三大抽樣分布

1、（一）正態(tài)分布（一）正態(tài)分布v如果總體各個體的標志值以總體平均數為中心，形成如果總體各個體的標志值以總體平均數為中心，形成鐘型對稱分布，其分布曲線向兩側擴展，逐漸向橫軸鐘型對稱分布，其分布曲線向兩側擴展，逐漸向橫軸逼近，無限延伸出去，但不接觸橫軸，則這種分布就逼近，無限延伸出去，但不接觸橫軸，則這種分布就叫做正態(tài)分布，或高斯分布、常態(tài)分布。服從正態(tài)分叫做正態(tài)分布，或高斯分布、常態(tài)分布。服從正態(tài)分布的總體稱為正態(tài)總體。布的總體稱為正態(tài)總體。 v如果一個隨機變量如果一個隨機變量X X服從正態(tài)分布，則其分布的密度服從正態(tài)分布，則其分布的密度函數函數( (分布曲線方程分布曲線方程) )為：為： 2)(

2、2121)(xexf抽樣分布抽樣分布 當=0,2=1時，稱該分布為標準正態(tài)分布。標準正態(tài)分布的密度函數為22121)(xexfv任何正態(tài)分布，它的樣本落在任意區(qū)間任何正態(tài)分布，它的樣本落在任意區(qū)間(a,b(a,b) )內的概率內的概率等于直線等于直線x=ax=a，x=bx=b，橫坐標和曲線，橫坐標和曲線f(xf(x) )所夾的面積所夾的面積( (可可 由正態(tài)分布概率積分表查得由正態(tài)分布概率積分表查得) )。經計算，正態(tài)總體的樣。經計算，正態(tài)總體的樣本落在：本落在： (-, +)(-, +)概率是概率是68.2768.27； (-2, +2)(-2, +2)概率是概率是95.4595.45； (

3、-3, +3)(-3, +3)概率是概率是99.7399.73； (-1.96, +1.96)(-1.96, +1.96)概率是概率是9595；（二）統(tǒng)計量的概念（二）統(tǒng)計量的概念v設是設是 是來自總體是來自總體X的一個樣本，的一個樣本，是是 的不含有未知參數的函數，則的不含有未知參數的函數，則 成為一個統(tǒng)計量成為一個統(tǒng)計量 v統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。 12,nXXX12(,)ng XXX12,nXXX12(,)ng XXXv2 2 分布是海爾墨特（分布是海爾墨特（HermertHermert）和卡）和卡皮爾生（皮爾生（K KPearsonPearson）分別于分別

4、于18751875年和年和18901890年導出的。它主要適用于對擬合優(yōu)度檢年導出的。它主要適用于對擬合優(yōu)度檢驗和獨立性檢驗，以及對總體方差的估計和檢驗。驗和獨立性檢驗，以及對總體方差的估計和檢驗。v2 2 分布是一種抽樣分布。當我們對正態(tài)隨機變量隨機地重分布是一種抽樣分布。當我們對正態(tài)隨機變量隨機地重復抽取個數值，將每一個值變換成標準正態(tài)變量，并對這個復抽取個數值，將每一個值變換成標準正態(tài)變量，并對這個新的變量分別取平方再求和之后，就得到一個服從新的變量分別取平方再求和之后，就得到一個服從2 2分布的分布的變量，即變量，即統(tǒng)計量。變量或簡稱為隨機變量2222221222222212)()()

5、()()(nxxxxinin 1.1. 2 2分布分布（三）樣本統(tǒng)計量的三大抽樣分布（三）樣本統(tǒng)計量的三大抽樣分布 2 2分布的性質分布的性質(1)(1)2 2分布是一個以自由度為參數的分布族，自由度決定了分布是一個以自由度為參數的分布族，自由度決定了2 2分布的形狀，對于不同的，有不同分布的形狀，對于不同的，有不同2 2的分布。的分布。(2)(2)分布可加性分布可加性 若若X X 2(n2(n1 1) )，YY 2(n2(n2 2 ) )，X,YX,Y獨立，則獨立，則X + Y X + Y 2 2(n(n1 1+n+n2 2 ) )(3)(3)期望與方差期望與方差 若若X X 2 2(n)(

6、n)，則，則E(X)= nE(X)= n，D(X)=2nD(X)=2n(4)(4) 2 2分布是一種非對稱的分布，分布是一種非對稱的分布， 這種非對稱的分布一般為正偏這種非對稱的分布一般為正偏分布，隨著自由度分布，隨著自由度n n的增大逐漸的增大逐漸趨近于正態(tài)分布趨近于正態(tài)分布(5)(5) 2 2的變量值總是為正。的變量值總是為正。因此，從一個正態(tài)總體中抽樣得到的樣本方差因此，從一個正態(tài)總體中抽樣得到的樣本方差S2，近似服從，近似服從 ) 1(/) 1(222nSn當當 222222122XNn()(1)niixxns 2（6）當總體（ ,）,從中抽取容量為的樣本，則（n-1）；（n-1）（7

7、 7）分位點）分位點 設設X X 2 2(n)(n)，若對于，若對于 ：00 11，存在，存在 分布的上分布的上 分位點。分位點。)(2n則稱則稱)(2n,)(2nXP0)(2n滿足滿足為為)(2n2.t 2.t 分布分布v關于關于t t分布的早期理論工作，是英國統(tǒng)計學家威廉分布的早期理論工作，是英國統(tǒng)計學家威廉西利西利戈塞戈塞特（特（Willam Sealy GossetWillam Sealy Gosset）在）在19901990年進行的。年進行的。 vt t分布是小樣本分布，小樣本一般是指分布是小樣本分布，小樣本一般是指n n3030。t t分布適用于分布適用于當總體標準差未知時用樣本標

8、準差當總體標準差未知時用樣本標準差s s代替總體標準差代替總體標準差，由，由樣本平均數推斷總體平均數及兩個小樣本之間差異的顯著性樣本平均數推斷總體平均數及兩個小樣本之間差異的顯著性檢驗。檢驗。分布。的服從自由度為獨立，則和且分布的服從自由度為，服從若tnnYXYXnYNX / , ) 1 , 0( 222(1) Y=nS)( 12n則X=/xn)1 ,0(N2( ,) ,N若總體U 22/ (1)/(1)/xXxntt nY nSnnSnt t 分布性質分布性質(1)t(1)t是對稱分布，且其均值為是對稱分布，且其均值為0 0（這與標準正態(tài)分布完全相（這與標準正態(tài)分布完全相同）同）; ;(2)

9、(2)當樣本容量當樣本容量n n較小時，較小時，t t分布的方差大于分布的方差大于1 1；當；當n30n30時，時，t t分分布的方差就趨近于布的方差就趨近于1 1，t t分布也就漸近于標準正態(tài)分布，這時可分布也就漸近于標準正態(tài)分布，這時可用標準正態(tài)分布來代替用標準正態(tài)分布來代替t t分布。當樣本容量足夠大時，用分布。當樣本容量足夠大時，用s s2 2來代來代替替2 2就具有較好的可靠性。就具有較好的可靠性。(3)t(3)t分布分布t(nt(n) )的數學期望與方差分別為：的數學期望與方差分別為： E(tE(t)=0)=0，D(tD(t)=n/(n-2).(n)=n/(n-2).(n2)2)

10、(4)(4) t 分布是一個分布族，對于不同的樣本容量對應不同的分布是一個分布族，對于不同的樣本容量對應不同的分布，且均值都為分布，且均值都為0；隨著自由度的增大，分布也逐漸趨隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于標準正態(tài)分布。于標準正態(tài)分布。 (5) (5) t t 分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它的中心部分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它的中心部分較低，兩個尾部較高。分較低，兩個尾部較高。(6)(6)t t 分布分布分位點分位點 設設T Tt(n)t(n)，若對，若對 :0:0 1,0(n)0， 滿足滿足PTPT t t (n)=(n)= ，則稱，則稱t t (n)(n)為為t(nt(n)

11、 )的上側分的上側分位點。位點。)(nt注注:)()(1ntnt1( )( )tntn 若若X X2 2(n(n1 1) )，Y Y2 2(n(n2 2) )，且，且X X與與Y Y相互獨立，則稱隨機變量相互獨立，則稱隨機變量 3 3、F F分布分布1221/nnYXnYnXF服從第一自由度為服從第一自由度為n n1 1，第二自由度為，第二自由度為n n2 2的的F F分布，記作：分布，記作：F FF(nF(n1 1,n,n2 2) ) 。F F分布是以統(tǒng)計學家分布是以統(tǒng)計學家 R. A. Fisher R. A. Fisher 姓氏的第一個字母命名的。姓氏的第一個字母命名的。F F 分布用途

12、很廣，可用于方差分析、協(xié)方差分析和回歸分析等。分布用途很廣，可用于方差分析、協(xié)方差分析和回歸分析等。 F F分布定義為兩個獨立的分布定義為兩個獨立的2 2分布被各自的自由度除以后的比率這分布被各自的自由度除以后的比率這一統(tǒng)計量的分布。一統(tǒng)計量的分布。F F分布的主要性質有：分布的主要性質有：F F分布是一種非對稱的分布，呈右偏態(tài)；分布是一種非對稱的分布，呈右偏態(tài)； F F分布兩個自由度：分布兩個自由度：n n1 1-1-1和和n n2 2-1-1，相應的分布記作，相應的分布記作F(nF(n1 1-1,n-1,n2 2- -1)1)。通常。通常n n1 1-1-1稱為分子自由度，稱為分子自由度，

13、 n n2 2-1-1稱為分母自由度。稱為分母自由度。隨隨n n1 1,n,n2 2的不斷增大，的不斷增大，F F分布的右偏程度逐漸減弱，但不會趨向分布的右偏程度逐漸減弱，但不會趨向正態(tài)；正態(tài)；具有倒數性質即若具有倒數性質即若X XF(nF(n1 1,n,n2 2) )，則，則1/X1/XF(nF(n1 1,n,n2 2) )；若若t tt(nt(n),),則則t t2 2(n)(n)F(1,n)F(1,n)。其數學期望和方差分別為。其數學期望和方差分別為)4(.)4()2()2(2,222221212222nnnnnnnDXnnEXF F分布的分位點分布的分位點 對于對于 ：00 10)0，滿足，滿足PFPF F F (n(n1 1, , n n2 2)=)= ， 則稱則稱F F (n(n1 1, , n n2 2) )為為F(nF(n1 1, , n n2 2) )的上側的上側 分位點；分位點；),(21nnF112211( ,)(,)Fn nF n n注：注：122111212222221122122212211122211111222222222222,X,(,),Y,(,),.(1)(