向量知識點(diǎn)歸納與常見總結(jié)

1、向量知識點(diǎn)歸納與常見題型總結(jié) 一、向量知識點(diǎn)歸納1與向量概念有關(guān)的問題向量不同于數(shù)量，數(shù)量是只有大小的量（稱標(biāo)量），而向量既有大小又有方向；數(shù)量可以比較大小，而向量不能比較大小，只有它的模才能比較大小.記號“”錯(cuò)了，而|才有意義.有些向量與起點(diǎn)有關(guān)，有些向量與起點(diǎn)無關(guān).由于一切向量有其共性（大小和方向），故我們只研究與起點(diǎn)無關(guān)的向量（既自由向量）.當(dāng)遇到與起點(diǎn)有關(guān)向量時(shí)，可平移向量.平行向量（既共線向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量單位向量是模為1的向量，其坐標(biāo)表示為（）,其中、滿足 1（可用（cos,sin）（02）表示）.特別：表示與同向的單位向量。例如：向量所在直線過的內(nèi)心(是的

2、角平分線所在直線)；例1、o是平面上一個(gè)定點(diǎn)，a、b、c不共線，p滿足則點(diǎn)p的軌跡一定通過三角形的內(nèi)心。(變式)已知非零向量與滿足(+)=0且= , 則abc為( )a.三邊均不相等的三角形 b.直角三角形c.等腰非等邊三角形 d.等邊三角形 (06陜西)的長度為0，是有方向的，并且方向是任意的，實(shí)數(shù)0僅僅是一個(gè)無方向的實(shí)數(shù).有向線段是向量的一種表示方法，并不是說向量就是有向線段. （7）相反向量(長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。)2與向量運(yùn)算有關(guān)的問題向量與向量相加，其和仍是一個(gè)向量.（三角形法則和平行四邊形法則）當(dāng)兩個(gè)向量和不共線時(shí)，的方向與、都不相同，且|；當(dāng)兩個(gè)向量和

3、共線且同向時(shí)，、的方向都相同，且；當(dāng)向量和反向時(shí)，若|，與 方向相同 ，且|=|-|；若|時(shí),與 方向相同，且|=|-|.向量與向量相減，其差仍是一個(gè)向量.向量減法的實(shí)質(zhì)是加法的逆運(yùn)算.三角形法則適用于首尾相接的向量求和；平行四邊形法則適用于共起點(diǎn)的向量求和。;例2：p是三角形abc內(nèi)任一點(diǎn)，若，則p一定在（ ）a、內(nèi)部 b、ac邊所在的直線上 c、ab邊上 d、bc邊上例3、若，則abc是：a.rt b.銳角 c.鈍角 d.等腰rt例4、已知向量，求的最大值。分析：通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為函數(shù)（這里是三角）的最值問題，是通法。解：原式=。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值評析：其實(shí)此類問題運(yùn)用一個(gè)重要的

4、向量不等式“”就顯得簡潔明快。原式=，但要注意等號成立的條件（向量同向）。圍成一周（首尾相接）的向量（有向線段表示）的和為零向量.如，,（在abc中） .(abcd中)判定兩向量共線的注意事項(xiàng)：共線向量定理 對空間任意兩個(gè)向量a、b(b0 )，ab存在實(shí)數(shù)使a=b如果兩個(gè)非零向量，使=（r），那么；反之，如，且0，那么=.這里在“反之”中，沒有指出是非零向量，其原因?yàn)?0時(shí)，與的方向規(guī)定為平行. 數(shù)量積的8個(gè)重要性質(zhì)兩向量的夾角為0.由于向量數(shù)量積的幾何意義是一個(gè)向量的長度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可負(fù)、可以為零，故向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù).設(shè)、都是非零向量，是單位向量，是與的夾

5、角，則（=90，在實(shí)數(shù)運(yùn)算中=0=0或b=0.而在向量運(yùn)算中=或=是錯(cuò)誤的，故或是=0的充分而不必要條件.當(dāng)與同向時(shí)=(=0,cos=1);當(dāng)與反向時(shí)，=-(=,cos=-1)，即的另一個(gè)充要條件是.當(dāng)為銳角時(shí)，0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；例5.如已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是_（答：或且）；例6、已知,為相互垂直的單位向量，。且與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：由數(shù)量積的定義易得“”，但要注意問題的等價(jià)性。解：由與的夾角為銳角，得有而當(dāng)即兩向量同向共線時(shí)，有得此時(shí)其夾角不為銳角。故.評析：特別提醒的是：是銳角與不

6、等價(jià)；同樣是鈍角與不等價(jià)。極易疏忽特例“共線”。特殊情況有=?；?.如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(,),(,),則=。（因）數(shù)量積不適合乘法結(jié)合律.如（因?yàn)榕c共線，而與共線）數(shù)量積的消去律不成立.若、是非零向量且并不能得到這是因?yàn)橄蛄坎荒茏鞒龜?shù)，即是無意義的.(6)向量b在方向上的投影bcos(7) 和是平面一組基底,則該平面任一向量(唯一)特別：. 則是三點(diǎn)p、a、b共線的充要條件.注意：起點(diǎn)相同，系數(shù)和是1?；滓欢ú还簿€例7、已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，若，且a、b、c三點(diǎn)共線（該直線不過點(diǎn)o），則s200（ ）a50 b. 51 c.100 d.101例8、平面直角

7、坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn),若點(diǎn)滿足,其中且,則點(diǎn)的軌跡是_（直線ab）例9、已知點(diǎn)a,b,c的坐標(biāo)分別是.若存在實(shí)數(shù),使,則的值是:a. 0 b. 1 c. 0或1 d.不確定例10下列條件中，能確定三點(diǎn)不共線的是：abc d分析：本題應(yīng)知：“共線，等價(jià)于存在使且”。(8)在中，為的重心，特別地為的重心；則過三角形的重心；例11、設(shè)平面向量、的和。如果向量、，滿足，且順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與同向，其中，則（d）（06河南高考）a bc d為的垂心； 向量所在直線過的內(nèi)心(的角分線所在直線)；的內(nèi)心；(選)saob;例12、若o是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為_（答：直角三角形）；例13、若為的

8、邊的中點(diǎn)，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，設(shè)，則的值為_（答：2）；例14、若點(diǎn)是的外心，且，則內(nèi)角為_（答：）；(9)、 p分的比為,則=,0內(nèi)分;0且-1外分.;若1 則(+);設(shè)p(x,y),p1(x1,y1),p2(x2,y2)則;中點(diǎn)重心說明：特別注意各點(diǎn)的順序，分子是起點(diǎn)至分點(diǎn)，分母是分點(diǎn)至終點(diǎn)，不能改變順序和 分子分母的位置。例15、已知a（4，-3），b（-2，6），點(diǎn)p在直線ab上，且，則p點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）（2，0），（6，-6）(10)、點(diǎn)按平移得,則 或 函數(shù)按平移得函數(shù)方程為：說明：（1）向量按向量平移，前后不變；（2）曲線按向量平移，分兩步：確定平移方向-與坐標(biāo)軸的方向一致；按左加右減，上加下減（上減下加）例16、把函數(shù)的圖象按向量平移后得到的解析式是_。例17、函數(shù)的圖象按向量平移后，所得函數(shù)的解析式是，則_（答：）結(jié)論：已知,過的直線與交于點(diǎn),則分所成的比是,若用此結(jié)論,以下兩