建立圓的方程是我們需要探究的問題程是我們需要探究的問題. . 探究一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程探究一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓的集合叫做圓. . 思考思考

2、1 1: :圓可以看成是平面上的一條曲線圓可以看成是平面上的一條曲線, ,在平面幾何中，圓是怎樣定義的？在平面幾何中，圓是怎樣定義的？ 如何用集合語言描述以點(diǎn)如何用集合語言描述以點(diǎn)A A為圓心，為圓心，r r為半徑的圓？為半徑的圓？P=M|MA|=rP=M|MA|=r. .A AM Mr r圓上點(diǎn)的集合圓上點(diǎn)的集合思考思考2:2:確定一個(gè)圓最基本的要素是什么？確定一個(gè)圓最基本的要素是什么？思考思考3:3:設(shè)圓心坐標(biāo)為設(shè)圓心坐標(biāo)為A(aA(a，b)b)，圓半徑，圓半徑為為r r，M(xM(x，y)y)為圓上任意一點(diǎn)，根據(jù)圓為圓上任意一點(diǎn)，根據(jù)圓的定義的定義x x，y y應(yīng)滿足什么關(guān)系？應(yīng)滿足什么

3、關(guān)系？(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2A(a,b)A(a,b)M(x,y)M(x,y)r rx xo oy yrbyax22)()(P = M | |MA| = r 圓心和半徑思考思考4:4:對(duì)于以點(diǎn)對(duì)于以點(diǎn)A(aA(a，b)b)為圓心，為圓心，r r為半徑的圓，為半徑的圓，由上可知，若點(diǎn)由上可知，若點(diǎn)M(xM(x，y)y)在圓上在圓上, ,則點(diǎn)則點(diǎn)M M的坐標(biāo)滿的坐標(biāo)滿足方程足方程 ；反之反之, ,若點(diǎn)若點(diǎn)M M(x(x，y)y)的坐標(biāo)適合方程的坐標(biāo)適合方程 ，那么點(diǎn)那么點(diǎn)M M一定在這個(gè)圓上嗎？一定在這個(gè)圓上嗎？A AM Mr rx xo oy y思考

4、思考6:6:以原點(diǎn)為圓心以原點(diǎn)為圓心, ,1 1為半徑的圓稱為為半徑的圓稱為 單位圓單位圓, ,那么單位圓的方程是什么？那么單位圓的方程是什么？ 我們把方程我們把方程 稱為以稱為以A(aA(a，b)b)圓心圓心，r r為半徑長(zhǎng)的為半徑長(zhǎng)的222()()xaybrx x2 2+y+y2 2= =1 1思考思考5:5:那么確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要幾個(gè)那么確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要幾個(gè) 獨(dú)立條件？獨(dú)立條件？圓的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 1、圓心為、圓心為 ，半徑長(zhǎng)等于，半徑長(zhǎng)等于5的圓的方程為（的圓的方程為（ ） A (x 2 )2+(y 3 )2=25 B (x 2 )2+(y + 3 )2=25 C (x 2

5、 )2+(y + 3 )2=5 D (x + 2 )2+(y 3 )2=5 )3, 2(AB2、圓、圓 (x2)2+ y2=2的圓心的圓心C的坐標(biāo)及半徑的坐標(biāo)及半徑r分別為（分別為（ ） A C（2，0） r = 2 B C（ 2，0） r = 2 C C（0，2） r = D C（2，0） r = 22D隨堂隨堂練習(xí)練習(xí)3、已知已知 和圓和圓 (x 2 )2+(y + 3 )2=25 ，則點(diǎn)，則點(diǎn)M在在 （ ） A 圓內(nèi)圓內(nèi) B 圓上圓上 C 圓外圓外 D 無法確定無法確定)7, 5( MB探究探究二二：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 思考思考7:7:在平面幾何中在平面幾何中，初中學(xué)過：

6、初中學(xué)過：點(diǎn)與點(diǎn)與 圓有哪幾種位置關(guān)系？圓有哪幾種位置關(guān)系？ 思考思考8:8:在初中平面幾何中在初中平面幾何中，如何確定點(diǎn)，如何確定點(diǎn) 與圓的位置關(guān)系？與圓的位置關(guān)系？A AO OA AO OA AO OOAOAr rOAOA=r r思考思考9:9:在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中, ,已知點(diǎn)已知點(diǎn)M(xM(x0 0，y y0 0) )和圓和圓C C： , ,如何判斷點(diǎn)如何判斷點(diǎn)M M在圓外、圓上、圓內(nèi)？在圓外、圓上、圓內(nèi)？222()()xaybr(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2時(shí)時(shí), ,點(diǎn)點(diǎn)M M在圓在圓C C外外; ;(x(x0 0-a)-a)2

7、 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2=r r2 2時(shí)時(shí), ,點(diǎn)點(diǎn)M M在圓在圓C C上上; ;(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2時(shí)時(shí), ,點(diǎn)點(diǎn)M M在圓在圓C C內(nèi)內(nèi). .思考題：思考題： 集合集合(x(x，y)|(x-a)y)|(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2rr2 2 表示的圖形是什么？表示的圖形是什么？ A Ar rx xo oy y2021-10-17111圓圓 (x2)2+ y2=2的圓心的圓心A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為_,半徑半徑r =_. 基礎(chǔ)演練基礎(chǔ)演練2 2圓圓(x+1)2( (y - ) 2a2,(a 0)的圓心的圓心

8、, ,半徑是？半徑是？3加油加油3(例例1) 已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (x2)2+(y+3)2= 25 判斷判斷點(diǎn)點(diǎn) , 是否在這個(gè)圓上是否在這個(gè)圓上)7, 5(1M) 7 , 5(2M2021-10-1712圓心圓心C：兩條直線的交點(diǎn)：兩條直線的交點(diǎn)半徑半徑CA：圓心到圓上一點(diǎn)：圓心到圓上一點(diǎn)xyOCA( (1, ,1) )B( (2,-,-2) ):10l xy 弦弦ABAB的垂直的垂直平分線平分線 例例1 已知圓心為已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1, 1)和和B(2, 2)，且，且圓心圓心C在直線上在直線上l：x y +1=0，求圓心為，求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)

9、方程方程D探究探究三三：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用的應(yīng)用 l2021-10-1713解解：因?yàn)橐驗(yàn)锳(1, 1)和和B(2, 2)，所以線段，所以線段AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)D的坐標(biāo)的坐標(biāo)),21,23(直線直線AB的斜率的斜率:31212ABk因此線段因此線段AB的垂直平分線的垂直平分線 的方程是的方程是l)23(3121xy即即033yx解方程組解方程組01033yxyx得得. 2, 3yx所以圓心所以圓心C的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是)2, 3(圓心為圓心為C的圓的半徑長(zhǎng)的圓的半徑長(zhǎng)5)21 ()31 (|22 ACr所以，圓心為所以，圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是25)2()3(22yx2

10、021-10-1714圓心：兩條弦的中垂線的交點(diǎn)圓心：兩條弦的中垂線的交點(diǎn)半徑：圓心到圓上一點(diǎn)半徑：圓心到圓上一點(diǎn)xyOA( (5, ,1) )B( (7,-,-3) )C( (2,-,-8) )C例例2 2 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別A A(5,1), (5,1), B B(7,(7,3)3)，C C(2, (2, 8)8)，求它的外接圓的方程，求它的外接圓的方程ABCDE2021-10-1715 例例2 2： 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別A A(5,1)(5,1)、B B(7,(7,3)3)、C C(2(2, ,8)8)，求它的外接圓的方程，求它的外接圓的方程AB

11、C 解解：設(shè)所求圓的方程是：設(shè)所求圓的方程是 (1)222)()(rbyax 因?yàn)橐驗(yàn)锳(5,1), B(7,3)，C(2, 8) 都在圓上，所以都在圓上，所以 它們的坐標(biāo)都滿足方程（它們的坐標(biāo)都滿足方程（1）于是）于是222222222)8()2()3()7()1 ()5(rbarbarba待定系數(shù)法待定系數(shù)法235abr 所求圓的方程為所求圓的方程為22(2)(3)25xy 16 例例3 3 寫出圓心為寫出圓心為 ，半徑長(zhǎng)等于，半徑長(zhǎng)等于5的圓的方的圓的方程并判斷點(diǎn)程并判斷點(diǎn) ， 是否在這個(gè)圓上。是否在這個(gè)圓上。)3, 2( A)7, 5(1M) 1, 5(2M 解：解：圓心是圓心是 ，半

12、徑長(zhǎng)等于，半徑長(zhǎng)等于5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：是：)3, 2(A 把把 的坐標(biāo)代入方程的坐標(biāo)代入方程 左右兩邊相等，點(diǎn)左右兩邊相等，點(diǎn) 的坐標(biāo)適合圓的方程，所以點(diǎn)的坐標(biāo)適合圓的方程，所以點(diǎn) 在這個(gè)圓上；在這個(gè)圓上；)7, 5(1M25)3()2(22yx1M1M) 1,5(2M2M2M 把點(diǎn)把點(diǎn) 的坐標(biāo)代入此方程，左右兩邊不的坐標(biāo)代入此方程，左右兩邊不相等，點(diǎn)相等，點(diǎn) 的坐標(biāo)不適合圓的方程，所以點(diǎn)的坐標(biāo)不適合圓的方程，所以點(diǎn) 不在這不在這個(gè)圓上個(gè)圓上25)3()2(22yx(1)(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn). .(2)(2)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定. .(3)(3)求圓的