2021屆高考數(shù)學(xué)二輪考前復(fù)習(xí)第一篇解透必考小題穩(wěn)拿分必須突破的17個(gè)熱點(diǎn)專題專題12直線與平面的位置關(guān)系學(xué)案文含解析

1、專題12直線與平面的位置關(guān)系1.證明線面平行與線線平行(1)證明線面平行,通常用判定定理:因?yàn)閘a,a,l,所以l.(2)證明線線平行,通常用性質(zhì)定理:因?yàn)閘,l,=b,所以lb,關(guān)鍵是找到與相交且包含l的平面.2.證明線面垂直的思維流程(1)找相交直線:在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線;(2)證線線垂直:證明平面外的直線與這兩條相交直線都垂直;(3)證線面垂直:利用直線與平面垂直的判定定理證得線面垂直.1.異面直線的判定方法平面外一點(diǎn)a與平面內(nèi)一點(diǎn)b的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)b的直線是異面直線.2.異面直線所成角的求法通過(guò)平移直線,把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角,一般有3種類型:(1)利用圖形中已有

2、的平行線平移;(2)利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移;(3)補(bǔ)形平移.計(jì)算異面直線所成的角通常放在三角形中進(jìn)行.3.證明線面平行的常用方法(1)構(gòu)造平行四邊形,證得線線平行,進(jìn)而證得線面平行.(2)構(gòu)造三角形中位線,證得線線平行,進(jìn)而證得線面平行.(3)在同一個(gè)面中找到兩條平行直線,證得線線平行,進(jìn)而證得線面平行.1.判斷直線與平面的位置關(guān)系時(shí),容易考慮不全面.【案例】t3若m,n,則m與n可以平行、相交、異面,故錯(cuò)誤.2.容易忽略線在面內(nèi)的情況.【案例】t2在a中,若ab,a,則b或b,故a錯(cuò)誤.3.通過(guò)平移異面直線構(gòu)成三角形求異面直線所成角時(shí),容易忽略補(bǔ)角的情況.【案例】t4構(gòu)成

3、三角形后.若通過(guò)解三角形得到內(nèi)角的余弦值為負(fù)值時(shí),要取補(bǔ)角.考向一直線與平面的位置關(guān)系【典例】(2020全國(guó)卷)設(shè)有下列四個(gè)命題:p1:兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).p2:過(guò)空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.p3:若空間兩條直線不相交,則這兩條直線平行.p4:若直線l平面,直線m平面,則ml.則下述命題中所有真命題的序號(hào)是_.p1p4p1p2p2p3p3p4考向二空間中垂直關(guān)系【典例】(2019全國(guó)卷)如圖,點(diǎn)n為正方形abcd的中心,ecd為正三角形,平面ecd平面abcd,m是線段ed的中點(diǎn),則()a.bm=en,且直線bm,en是相交直線b.bmen,且直線bm,en是相交

4、直線c.bm=en,且直線bm,en是異面直線d.bmen,且直線bm,en是異面直線1.如圖,直四棱柱abcd-a1b1c1d1的底面是菱形,aa1=ab=2,bad=60,m是bb1的中點(diǎn),則異面直線a1m與b1c所成角的余弦值為()a.-b.-c. d.2.設(shè)a,b是不同的直線,是不同的平面,則下列四個(gè)命題中正確的是()a.若ab,a,則bb.若a,則ac.若a,則ad.若ab,a,b,則3.已知m,n是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,有下列四個(gè)命題:若m,n,則mn;若n,m,mn,則;若,m,n,則mn;若,m,mn,則n.其中,正確的命題個(gè)數(shù)是()a.3b.2c.1d.04.如圖

5、,在正三棱柱abc-a1b1c1中底面邊長(zhǎng)、側(cè)棱長(zhǎng)都是4,e,f分別是a1c1,bc的中點(diǎn),則以下四個(gè)結(jié)論中正確的是()ae與c1f所成的角的余弦值為;c1f平行于平面abe;三棱錐e-abc的體積為;ab垂直于ec.a. b.c. d.5.如圖所示,在棱長(zhǎng)為a的正方體abcd-a1b1c1d1中,e是棱dd1的中點(diǎn),f是側(cè)面cdd1c1上的動(dòng)點(diǎn),且b1f平面a1be,則f在側(cè)面cdd1c1上的軌跡的長(zhǎng)度是()a.ab.c.a d.6.如圖,pa垂直于以ab為直徑的圓所在平面,c為圓上異于a,b的任意一點(diǎn),aepc垂足為e,點(diǎn)f是pb上一點(diǎn),則下列判斷中不正確的是()a.bc平面pac b.a

6、eefc.acpb d.平面aef平面pbc專題12直線與平面的位置關(guān)系/真題再研析提升審題力/考向一【解析】對(duì)于命題p1,可設(shè)l1與l2相交,這兩條直線確定的平面為;若l3與l1相交,則交點(diǎn)a在平面內(nèi),同理,l3與l2的交點(diǎn)b也在平面內(nèi),所以,ab平面,即l3平面,命題p1為真命題;對(duì)于命題p2,若三點(diǎn)共線,則過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的平面有無(wú)數(shù)個(gè),命題p2為假命題;對(duì)于命題p3,空間中兩條直線相交、平行或異面,命題p3為假命題;對(duì)于命題p4,若直線m平面,則m垂直于平面內(nèi)所有直線,因?yàn)橹本€l平面,所以直線m直線l,命題p4為真命題.綜上可知,p1p4為真命題,p1p2為假命題,p2p3為真命題,p3p4

7、為真命題.答案:考向二b因?yàn)橹本€bm,en都是平面bed內(nèi)的直線,且不平行,即直線bm,en是相交直線.設(shè)正方形abcd的邊長(zhǎng)為2a,則由題意可得:de=2a,dm=a,dn=a,db=2a,根據(jù)余弦定理可得:bm2=db2+dm2-2dbdmcosbde=9a2-4a2cosbde,en2=de2+dn2-2dedncosbde=6a2-4a2cosbde,所以bmen./高考演兵場(chǎng)檢驗(yàn)考試力/1.d由題意可得=+=-,=,=-,=2,cos=.2.d由a,b是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,得:在a中,若ab,a,則b或b,故a錯(cuò)誤;在b中,若a,則a也可能在內(nèi),故b錯(cuò)誤;在c中,若a,

8、則a或a,故c錯(cuò)誤;在d中,若ab,a,b,則成立,故d正確.3.c若m,n,則m與n可以平行、相交、異面,故錯(cuò)誤;若n,m,mn,則,故正確;若,m,n,則m與n可以平行、相交、異面,故錯(cuò)誤;若,m,mn,則n與可以平行、相交或n,故錯(cuò)誤,所以正確的命題個(gè)數(shù)是1.4.a取ac的中點(diǎn)g,連接gc1,gf,則ae平行于gc1.在三角形gfc1中,gc1=fc1=2.由余弦定理得cosgc1f=,所以正確.取ab的中點(diǎn)h,連接eh,fh,則ec1平行且等于hf,所以四邊形hfc1e為平行四邊形,所以c1feh,又c1f不在平面abe內(nèi),eh平面abe,所以c1f平面abe,所以正確.三棱錐e-ab

9、c的體積v=sh=4=,所以正確.假設(shè)ab垂直于ec,又因?yàn)閍b垂直于a1a,ec,aa1都在平面acc1a1內(nèi)且ec與aa1相交,所以ab垂直于側(cè)面acc1a1,所以ab垂直于ac,這與bac等于60矛盾,所以錯(cuò)誤.5.d設(shè)g,h,i分別為cd,cc1,c1d1邊上的中點(diǎn),則a1,b,e,g四點(diǎn)共面,且平面a1bge平面b1hi,又因?yàn)閎1f平面a1be,所以f落在線段hi上,因?yàn)檎襟wabcd-a1b1c1d1中的棱長(zhǎng)為a,所以hi=cd1=a,即f在側(cè)面cdd1c1上的軌跡的長(zhǎng)度是a.6.c對(duì)于a,pa垂直于以ab為直徑的圓所在平面,而bc在底面圓面內(nèi),則pabc,又由圓的性質(zhì)可知acbc,且paac=a,則bc平面pac,所以a正確;對(duì)于b,由a可知bcae,由題意可知a