微積分-多元函數(shù)微分學

1、calculus第五章第五章 多元函數(shù)的微分學多元函數(shù)的微分學5.1 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念5.2 多元函數(shù)的偏導數(shù)多元函數(shù)的偏導數(shù)5.3 多元函數(shù)的全微分多元函數(shù)的全微分5.4 多元復合函數(shù)及隱藏函數(shù)求導法則多元復合函數(shù)及隱藏函數(shù)求導法則5.5 多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限5.6 多元函數(shù)微分法在經(jīng)濟上的應(yīng)用多元函數(shù)微分法在經(jīng)濟上的應(yīng)用calculus5.1 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念一、平面點集一、平面點集例例1:例例2:yxo2yx定義定義PyxyxE滿足條件),(),(yxyxRXOY,),(2平面上所有點的集合xyyxE21),(calculusx-rrr 例

2、例3:y-roryxyxE222),(calculus二、鄰域二、鄰域220000000( ,) ()(),0(,)(,)x yxxyyPxyUpp2點集稱為點的鄰域。記為。稱為鄰域的中心，為鄰域的半徑0P 0P 2200000 ( ,) | 0()()0(,)x yxxyyPxy點集，稱為點的空心鄰域calculusEEAAEAE設(shè) 有 點 集和 屬 于的 一 點 ， 如 果 存 在 點 的 一 個鄰 域 ， 此 鄰 域 內(nèi) 的 點 都 屬 于， 則 稱為 點 集的內(nèi) 點內(nèi)點內(nèi)點:EEBBEBE設(shè)有點集和不屬于的一點，如果存在點的一個鄰域，此鄰域內(nèi)的點都不屬于，則稱為點集的外點外點外點:EC

3、CEECEECEEE設(shè)有點集和一點，可以屬于也可以不屬于如果點的任何一個鄰域內(nèi)既有屬于的點又有不屬于的點，則稱為點集的界點。點集的界點的全體稱為點集的邊界界點界點:calculusE 邊界點邊界點 外點外點內(nèi)點內(nèi)點 ABCcalculusE.1P2PEE如 果 點 集的 每 一 點 都 是 內(nèi) 點 ， 則 稱 點 集為 開 集開集開集:12,EPPEE若 對 于 開 集中 的 任 意 兩 點都 有中 的 折 線 連 接 起 來 ， 則 稱為 開 區(qū) 域開區(qū)域開區(qū)域:calculus注意：開集不一定是開區(qū)域注意：開集不一定是開區(qū)域3 (,)0 Exyy x例如：1P2P3E 是開集，但不是開w區(qū)

4、域。（ hy?）yxoooocalculus45226(,)0(,) 01, 02(,) 14ExyxyExyxyExyxy例 如 ：是 開 區(qū) 域是 區(qū) 域是 閉 區(qū) 域開 區(qū) 域 連 同 它 的 邊 界 的 集 合 稱 為 閉 區(qū) 域閉區(qū)域閉區(qū)域:開 區(qū) 域 ， 閉 區(qū) 域 或 開 區(qū) 域 連 同 它 的 部 分邊 界 的 集 合 稱 為 區(qū) 域區(qū)域區(qū)域:calculus若區(qū)域E可以包含在以原點為中心的一個圓內(nèi)，則稱它是一個有界區(qū)域,否則，就稱為無界區(qū)域。45226( ,)0( ,) 01, 02( ,) 14Ex yxyEx yxyEx yxy例 如 ：是 無 界 區(qū) 域 ，是 有 界

5、區(qū) 域 ,是 有 界 區(qū) 域 .有界區(qū)域與無界區(qū)域有界區(qū)域與無界區(qū)域calculus二、空間解析幾何簡介二、空間解析幾何簡介1. 空間直角坐標系空間直角坐標系O-XYZ(右手法則右手法則)Pooxyz坐標軸坐標軸:oxoyoz坐標原點坐標原點:坐標平面坐標平面:xoyyozzox卦限卦限:八個卦限八個卦限0Pzyx空間內(nèi)的點空間內(nèi)的點P)z ,y,x(),x(00), y,(00)z ,(00),(000),y,x(0)z , y,(0)z ,x(0calculus2( , , )P x y z、空間任一點的坐標問題：空間任一點的坐標如何確定呢？123PP、空間任意兩點的距離111122221

6、21222221212222212121(),()()()()PxyzPxyzP PP PP PP AA BB Pxxyyzz設(shè) 有 空 間 兩 點,過 點各 作 三 個 平 面 分 別 垂 直 于 三 個 坐 標 軸 ， 三 個 平面 圍 成 一 個 長 方 體 。是 它 的 一 條 對 角 線 。如 圖 :22212212121()()()P PxxyyzzcalculusO2xxxz1xABC1P2P1y2ycalculus4、空間曲面與曲面方程、空間曲面與曲面方程(1)0,0A xB yC zDA B CDA B C平 面 方 程 的 一 般 形 式其 中均 為 常 數(shù)不 全 為1(,

7、 0, 0), (0, 0), (0, 0,)xyzabcabcxyz（ 2） 平 面 方 程 的 截 距 式且為 此 平 面 分 別 與軸軸 ，軸 的 交 點calculus(3)特殊平面的方程特殊平面的方程0 xoyz 平面：；xoyzc平行于平面的平面0yozx 平面：；0 xozy 平面：；yozxa平行于平面的平面xozyb平行于平面的平面calculus(4) 球面方程球面方程0000(),P xyzR求球心為點, ,半徑為 的球面方程oxyz(),P x y z解：設(shè), , 為球面上任意一點 則0P PR222000()()()xxyyzzR即2222000()()()xxyyz

8、zR球面方程為calculus000222200,0 xyzxyzR當球心為原點，即,球面方程為222zRxy且為 上 半 球 面222zRxy 且為下半球面問題：如何認識空間任一張曲面的圖形呢？（有興趣的同學可閱讀相關(guān)資料）calculus(5) 柱面方程柱面方程MCLLCMLLC如圖：設(shè)有動直線 沿一給定的曲線移動，移動時始終與給定的直線平行，這樣由直線 的軌跡所行成的曲面稱為柱面。動直線 稱為柱面的母線，定曲線稱為柱面的準線。( , )0zF x y 母線平行于 軸的柱面方程為：calculus222xyR圓 柱 面 ：22221yxba雙 曲 柱 面 ：calculus( , )0(

9、, )0 xoyF x yoxyzF x y注意：在平面上表示一條曲線,在空間坐標系中表示一個母線平行于z軸的柱面。( ,)0( ,)0Fy zF x z同 理 ： 母 線 平 行 于 x軸 的 柱 面 方 程 ：母 線 平 行 于 y軸 的 柱 面 方 程 ：220(0)xpyp拋物柱面：calculus2222xyaz圓錐面方程calculus2222221xyzabcoxyz橢球面方程calculus2222xyzab橢圓拋物面方程calculus2222yxzba-505-10010-4-2024-505-10010雙曲拋物面方程calculus三、多元函數(shù)的極限與連續(xù)三、多元函數(shù)的極

10、限與連續(xù)1、多元函數(shù)的定義、多元函數(shù)的定義,( )x yzfx yD f其中稱為自變量， 也稱因變量， 稱為對應(yīng)法則，的取值區(qū)域稱為函數(shù)的定義域，記為三要素：定義域，對應(yīng)法則，值域同理可定義三元函數(shù)及n元函數(shù),( , )( , )x yx yzxyzf x y當變量任意取定一對有序數(shù)組時，第三個變量z依某一確定的法則有唯一確定的值與其對應(yīng)，則稱變量 為變量 與 的二元函數(shù)。記為定義定義1calculus( , )( , )( , )zf x yf x yx y如果不考慮實際應(yīng)用，二元函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的點組成的平面區(qū)域定義域的求法2201yxxxy22ln()1xzyxxy求函數(shù)的定

11、義域例例1:220010yxxxy由解解:22()( ,)10Dfx yxyyxx定 義 域 為 ：且且calculusyyyyyxooooo ooyx221xy000oO o0oocalculus對應(yīng)關(guān)系的求法32( , )23f u vuuvv12,uvxy令則321 21122( ,)( )2( ) ( )3( )fx yxxyy321412xxyy3212( ,)23,(,)fx yxxyyfxy設(shè)求例例2:32( , )23f x yxxyy解解:calculus二元函數(shù)的幾何意義( )yf xxoy一元函數(shù)表示上的一條曲線( ,)()zfx yoxyzDfxoy二 元 函 數(shù)對 應(yīng)

12、 空 間 坐 標 系中 的一 張 曲 面 ， 其 定 義 域恰 好 是 該 曲 面 在平 面 上 的 投 影22zRxyR例如：表示以原點為球心， 為半徑的上半球面calculus22zxy例如:表示旋轉(zhuǎn)拋物面calculus2.二元函數(shù)的極限00000000,02( ,)(,)( ,)( ,)( ,),( ,)( ,)(zf x yP xyPP x yPPPf x yAAzf x yxxyyf x yAf x yAxx yy00 xxyy定義 ：設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，(在點 是否有定義不予考慮)，是該鄰域內(nèi)異于的任一點，如果 以任何方式趨近于時，函數(shù)的對應(yīng)值都趨近于同一個確定的常數(shù)，

13、則稱 是函數(shù)當時的極限（又稱二重極限），記作lim或)calculus例例1.22000 xyxyxyf xyxy， 不同時為（ ， ）222222000 0000 00 011PxxyPxyPxx mxmxmxmxmxm當點 沿 軸（此時，）趨近于原點（ ， ）時，f（x，y） 0，故有f（x，y）=f（x，0）0 （x0，y=0）當點 沿y軸（此時，）趨近于原點（ ， ）時，f（x，y） 0，故也有f（x，y）=f（0，y）0 （x=0，y0）然而當點 沿直線y=m 趨近于原點（ ， ）時，有f（x，y）= （x（） （）0limxoyf xy0，y=mx0）此時f（x，y）趨近于一個與m

14、有關(guān)的常數(shù)，它隨m不同而不同，故（ ， ）不存在。calculus二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性)y,x(f)y,x(flim)y ,x()y ,x(0000 若若則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(yxf在點在點),(00yx處處連續(xù)連續(xù)若函數(shù)若函數(shù)),(yxfz 在區(qū)域內(nèi)每一點都連續(xù)，在區(qū)域內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(yxf在內(nèi)在內(nèi)連續(xù)，連續(xù)，或稱或稱),(yxf是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)若函數(shù)若函數(shù)),(yxf在點在點),(00yx處不連續(xù)，處不連續(xù)，則稱點則稱點),(00yx為為),(yxf的的間斷點間斷點例如，例如，,11sin22yxz間斷點為：間斷點為：1| ),(22 yxyx

15、定義定義3calculus在有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)具有性質(zhì)：在有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)具有性質(zhì)：性質(zhì)性質(zhì)（最大值和最小值定理）（最大值和最小值定理）在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，一定能夠取得最大值和最小值在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，一定能夠取得最大值和最小值性質(zhì)性質(zhì)（介值定理）（介值定理）在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，一定能夠取得介于最大值和最在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，一定能夠取得介于最大值和最小值之間的任何數(shù)值小值之間的任何數(shù)值二元初等函數(shù)二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)結(jié)論結(jié)論二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍為連續(xù)函數(shù)二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍為連續(xù)函

16、數(shù)二元連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)二元連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)calculus.232121xyyxlim).(),()y ,x( 211例例4xyxylim).(),()y ,x(42200 )xy(xyxylim),()y ,x(4200 42100 xylim),()y ,x(.41 calculus5.2 多元函數(shù)的偏導數(shù)多元函數(shù)的偏導數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx某鄰域內(nèi)有定義，某鄰域內(nèi)有定義，當固定當固定,0yy 而而x在在0 x處有增量處有增量x時，函數(shù)的增量時，函數(shù)的增量x)y,x(f)y,xx(flimx 00000 存在，存在，則稱此極限值為函

17、數(shù)則稱此極限值為函數(shù)),(yxf在點在點),(00yx處對處對x的偏導數(shù)的偏導數(shù).記作記作:,xzyyxx00 ,xfyyxx00 ,zyyxxx00 或或).y,x(fx00 若極限若極限xzlimxx 00000(,)(,)xzf xx yf xy定義定義1calculus即即)y,x(fx00 x)y,x(f)y,xx(flimx 00000 )y,x(fx00 0000),(),(lim0 xxyxfyxfxxcalculus),(yxf在點在點),(00yx處對處對的偏導數(shù)定義為的偏導數(shù)定義為:類似類似,函數(shù)函數(shù)y)y,x(fy00 y)y,x(f)yy,x(flimy 00000

18、也記作也記作,00yyxxyz,yfyyxx00 ,zyyxxy00 ).y,x(fy00 )y,x(fy00 00000yy)y,x(f)y,x(flimyy )y,x(fy00 )y,x(f0是一元函數(shù)是一元函數(shù)在點在點0y處的導數(shù)處的導數(shù),)y,x(fx00 ),(0yxf是一元函數(shù)是一元函數(shù)在點在點0 x處的導數(shù)處的導數(shù),結(jié)論結(jié)論calculus)y,x(fx x)y,x(f)y,xx(flimx 0)y,x(fy y)y,x(f)yy,x(flimy 0視視 y 為常量，為常量，對對 x 求導求導.視視 x 為常為常量，量，對對 y 求導求導.若函數(shù)若函數(shù)),(yxf在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)

19、每一點內(nèi)每一點),(yx處對處對x的偏導數(shù)都存在的偏導數(shù)都存在,偏導數(shù)就是偏導數(shù)就是yx,的函數(shù)的函數(shù), 稱為函數(shù)稱為函數(shù)),(yxf對對x的偏導的偏導(函函)數(shù)數(shù).記作記作,xz,xf,zx )y,x(fx 類似定義函數(shù)類似定義函數(shù)),(yxf對對的偏導數(shù)的偏導數(shù).y記作記作:,yz,yf,zy )y,x(fy calculus說明說明對二元函數(shù)求關(guān)于某一個自變量的偏導數(shù)時對二元函數(shù)求關(guān)于某一個自變量的偏導數(shù)時,只需視其它變量為常量只需視其它變量為常量,求導即可求導即可.根據(jù)一元函數(shù)的求導根據(jù)一元函數(shù)的求導公式和求導法則公式和求導法則,同理可定義多元函數(shù)的偏導數(shù)同理可定義多元函數(shù)的偏導數(shù)ca

20、lculus0 xxyzSo0y二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義:)y,x(fx00 ),(0yxf是一元函數(shù)是一元函數(shù)在點在點0 x處的導數(shù)處的導數(shù),由一元函數(shù)導數(shù)的幾何意義知由一元函數(shù)導數(shù)的幾何意義知)y,x(fx00 在幾何上表示空間曲線在幾何上表示空間曲線 0yy)y,x(fz在點在點),(0000zyxM處的切線對處的切線對x軸的斜率軸的斜率.類似類似,)y,x(fy00 在幾何上表示空間曲線在幾何上表示空間曲線 0 xx)y,x(fz在點在點),(0000zyxM處的切線對處的切線對軸的斜率軸的斜率.ycalculus二、偏導數(shù)的計算例例1.求求yxz2sin2的偏

21、導數(shù)的偏導數(shù).解解xz , ysinx22 yz ycosx222 例例2.求求223yxyxz處的偏導數(shù)處的偏導數(shù).在點在點)2 , 1 (解解xz ,yx32 yz . yx23 21 yxyz. 7 21 yxxz,8 calculus例例3.求求)x,x(xzy10 的偏導數(shù)的偏導數(shù).解解xz ,yxy 1 yz .xlnxy 例例4.求求222zyxr 的偏導數(shù)的偏導數(shù).解解xr 22222zyxx ,rx yr ,ry zr .rz22222zyxy 22222zyxzcalculus例例5. 已知已知yxyxyxfarcsin) 1(),(求求:) 1 , 2(xf 解解:xxf

22、yxfy) 1 ,(),(1得代入把1)1 , 2()1 ,(21)1 ,(xfxfxxfxx得代入把所以有calculus例例6.求函數(shù)求函數(shù) ),()y, x(,),()y, x(,yxxy)y, x(f0000022在原點處的偏導數(shù)在原點處的偏導數(shù).解解),(fx00 00000 x),(f),x(flimxxxxlimx00020 , 0),(fy00 00000 y),(f)y,(flimyyyylimy00020 , 0二元函數(shù)在某一點處偏導數(shù)存在二元函數(shù)在某一點處偏導數(shù)存在,但未必連續(xù)但未必連續(xù).不存在不存在2200yxxylim),()y ,x( 點點不不連連續(xù)續(xù)。在在),()

23、y,x(f00 )y,x(flim),()y ,x(00calculus二、高階偏導數(shù)二、高階偏導數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),( yxfz在區(qū)域在區(qū)域D 內(nèi)有偏導數(shù)內(nèi)有偏導數(shù)),y, x(fxzx ).y,x(fyzy 若這兩個函數(shù)的偏導數(shù)存在，若這兩個函數(shù)的偏導數(shù)存在，稱其為函數(shù)稱其為函數(shù)),( yxfz的的二階偏導數(shù)二階偏導數(shù) xzx22xz ),y,x(fxx yzy22yz ),y,x(fyy 22xf xxz calculus xzyyxz 2),y,x(fxy yzxxyz 2),y,x(fyx 混合偏導數(shù)混合偏導數(shù)類似可定義三階、四階及更高階的偏導數(shù)，類似可定義三階、四階及更高階的偏導數(shù)，

24、二階及二階以上的偏導數(shù)稱為二階及二階以上的偏導數(shù)稱為高階偏導數(shù)高階偏導數(shù).calculus, yyyx 32233xz yz xzx22xz xzyyxz 2 yzy22yz 解解,xy26 ,xxyyx 2392例例1.設(shè)設(shè)求它的二階偏導數(shù)求它的二階偏導數(shù).,xyxyyxz13323 ,yyx19622 ,xyx1823 yzxxyz 2,yyx19622 33xz 22xzx,y26 33yz 22yzy,x18 再求再求yxz 23 22xzy,xy12 calculus22xz 例例2.驗證函數(shù)驗證函數(shù)22yxlnz 滿足方程滿足方程.yz022 證證),yxln(z2221 xz y

25、z 22xz 22yz ,yxx22 ,yxy22 222222)yx(xx)yx( ,)yx(xy22222 222222)yx(yy)yx( .)yx(yx22222 22xz 22yz 22222)yx(xy 22222)yx(yx . 0 calculus證證xu 21 32222)zyx(x ,rx3 22xu 31r 22243zyxxrx 31r 523rx由自變量的對稱性知由自變量的對稱性知22yu 31r 523rz31r 523ry22zu 22xu 22yu 22zu 33r 52223r)zyx( . 0 例例3.證明函數(shù)證明函數(shù)ru1 滿足方程滿足方程22xu 22y

26、u .zu022 )zyxr(222 (拉普拉斯方程拉普拉斯方程)calculus000000( ,)( ,)( ,),(,)(,)(,)xyyxxyyxzfx yfx yfx yxyDfxyfxy設(shè) 函 數(shù)在 區(qū) 域 D內(nèi) 連 續(xù) ， 并 且 存 在一 階 偏 導 數(shù) 及 二 階 混 合 偏 導 數(shù)和如 果 在 某 點這 兩 個 二 階混 合 偏 導 數(shù) 連 續(xù) ， 則 必 有定理定理1calculus.tan222xzyzxzyxz求設(shè)解解答答calculus5.3 多元函數(shù)的全微分多元函數(shù)的全微分一、一、 全微分的定義與計算全微分的定義與計算設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx

27、某鄰域內(nèi)有定義，某鄰域內(nèi)有定義，分別給分別給yx,一增量一增量, yx 函數(shù)相應(yīng)的全增量函數(shù)相應(yīng)的全增量),(),(yxfyyxxfz若全增量可表示為若全增量可表示為:),(oyBxAz其中其中BA,僅與僅與yx,有關(guān)，與有關(guān)，與yx ,無關(guān)，無關(guān)，,)()(22yx則稱函數(shù)則稱函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx處可微處可微.定義定義1calculusyBxA稱為函數(shù)稱為函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx處的全微分處的全微分.即即yBxAdz記作記作dz)y,x(df,若函數(shù)若函數(shù)),(yxfz 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)各點處都可微內(nèi)各點處都可微,則稱函數(shù)在則稱函數(shù)在D內(nèi)可微內(nèi)可微.calcu

28、lus定理定理1若函數(shù)若函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx處可微分處可微分.則該函數(shù)則該函數(shù)在點在點),(yx的偏導數(shù)的偏導數(shù)yzxz,必定存在必定存在,且且yyzxxzdz證證 由由),(oyBxAz特別特別, 0y|,x| ),(),(yxfyxxf|),(|xoxAxyxfyxxfx),(),(lim0A xz同理可證同理可證Byz類似于一元函數(shù)類似于一元函數(shù),記記,dxx ,dyy或或yfxfdzyx calculus注意注意 若函數(shù)若函數(shù) 在點在點),(yxfz 存在存在),(yx處的偏導數(shù)處的偏導數(shù)函數(shù)在該點不一定可微函數(shù)在該點不一定可微.例例證明函數(shù)證明函數(shù) 000),(22

29、yxyxxyyxf不同時為在原點的兩個偏導數(shù)存在在原點的兩個偏導數(shù)存在,但不可微但不可微.解解函數(shù)函數(shù) ),(yxf在原點的全增量在原點的全增量)0 , 0()0 ,0(fyxfz22yxyxcalculus),(fx00 00000 x),(f),x(flimxxxxx000lim20, 0)0 , 0(yf yyyy000lim20, 000000 y),(f)y,(flimy函數(shù)函數(shù) ),(yxf在原點的全微分在原點的全微分0)0 , 0()0 , 0(dyfdxfdzyx而而22yxyxdzz且且2200limlimyxyxdzz不存在不存在所以由定義知函數(shù)在原點不可微所以由定義知函數(shù)

30、在原點不可微.calculus定理定理2 (充分條件充分條件)若函數(shù)若函數(shù))y,x(fz 在點在點 的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導數(shù)的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導數(shù))y,x(yz,xz ,則函數(shù)在該點可微則函數(shù)在該點可微. 且且dyyzdxxzdz 若函數(shù)若函數(shù)dzzudyyudxxudu )z , y,x(fu 在點在點 可微可微)z , y,x(則則dzudyudxuduzyxcalculus解解yyzxxzdz xyexy yxexy 2021022.e.e 250 e. 例例1.求函數(shù)求函數(shù)xyez 在點在點 (2,1) 處當處當2 . 0, 1 . 0yx時的全微分和全增量時的全微分和全增量.) 1

31、 , 2()2 . 01 , 1 . 02(ffz) 1(52. 02eecalculus例例2.求下列函數(shù)的全微分求下列函數(shù)的全微分:) 1, 0().3( ,2sin).2( ,).1 (22xxxueyxuyyxzyzyz解解(1).dyyzdxxzdzxydx2dyyx)2(2dzzudyyudxxudu).2(dxdyzeyyz)2cos21(dzyeyzdzzudyyudxxudu).3(dxyzxyz 1xdyzxyzlnxdzyxyzlncalculus5.4 5.4 復合函數(shù)及隱藏函數(shù)求導法則復合函數(shù)及隱藏函數(shù)求導法則一、多元復合函數(shù)的求導法則一、多元復合函數(shù)的求導法則(1)

32、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(),(yxvyxu在點在點),(yx處處 有偏導數(shù)有偏導數(shù),在點在點),(yx處有偏導數(shù)處有偏導數(shù),且且xz yz定理定理1而函數(shù)而函數(shù)),(vufz 在對應(yīng)點在對應(yīng)點),(vu處可微處可微則復合函數(shù)則復合函數(shù)),(),(yxyxfzvuzxy連鎖法則連鎖法則xvvzxuuzyvvzyuuzxz yzxuf xvf yuf yvf calculus例例1.設(shè)設(shè),yxv ,xyu,vsinezu 求求.yz,xz 解解xz vsineu yveucos 1 )cos()sin(yxyxyexy yvvzyuuz vsineu x vcoseu 1 )cos()sin(yxyxx

33、exy yz vuzxyxvvzxuuzcalculus2sin,2,xzzzey xst ytsst求例例2. 設(shè)設(shè)解解:zzxzysxsyssin .2cos .2xxey teys2222sincosstettsstszzxzytxtytsin .2cos .1xxey sey22222 sincossteststsyxzstcalculus例例yzxzxyyxfz,),(22求xyvyxu,22設(shè)),(vufz 則xzyzxuuvuf),(xvvvuf),(yuuf yvvf yfxfvu 2xfyfvu 2calculus),(),(mtsvmtsusztz),(vufz 則復合函數(shù)

34、則復合函數(shù)),(),(mtsmtsfzvuzst連鎖法則連鎖法則svvzsuuztvvztuuzmmzmuuzmuuzcalculus若函數(shù)若函數(shù))x(v),x(u 都在點都在點 x 處可導處可導,函數(shù)函數(shù)),(vufz 在對應(yīng)點在對應(yīng)點),(vu處可微處可微,則復合函數(shù)則復合函數(shù))x(),x(fz 在點在點 x 處可導處可導,且且dxdvvzdxduuzdxdz 全導數(shù)全導數(shù)推論推論1.zvuxdxdz uf vfcalculus函數(shù)函數(shù))y , x( fz )x(y 而而則復合函數(shù)則復合函數(shù))x(,x(fz 在點在點 x 的導數(shù)的導數(shù)dxdyyzxzdxdz 全導數(shù)全導數(shù)推論推論2.zyx

35、x以上公式都可推廣到中間變量或自變量多于兩個的情形以上公式都可推廣到中間變量或自變量多于兩個的情形.說明說明dxdzxf yfcalculus例例5.cos,sintveutuvzt求求dtdz解解dtdztzdtdvvzdtduuz tev )tsin(u tcos tcos)tsint(coset zvut例例4.,ty, tsinx,ezyx32 求求dtdz解解dtdzdtdyyzdtdxxz tcoseyx 2 2232t)(eyx ).tt(cosettsin2263 zyxtcalculus解解:設(shè)設(shè) ,0uf tvg tug tv則z=f t=u因此因此dzz duz dvdt

36、u dtv dt 1lnvvvuftuug t 1lng tg tg tf tftf tf t gt例例6. ,0,g tdftftftg tdt求其 中均 可 導calculus且存在一階連續(xù)偏導數(shù)，求且存在一階連續(xù)偏導數(shù)，求例例7設(shè)設(shè),ufx xy xyzf,uuuxyz解：解：xmnufyfyzfxmnuxfxzfynuxyfzxuxymnz,mxy nxyz設(shè)設(shè)xfxnnuxmmuxucalculus例例8.22222,uzzzuxy vxyvxx y 設(shè)求解解:zzuzvxuxvx212uyxvv2222zyxuxxvv 22yxuxvxv2112ydvyyyxxvxvdvvxv 而

37、而22322223224xuxxuuyxxvvvvxxyx uvvv calculus于是于是22333222232224622zxyuxyx uxyx yxvvvvxy 也可以在求出一階偏導數(shù)后也可以在求出一階偏導數(shù)后,把代入再求二階偏導數(shù)把代入再求二階偏導數(shù),u v3222222()zyxuyx yxvvxy233322262zxyx yxxy則23222443222226()()zyxyxyyxxyyxyxy 則calculus例例9設(shè)設(shè)具有二階連續(xù)偏導數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù),求求解解令, zyxu則則wxyzvu1f 2f xyzfxyzzyxfw),(.,2zxwxwxw,xyzv x

38、vvfxuuf2fyz 1f zxw221fyzfzzf12f y zfyz2),(11xyzzyxff),(22xyzzyxff,1uff,2vffcalculus,111uff ,112vff ,221uff ,222vff zf1zvvfzuuf1111f 12fxy zf2zvvfzuuf2222fxy 21f zxw211f 12fxy 2f y 21( fyz )22fxy 1211)(fzxyf 222f zxy 2f y calculus一階全微分形式不變性一階全微分形式不變性則則dyyzdxxzdz ),(yxfz ),(),(tsvytsux則仍有則仍有dyyzdxxzdz

39、 dttzdsszdz),(yxfz calculusdztsystxyezx求已知sin例例dyyzdxxzdzyeyzyexzxxcossinydyedxyexxcossin解解calculussdttdsdttxdssxdxdsdtdttydssydy)(cos)(sincossindsdtyetdssdtyeydyedxyedzxxxxdttstssedstststeydyedxyedzststxx)cos()sin()cos()sin(cossin所以所以calculus二、隱函數(shù)求導法則二、隱函數(shù)求導法則0000000002() :( ,)(,),(,)0(,)0 xyzzF x

40、y zxyzFFFF xyzFxyz定 理隱 函 數(shù) 存 在 定 理設(shè) 函 數(shù)滿 足 下 列條 件（ 1） 在 點的 某 一 鄰 域 內(nèi) 連 續(xù) ， 且 具 有 連 續(xù)的 偏 導 數(shù)（ 2），00000( ,)0(,)( ,),(,)F x y zxyzfx yzfxy則 方 程唯 一 地 確 定 一 個 定 義 在的 某 一 鄰 域 內(nèi) 的 單 值 連 續(xù) 且 具 有 連 續(xù) 偏 導 數(shù) 的 二元 函 數(shù)它 滿 足 條 件， 并 有zyzxFFyzFFxz ,calculus),(0),(yxfzzyxF方程兩邊對方程兩邊對求偏導求偏導x0 xzxzFFzxxFFzzyyFFz同理同理cal

41、culus例例1. 設(shè)設(shè)04222zzyx,求求解解 法法1 法法2 兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于x求導求導 兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于y求導求導yzxz,42 zFz, 2 ,yFyxzxFx2zxFFzzyxzyxF4),(222zx2yz ,zyFF.2zy0422xxzz zx0422yyzz zycalculus 方法三方法三:方程兩邊求微分方程兩邊求微分dyzydxzxdz220)4(222zzyxd04222dzzdzydyxdxcalculus例例2. 設(shè)設(shè),求求及及解：解：法法1法法2 兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于x求導求導122 yx1),(22yxyxF22dxyd0),(yxF0 xyxyFFdxdyy

42、xFFyx22yx, 022yyxyxy22dxyddxdydxdyxdxd2yyxy2yyxxy322yxy 31ydxdycalculus例例3.設(shè)設(shè), 求求解解0 xyzezyxz2xyzez),(zyxFxyeyzzxyeyzzzxFFxzxyexzzzyFFyz3222)()(xyeyxxyzeezzzz)(xyeyzyz2)()()(xyexyzeyzxyeyzyzzzz)(xzy yxz2calculus例例4設(shè)有連續(xù)偏導數(shù)，設(shè)有連續(xù)偏導數(shù)，( , , )uf x y z( ),( )yy x zz x分別由方程分別由方程00 xydueyxzdxz和e所確定,求解解duff d

43、yfdzdxxy dxz dx又由兩邊對求導得又由兩邊對求導得0 xyeyx2()0()11xyxyxyxydydyeyxdxdxdyyeyeydxxexycalculus0()zzzdzdzezxdxdxdzzzexzdxexxzx所以所以21d ufyfzfd xxxyyxzxz又由兩邊對求導得又由兩邊對求導得0zexzxcalculus5.5 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值一一. . 極值的概念極值的概念對于該鄰域內(nèi)任一點對于該鄰域內(nèi)任一點),(yx, 若恒有不等式若恒有不等式),(),( ).100yxfyxf則稱該函數(shù)在點則稱該函數(shù)在點 P 處有處有極大值極大值),(00yxf),()

44、,( ).200yxfyxf則稱該函數(shù)在點則稱該函數(shù)在點P 處有處有極小值極小值),(00yxf),(yxfz 在點在點),(00yxP某鄰域內(nèi)有定義某鄰域內(nèi)有定義,設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定義定義1calculus極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點稱為極值點使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.定理定理2(必要條件必要條件) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在點在點處偏導數(shù)存在處偏導數(shù)存在,并取得極值并取得極值, 則則證明證明:不妨設(shè)不妨設(shè)在點在點處取得極大值處取得極大值.),(yxfz 0),(, 0),(0000yxfyxfyx),(yxfz ),(00yx),(00yx則則, 特別地特別地,

45、取取有有),(),(00yxfyxf,0yy ),(),(000yxfyxfcalculus在在 x=x0 點取得極大值，由一元函數(shù)極值必要條件知點取得極大值，由一元函數(shù)極值必要條件知,同理同理,使使 同時成立的點同時成立的點,的的駐點駐點.稱為函數(shù)稱為函數(shù) 考慮一元函數(shù)考慮一元函數(shù)),(0yxf0),(00yxfx0),(00yxfy0),(yxfy0),(yxfx),(yxfz calculus定理定理2 (充分條件充分條件),令令(1).若若, 有極值有極值,(2).若若無極值無極值.(3).若若情況不定情況不定.時有極大值時有極大值時有極小值時有極小值且且設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在點在點某鄰域內(nèi)有

46、一階及二階連續(xù)某鄰域內(nèi)有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)偏導數(shù),且且(1)中的中的A換為換為C結(jié)論不變結(jié)論不變),(yxfz ),(00yx0),(, 0),(0000yxfyxfyx),(00yxfAxx ),(00yxfBxy ),(00yxfCyy 02 ACB00AA, 02 ACB, 02 ACB),(00yxf),(00yxfcalculus例例1. 求函數(shù)求函數(shù)的極值的極值.解解:得駐點得駐點:在點在點處處, 有極小值有極小值在點在點處處, 無極值無極值., 無極值無極值., 有極大值有極大值在點在點處處在點在點處處,xyxyxyxf933),(22339632xxxf 0yy632yf 0

47、)2 , 3(),0 , 3(),2 , 1 (),0 , 1 (66 xxxf 0 xyf66 yfyy)0 , 1 (6, 0,12CBAACB 2, 072 0A5)0 , 1 (f)2 , 1 (072 ACB 2)0 , 3(ACB 2072 )2 , 3(6, 0,12CBAACB 2, 072 0A31)2 , 3(fcalculus 最大值、最小值最大值、最小值區(qū)域內(nèi)任一點區(qū)域內(nèi)任一點若恒有不等式若恒有不等式則稱則稱 為函數(shù)在為函數(shù)在 D內(nèi)的最大值內(nèi)的最大值在平面區(qū)域在平面區(qū)域內(nèi)有定義內(nèi)有定義,對于該對于該設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)則稱則稱 為函數(shù)在為函數(shù)在 D內(nèi)的最小值內(nèi)的最小值),(yx

48、fz D),(yx),(),( ).100yxfyxfDyxp),(00),(00yxfDyxp),(00),(00yxf),(),( ).200yxfyxf定義定義使函數(shù)取得最值的點稱為最值點使函數(shù)取得最值的點稱為最值點.最大值與最小值統(tǒng)稱為最值最大值與最小值統(tǒng)稱為最值.calculus函數(shù)函數(shù)在點在點處取得最小值處取得最小值0在點在點處取得最大值處取得最大值2.2243yxz)0 , 0()0 , 0()(222yxz如如函數(shù)函數(shù)calculus最大值、最小值的求法最大值、最小值的求法最值點只可能是以下三種類型的點：最值點只可能是以下三種類型的點：（1）邊界點）邊界點求出該函數(shù)在這些點上的

49、函數(shù)值，比較大小即可求得最值求出該函數(shù)在這些點上的函數(shù)值，比較大小即可求得最值在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 上連續(xù)，則一定有最值。上連續(xù)，則一定有最值。設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)（2）駐點）駐點（3）偏導數(shù)不存在的點）偏導數(shù)不存在的點根據(jù)實際問題知函數(shù)的最值只在內(nèi)部點上取到，且只有唯一根據(jù)實際問題知函數(shù)的最值只在內(nèi)部點上取到，且只有唯一駐點駐點(極值點極值點)，沒有偏導數(shù)不存在的點，則此時可斷定函數(shù)在此駐點上取到?jīng)]有偏導數(shù)不存在的點，則此時可斷定函數(shù)在此駐點上取到最值最值),(yxfz Dcalculus例例2. 在十字路口要建造一間長方體房屋，兩面臨街，臨街墻面在十字路口要建造一間長方體房屋，兩面臨街，臨街墻

50、面，不臨街的墻面造價，不臨街的墻面造價2/米元b，屋頂造價，屋頂造價2/米元c設(shè)房屋容積為設(shè)房屋容積為3米v，問：長、寬、高各多少，問：長、寬、高各多少 時造價最低時造價最低.aabbcxyz解解:設(shè)長、寬、高分別為設(shè)長、寬、高分別為則則造價造價造價造價2/米元a,zyx,xyzv ,xyvz )0, 0(,)11()(yxcxyyxvbacxyxyvyxba)(cxy)(yxbz)(yxazwcalculus解得解得答：當長、寬均為答：當長、寬均為，高為，高為時，時，造價最低。造價最低。)0, 0(,)11()(yxcxyyxvbaw3)(cbavyxxyvz 0)(2cyxbavxw0)(

51、2cxybavyw322)(bavc3)(cbav322)(bavccalculus二、條件極值二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)求函數(shù)在條件在條件下的極值。下的極值。拉格郎日乘數(shù)法：拉格郎日乘數(shù)法：(1). 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù):(2). 聯(lián)立聯(lián)立解得解得則點則點可能為極值點可能為極值點.(3). 再討論再討論. (根據(jù)實際問題的實際意義可以判斷根據(jù)實際問題的實際意義可以判斷.),(yxfz 0),(yxg),( ),(),(yxgyxfyxL ( 為常數(shù)為常數(shù))0),(00yxgLgfLgfLyyyxxx, yx),(yxcalculus求函數(shù)求函數(shù)在條件在條件下

52、的極值。下的極值。),(yxfz 0),(yxgyyxxyxyxyxgfgfggffyff0)(dxdz0),(00yxggfgfyyxxcalculus求函數(shù)求函數(shù)在條件在條件下的極值。下的極值。(1). 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù):( 為常數(shù)為常數(shù))(2). 聯(lián)立聯(lián)立解得解得),(zyxfw 0),(zyxg),( ),(),(zyxgzyxfzyxL0),(000zyxgLgfLgfLgfLzzzyyyxxx,zyxcalculusaabbcxyz，屋頂造價，屋頂造價造價造價，不臨街的墻面造價，不臨街的墻面造價2/米元b2/米元c在十字路口要建造一間長方體房屋，兩面臨街，臨街墻面在十字路口要建造一間長方體房屋，兩面臨街，臨街墻面2/米元a設(shè)房屋容積為設(shè)房屋容積為3米v例例2. ，問：長、寬、高各多少，問：長、寬、高各多少 時造價最低時造價最低.再解例再解例2.求函數(shù)求函數(shù)在條件在條件下的極值下的極值.令令,cxyzyxbazyxfw)(),(0 xyzv)( )(),(xyzvcxyzyxbazyxL聯(lián)立聯(lián)立,00 )(0 )(0 )(xyzvLxyyxbaLxzcxzbaLyzcyzbaLzyx解得解得,)(3cbav