假設(shè)檢驗及其應(yīng)用

1、哈爾濱師范大學學 士 論 文題 目 假設(shè)檢驗及其應(yīng)用學 生 指導教師 年 級 2008級專 業(yè) 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學系 別 數(shù)學系學 院 數(shù)學與計算機學院哈爾濱師范大學2011年11月論文提要假設(shè)檢驗是抽樣推斷中的一項重要內(nèi)容。它是根據(jù)原資料作出一個總體指標是否等于某一個數(shù)值，某一隨機變量是否服從某種概率分布的假設(shè)，然后利用樣本資料采用一定的統(tǒng)計方法計算出有關(guān)檢驗的統(tǒng)計量，依據(jù)一定的概率原則，以較小的風險來判斷估計數(shù)值與總體數(shù)值(或者估計分布與實際分布)是否存在顯著差異，是否應(yīng)當接受原假設(shè)選擇的一種檢驗方法。 用樣本指標估計總體指標，其結(jié)論有的完全可靠，有的只有不同程度的可靠性，需要進一步加以檢驗和

2、證實。通過檢驗，對樣本指標與假設(shè)的總體指標之間是否存在差別作出判斷，是否接受原假設(shè)。這里必須明確，進行檢驗的目的不是懷疑樣本指標本身是否計算正確，而是為了分析樣本指標和總體指標之間是否存在顯著差異。從這個意義上，假設(shè)檢驗又稱為顯著性檢驗。假設(shè)檢驗及其應(yīng)用 摘 要：假設(shè)檢驗是數(shù)理統(tǒng)計學中根據(jù)一定假設(shè)條件由樣本推斷總體的一種方法。具體作法是：根據(jù)問題的需要對所研究的總體作某種假設(shè)，記作；選取合適的統(tǒng)計量，這個統(tǒng)計量的選取要使得在假設(shè)成立時，其分布為已知；由實測的樣本，計算出統(tǒng)計量的值，并根據(jù)預先給定的顯著性水平進行檢驗，作出拒絕或接受假設(shè)的判斷。常用的假設(shè)檢驗方法有u檢驗法、t檢驗法、X2檢驗法、

3、F檢驗法，秩和檢驗等 關(guān)鍵詞：數(shù)學歸納法 歸納原理 歷程 應(yīng)用 推廣序言 假設(shè)檢驗亦稱“顯著性檢驗（Test of statistical significance）”，是 假設(shè)檢驗用來判斷樣本與樣本，樣本與總體的差異是由抽樣誤差引起還是本質(zhì)差別造成的統(tǒng)計推斷方法。其基本原理是先對總體的特征作出某種假設(shè)，然后通過抽樣研究的統(tǒng)計推理，對此假設(shè)應(yīng)該被拒絕還是接受作出推斷。 生物現(xiàn)象的個體差異是客觀存在，以致抽樣誤差不可避免，所以我們不能僅憑個別樣本的值來下結(jié)論。當遇到兩個或幾個樣本均數(shù)（或率）、樣本均數(shù)（率）與已知總體均數(shù)（率）有大有小時，應(yīng)當考慮到造成這種差別的原因有兩種可能：一是這兩個或幾個樣

4、本均數(shù)（或率）來自同一總體，其差別僅僅由于抽樣誤差即偶然性所造成；二是這兩個或幾個樣本均數(shù)（或率）來自不同的總體，即其差別不僅由抽樣誤差造成，而主要是由實驗因素不同所引起的。假設(shè)檢驗的目的就在于排除抽樣誤差的影響，區(qū)分差別在統(tǒng)計上是否成立，并了解事件發(fā)生的概率。 1假設(shè)檢驗的基本思想 假設(shè)檢驗的基本思想是小概率反證法思想。小概率思想是指小概率事件（P0.01或P0.05）在一次試驗中基本上不會發(fā)生。反證法思想是先提出假設(shè)(檢驗假設(shè)H0)，再用適當?shù)慕y(tǒng)計方法確定假設(shè)成立的可能性大小，如可能性小,則認為假設(shè)不成立，若可能性大，則還不能認為假設(shè)不成立。進行假設(shè)檢驗，先要對假設(shè)進行陳述。通過下例加以說

5、明。 例如，設(shè)某工廠制造某種產(chǎn)品的某種精度服從平均數(shù)為方差為的正態(tài)分布，據(jù)過去的數(shù)據(jù)，已知平均數(shù)為75，方差為100?，F(xiàn)在經(jīng)過技術(shù)革新，改進了制造方法，出現(xiàn)了平均數(shù)大于75，方差沒有變更，但仍存在平均數(shù)不超過75的可能性。試陳述為統(tǒng)計假設(shè)。根據(jù)上述情況，可有兩種假設(shè)，一個是假想平均數(shù)不超過75，即假設(shè)另一個假想是平均數(shù)大于75，即假設(shè)如果我們把作為原假設(shè)，即被檢驗的假設(shè)，稱作零假設(shè)，記作于是，假設(shè)相對于假設(shè)來說，是約定的、補充的假設(shè)，記作它和有兩者選擇其一的意思，即作為被檢驗的假設(shè)，則就是備擇的，故稱為備擇假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè)。 還須指出，哪個是零假設(shè)，哪個是備擇假設(shè)，是無關(guān)緊要的。我們關(guān)心的問題，

6、是要探索哪一個假設(shè)被接受的問題。被接受的假設(shè)是要作為推理的基礎(chǔ)。在實際問題中，一般要考慮事情發(fā)生的邏輯順序和關(guān)心的事件，來設(shè)立零假設(shè)和備擇假設(shè)。 在作出了統(tǒng)計假設(shè)之后，就要采用適當?shù)姆椒▉頉Q定是否應(yīng)該接受零假設(shè)。由于運用統(tǒng)計方法所遇到的問題不同，因而解決問題的方法也不盡相同。但其解決方法的基本思想?yún)s是一致的，即都是“概率反證法”思想，即： (1)為了檢驗一個零假設(shè)(即虛擬假設(shè))是否成立， 先假定它是成立的，然后看接受這個假設(shè)之后，是否會導致不合理結(jié)果。如果結(jié)果是合理的，就接受它；如不合理，則否定原假設(shè)。 (2)所謂導致不合理結(jié)果，就是看是否在一次觀察中， 出現(xiàn)小概率事件。通常把出現(xiàn)小概率事件的

7、概率記為0，即顯著性水平。 它在次數(shù)函數(shù)圖形中是曲線兩端或一端的面積。因此，從統(tǒng)計檢驗來說，就涉及到雙側(cè)檢驗和單側(cè)檢驗問題。在實踐中采用何類檢驗是由實際問題的性質(zhì)來決定的。一般可以這樣考慮： 雙側(cè)檢驗。如果檢驗的目的是檢驗抽樣的樣本統(tǒng)計量與假設(shè)參數(shù)的差數(shù)是否過大(無論是正方向還是負方向)，就把風險平分在右側(cè)和左側(cè)。比如顯著性水平為0.05，即概率曲線左右兩側(cè)各占，即0.025。 單側(cè)檢驗。這種檢驗只注意估計值是否偏高或偏低。如只注意偏低，則臨界值在左側(cè)，稱左側(cè)檢驗；如只注意偏高，則臨界值在右側(cè)，稱右側(cè)檢驗。 對總體的參數(shù)的檢量，是通過由樣本計算的統(tǒng)計量來實現(xiàn)的。所以檢驗統(tǒng)計量起著決策者的作用。

8、 1.1小概率原理如果對總體的某種假設(shè)是真實的，那么不利于或不能支持這一假設(shè)的事件A（小概率事件）在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生的；要是在一次試驗中A竟然發(fā)生了，就有理由懷疑該假設(shè)的真實性，拒絕這一假設(shè)。 1. 2.假設(shè)的形式 H0原假設(shè)， H1備擇假設(shè) 雙尾檢驗：H0: = 0 ， 單尾檢驗： ，H1: 0 假設(shè)檢驗就是根據(jù)樣本觀察結(jié)果對原假設(shè)（H0）進行檢驗，接受H0，就否定H1；拒絕H0，就接受H1。2假設(shè)檢驗的原理一般地說，對總體某項或某幾項作出假設(shè)，然后根據(jù)樣本對假設(shè)作出接受或拒絕的判斷，這種方法稱為假設(shè)檢驗。 假設(shè)檢驗使用了一種類似于“反證法”的推理方法，它的特點是： （1）先假設(shè)總體

9、某項假設(shè)成立，計算其會導致什么結(jié)果產(chǎn)生。若導致不合理現(xiàn)象產(chǎn)生，則拒絕原先的假設(shè)。若并不導致不合理的現(xiàn)象產(chǎn)生，則不能拒絕原先假設(shè)，從而接受原先假設(shè)。 （2）它又不同于一般的反證法。所謂不合理現(xiàn)象產(chǎn)生，并非指形式邏輯上的絕對矛盾，而是基于小概率原理：概率很小的事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的，若發(fā)生了，就是不合理的。至于怎樣才算是“小概率”呢？通常可將概率不超過0.05的事件稱為“小概率事件”，也可視具體情形而取0.1或0.01等。在假設(shè)檢驗中常記這個概率為，稱為顯著性水平。而把原先設(shè)定的假設(shè)成為原假設(shè)，記作H0。把與H0相反的假設(shè)稱為備擇假設(shè)，它是原假設(shè)被拒絕時而應(yīng)接受的假設(shè)，記作H13假設(shè)檢

10、驗的種類假設(shè)檢驗可分為正態(tài)分布檢驗、正態(tài)總體均值分布檢驗、非參數(shù)檢驗三類。 正態(tài)分布檢驗包括三類：JB檢驗、KS檢驗、Lilliefors檢驗，用于檢驗樣本是否來自于一個正態(tài)分布總體。 正態(tài)總體均值檢驗檢驗分析方法和分析結(jié)果的準確度，考察系統(tǒng)誤差對測試結(jié)果的影響。從統(tǒng)計意義上來說，各樣本均值之差應(yīng)在隨機誤差允許的范圍之內(nèi)。反之，如果不同樣本的均值之差超過了允許的范圍，這就說明除了隨機誤差之外，各均值之間還存在系統(tǒng)誤差，使得各均值之間出現(xiàn)了顯著性差異。 正態(tài)總體均值檢驗分為兩種情況， t檢驗是用小樣本檢驗總體參數(shù)，特點是在均方差不知道的情況下，可以檢驗樣本平均數(shù)的顯著性，分為單側(cè)檢驗與雙側(cè)檢驗。

11、當為雙樣本檢驗時，在兩樣本t檢驗中要用到F檢驗。 從兩研究總體中隨機抽取樣本，要對這兩個樣本進行比較的時候，首先要判斷兩總體方差是否相同，即方差齊性。若兩總體方差相等，則直接用t檢驗，若不等，可采用t檢驗或變量變換或秩和檢驗等方法。 若總體服從正態(tài)分布N(,),但未知,記,，則t=遵從自由度為n-1的t分布，可對有以下的水平為的檢驗，其中t為自由度為n-1的t分布的上分位數(shù)。這些檢驗稱為t檢驗。 假設(shè)檢驗Z檢驗是一般用于大樣本(即樣本容量大于30)平均值差異性檢驗的方法。 上面所述的檢驗都是基于樣本來自正態(tài)總體的假設(shè)，在實際工作中，有時并不明確知道樣本是否來自正態(tài)總體，這就為假設(shè)檢驗帶來難度。

12、非參數(shù)檢驗方法，對樣本是否來自正態(tài)總體不做嚴格的限制，而且計算簡單。統(tǒng)計工具箱提供了符號檢驗和秩和檢驗兩種非參數(shù)檢驗方法。4 假設(shè)檢驗規(guī)則與兩類錯誤4.1 確定檢測規(guī)則檢驗過程是比較樣本觀察結(jié)果與總體假設(shè)的差異。差異顯著，超過了臨界點，拒絕H0；反之，差異不顯著，接受H0。 差異臨界點判斷 c拒絕H0 c接受H0 怎樣確定c? 4.2 兩類錯誤接受或拒絕H0，都可能犯錯誤 I類錯誤棄真錯誤，發(fā)生的概率為 II類錯誤取偽錯誤，發(fā)生的概率為 檢驗決策H0為真H0非真 拒絕H0犯I類錯誤（）正確 接受H0正確犯II類錯誤（） 大就小，小就大 基本原則：力求在控制前提下減少 顯著性水平，取值：0.1,

13、 0.05, 0.001, 等。如果犯I類錯誤損失更大，為減少損失，值取小；如果犯II類錯誤損失更大，值取大。 確定，就確定了臨界點c。 設(shè)有總體：XN（，2），2已知。 隨機抽樣：樣本均值barXN(mu,sigma2/n)。 標準化： 確定值， 查概率表，知臨界值 計算Z值，作出判斷。 5 假設(shè)檢驗的一般步驟1、提出檢驗假設(shè)（又稱無效假設(shè)，符號是H0）和備擇假設(shè)（符號是H1）。 H0：樣本與總體或樣本與樣本間的差異是由抽樣誤差引起的； H1：樣本與總體或樣本與樣本間存在本質(zhì)差異； 預先設(shè)定的檢驗水準為0.05；當檢驗假設(shè)為真，但被錯誤地拒絕的概率，記作，通常取=0.05或=0.01。 2、

14、選定統(tǒng)計方法，由樣本觀察值按相應(yīng)的公式計算出統(tǒng)計量的大小，如X2值、t值等。根據(jù)資料的類型和特點，可分別選用Z檢驗，T檢驗，秩和檢驗和卡方檢驗等。 3、根據(jù)統(tǒng)計量的大小及其分布確定檢驗假設(shè)成立的可能性P的大小并判斷結(jié)果。若P，結(jié)論為按所取水準不顯著，不拒絕H0，即認為差別很可能是由于抽樣誤差造成的，在統(tǒng)計上不成立；如果P,結(jié)論為按所取水準顯著，拒絕H0，接受H1，則認為此差別不大可能僅由抽樣誤差所致，很可能是實驗因素不同造成的，故在統(tǒng)計上成立。P值的大小一般可通過查閱相應(yīng)的界值表得到。 教學中的做法 1.根據(jù)實際情況提出原假設(shè)和備擇假設(shè) 2.根據(jù)假設(shè)的特征，選擇合適的檢驗統(tǒng)計量 3.根據(jù)樣本觀

15、察值，計算檢驗統(tǒng)計量的觀察值(obs) 4.選擇許容顯著性水平，并根據(jù)相應(yīng)的統(tǒng)計量的統(tǒng)計分布表查出相應(yīng)的臨界值(ctrit) 5.根據(jù)檢驗統(tǒng)計量觀察值的位置決定原假設(shè)取舍6 假設(shè)檢驗應(yīng)注意的問題 1、做假設(shè)檢驗之前，應(yīng)注意資料本身是否有可比性。 2、當差別有統(tǒng)計學意義時應(yīng)注意這樣的差別在實際應(yīng)用中有無意義。 3、根據(jù)資料類型和特點選用正確的假設(shè)檢驗方法。 4、根據(jù)專業(yè)及經(jīng)驗確定是選用單側(cè)檢驗還是雙側(cè)檢驗。 5、當檢驗結(jié)果為拒絕無效假設(shè)時，應(yīng)注意有發(fā)生I類錯誤的可能性，即錯誤地拒絕了本身成立的H0，發(fā)生這種錯誤的可能性預先是知道的，即檢驗水準那么大；當檢驗結(jié)果為不拒絕無效假設(shè)時，應(yīng)注意有發(fā)生II

16、類錯誤的可能性，即仍有可能錯誤地接受了本身就不成立的H0，發(fā)生這種錯誤的可能性預先是不知道的，但與樣本含量和I類錯誤的大小有關(guān)系。 6、判斷結(jié)論時不能絕對化，應(yīng)注意無論接受或拒絕檢驗假設(shè)，都有判斷錯誤的可能性。 7、報告結(jié)論時是應(yīng)注意說明所用的統(tǒng)計量，檢驗的單雙側(cè)及P值的確切范圍。 6 參數(shù)估計與假設(shè)檢驗統(tǒng)計推斷是由樣本的信息來推測母體性能的一種方法，它又可以分為兩類問題，即參數(shù)估計和假設(shè)檢驗。實際生產(chǎn)和科學實驗中，大量的問題是在獲得一批數(shù)據(jù)后，要對母體的某一參數(shù)進行估計和檢驗。 例如，我們對45鋼的斷裂韌性作了測定，取得了一批數(shù)據(jù)，然后要求45鋼斷裂韌性的平均值，或要求45鋼斷裂韌性的單側(cè)下

17、限值，或要求45鋼斷裂韌性的分散度(即離散系數(shù))，這就是參數(shù)估計的問題。 又如，經(jīng)過長期的積累，知道了某材料的斷裂韌性的平均值和標準差，經(jīng)改進熱處理后，又測得一批數(shù)據(jù)，試問新工藝與老工藝相比是否有顯著差異，這就是假設(shè)檢驗的問題。 這樣可以看出，參數(shù)估計是假設(shè)檢驗的第一步，沒有參數(shù)估計，也就無法完成假設(shè)檢驗。7 假設(shè)檢驗與置信區(qū)間的關(guān)系假設(shè)檢驗與置信區(qū)間有密切的聯(lián)系，我們往往可以由某參數(shù)的顯著性水平為的檢驗，得到該參數(shù)的置信度為1的置信區(qū)間，反之亦然。例如，顯著性水平的均值的雙側(cè)檢驗問題： H0: = 0， 與置信度為1- 的置信區(qū)間之間有著這樣的關(guān)系；若檢驗在水平下接受H0，則的1 - 的置信

18、區(qū)間必須包含0；反之，若檢驗在 水平下拒絕H0，則的1-的置信區(qū)間必定不包含0。因此，我們可以用構(gòu)造的1-置信區(qū)間的方法來檢驗上述假設(shè)，如果構(gòu)造出來的置信區(qū)間包含0，就接受H0；如果不包含0就拒絕H0。同樣給定顯著水平 ，可以從構(gòu)造檢驗規(guī)則的過程中，得到的 1-置信區(qū)間。 如上例，的置信度為95%的置信區(qū)間為： 即置信區(qū)間為(80.55 , 85.45)，因為0 = 80，不在這個區(qū)間內(nèi)，拒絕H0 8 幾種常見的假設(shè)檢驗考慮下面三種類型的假設(shè)檢驗： (4.12) （1）（雙邊檢驗） （2）（右側(cè)單邊檢驗） （3）（左側(cè)單邊檢驗） 9 假設(shè)檢驗的應(yīng)用分析91平均值假設(shè)應(yīng)用 例 在兩臺不同類型的粗

19、糙度測量儀器上測量同一粗糙度樣塊的值，由以往經(jīng)驗知道它們的測量值服從正態(tài)分布，且,今在這兩臺儀器上測得同樣一塊的值如下： 儀 器 甲：1.60，1.63，1.67 ，1.58，1.55，1.63，1.65，1.60，1.58。 儀 器 乙：1.54，1.57，1.60，1.52，1.60，1.62，1.64，1.57. 問這兩臺儀器測得的Ra值的均值有無顯著不同。 解：（1）已知待檢驗假設(shè)：。（2）計算統(tǒng)計量 1.61 =9=1.58 =8=1.55 （3）取，由文獻1正態(tài)分布表查得 0.025=-1.96=1.96 （4）判斷。令=1.551.96，故接受假設(shè)，可認為兩者的均值無顯著差異，這

20、兩臺儀器可以對同一批粗糙度樣塊進行檢定。例 某教師為了比較兩種不同的短跑教學效果，擬采用對照實驗，以50m跑為實驗指標，分實驗組和對照組。已知實驗組、對照組實驗前各指標的均值及標準差（見表1） 為了考察兩組各項指標在實驗前是否齊同，采用如下假設(shè)的檢驗方法： （1）： （2）=，經(jīng)計算=-1.608 （3）查表，（25+23-2）=2.014，P0.05。 （4）結(jié)論：兩組50m跑成績差異不顯著。據(jù)此認為可以進行教學實驗。結(jié)束語運用“假設(shè)檢驗”來解決實際問題，能避免人工判斷中主觀因素的影響，保證了判斷結(jié)果的客觀公正、符合實際。合理運用假設(shè)檢驗的統(tǒng)計方法，分析現(xiàn)場的實際數(shù)據(jù)，對結(jié)果作出合理的判斷，

21、可以為正確決策提過科學的依據(jù)。也可以很好的推動各行各業(yè)的深入發(fā)展。參考文獻：1陳 魁應(yīng)用概率統(tǒng)計M清華大學出版社，2000年，第329頁。2詹姆斯海.運動技術(shù)生物學M.北京體育學院，1983年，第149頁3陳家鼎.概率統(tǒng)計講義.高等教育出版社，1982年，114-1284沙定國.測量不確定度的表示方法.中國科學技術(shù)出版社，1994年，第4頁5沈恒范.概率論講義M.人民教育出版社，1966年，326賈俊平統(tǒng)計學M清華大學出版社，2006年, 129-134內(nèi)部資料請勿外傳9JWKffwvG#tYM*Jg&6a*CZ7H$dq8KqqfHVZFedswSyXTy#&QA9wkxFyeQ!djs#X

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