畢業(yè)論文函數最值問題的求解方法

1、 高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文函數最值問題的求解方法專專 業(yè)：業(yè)： 數數 學學 教教 育育 準考證號：準考證號： 070105100111070105100111 姓姓 名：名： 徐徐 妍妍 婕婕 指導教師：指導教師： 翟翟 昌昌 盛盛 完成時間：完成時間： 20132013 年年 1111 月月 2525 日日 函數最值問題的求解方法摘 要 函數最值問題是數學領域中的重要研究內容。它不僅僅只在教學中解決一些數學問題，而且經常運用于解決實際問題。在工農業(yè)生產、經濟管理和經濟核算中，常常遇到一些解決在滿足一定條件下怎樣使產出最多、效益最高但投入最小等之類的問題。生活中也時常會見到求用料最省、效

2、率最高、利潤最大等問題。而這些生活和經濟問題一般都可以轉化為數學中的函數類問題來分析研究，進而轉化為求函數最大（?。┲档膯栴}，即為函數的最值探討，這尤其對研究實際問題的人們來說尤為重要。而函數最值問題的解法包括一元函數和多元函數，同時也有初等與高等解法之分。本文主要通過從初等解法方面對一元函數最值問題進行研究，探討各種不同的求解方法，闡述函數最值問題研究的重要性，得到求解函數最值的幾種方法及求解時應注意的一些問題. 關鍵詞 函數 最值 高等解法 初等解法 微分目錄1 1 引言引言.- 4 -2 2 求函數最值的幾種解法探討求函數最值的幾種解法探討.- 5 -2.1 判別式法.- 5 -2.2

3、配方法.- 6 -2.3 均值不等式法.- 6 -2.4 換元法.- 7 -2.5 三角函數法.- 8 -2.6 單調性法.- 9 -2.7 導數法.- 9 -3 3 求解函數最值時應注意的一些問題求解函數最值時應注意的一些問題.- 10 -3.1 注意定義域.- 10 -3.2 注意值域.- 11 -3.3 注意參變數的約束條件.- 12 -3.4 注意對判別式的運用.- 13 -3.5 注意均值不等式的運用.- 13 -4 4 函數最值在實際問題中的應用函數最值在實際問題中的應用.- 15 -4 4 結論結論.- 19 -致謝致謝.- 20 -參考文獻參考文獻.- 21 -1 1 引言引言

4、函數是中學數學的主體內容，貫穿于整個中學階段，而函數最值問題是函數的重要組成部分處理函數最值的過程就是實現未知向已知、新問題向舊問題以及復雜問題向簡單問題的轉化，雖然解決問題的具體過程不盡相同，但就其思維方式來講，通常是將待解決的問題通過一次又一次的轉化，直至劃歸為一類很容易解決或已解決的問題，從而獲得原問題的解答函數最值問題是一類特殊的數學問題，它在生產、科學研究和日常生活中有著廣泛的應用，而且在中學數學教學中也占據著比較重要的位置，是近幾年數學競賽中的常見題型也是歷年高考重點考查的知識點之一由于其綜合性強，解法靈活，故而解決這類問題，要掌握各數學分支知識，并能綜合運用各種所學知識技巧，靈活

5、選擇合適的解題方法函數最值的定義：一般地，函數的最值分為最小值和最大值:設函數在處的函數值是 yf x0 x 0f x如果對于定義域內任意，不等式都成立，那么叫做函數x 0f xf x 0f x的最小值，記作； yf x min0yf x如果對于定義域內任意，不等式都成立，那么叫做函數x 0f xf x 0f x的最大值，記作. yf x max0yf x函數的最值一般有兩種特殊情況：（1）如果函數在上單調增加(減少)， 則是在上的最小0()f x , a b( )f a( )f x , a b值(最大值)，是在上的最大值(最小值).( )f b( )f x , a b（2）如果連續(xù)函數在區(qū)間

6、內有且僅有一個極大(小)值，而沒有極小(大)值，則此0()f x( , )a b極大(小)值就是函數在區(qū)間上的最大(小)值. , a b2 2 求函數最值的幾種解法探討求函數最值的幾種解法探討2.1 判別式法對于某些特殊形式的函數的最值問題，經過適當變形后，使函數出現在一( )f x個有實根的一元二次方程的系數中，然后利用一元二次方程有實根的充要條件來0 求出的最值.( )f x例例. . 求函數的最值.2(0)yaxbxc a解：解：因為，所以， )0(2acbxaxy2()0axbxcy+-=而，所以有rx 0440)(422ayacbycab 244bacay abacyaabacya4

7、404402max2min時，時，所以，當時，；0a abacy442min 當時，.0a 當或時，（設）22kx) 12( kxmaxyab=-+0a例例. . 求函數的最大值.sin cossincosyxxxx=+解：解：因為sin cossincosyxxxx=+ )2sin(sin2sin21xxx )4cos(4sin22sin21xx =)4cos(22sin21xx 當時，；4222kxkxmax(sin2 )1x= 當時， )( ,4zkkx1cos)44cos()4cos(kkx即，所以，當時，.1)4cos(maxx4 kxmax122y=+2.6 單調性法當自變量的取值

8、范圍為一區(qū)間時，有時也用單調性法來求函數的最值在確定函數在指定區(qū)間上的最值時，首先要考慮函數在這個區(qū)間上的單調情況若函數在整個區(qū)間上是單調的，則該函數在區(qū)間端點上取得最值若函數在整個區(qū)間上不是單調的，則把該區(qū)間分成各個小區(qū)間，使得函數在每一個區(qū)間上是單調的，再求出各個小區(qū)間上的最值，從而可以得到整個區(qū)間上的最值5例例. . 設函數是奇函數，對任意、均有關系，( )f xxyr()( )( )f xyf xf y若時，且求在上的最大值和最小值.x0( )0f x (1)2f ( )f x3,3解：解：先確定在上的單調性，設任意、且，則( )f x3,31x23,3x 12xx. .210 xx所

9、以有212121()()()()()0f xf xf xfxf xx即. .21()()f xf x所以，在上是減函數.( )f x3,3因此，的最大值是;( )f x( 3)(3)(2 1)fff (1)(1)(1)6fff 的最小值是. .( )f x(3)3 (1)6ff 2.7 導數法設函數在上連續(xù)，在上可導，則在上的最大值和( )f xab，()ab，( )f xab，最小值為在內的各極值與，中的最大值與最小值( )f x()ab，( )f a( )f b要求三次及三次以上的函數的最值，以及利用其他方法很難求的函數式的最值，通常都用該方法導數法往往就是最簡便的方法，應該引起足夠重視例

10、例. . 求函數，的最大值和最小值32( )362f xxxx=-+- 1 , 1x解：解：求導得.663)(2xxxf令，方程無解.0)(xf因為，所以函數在上時增函03) 1(3663)(22xxxxf( )f x 1 , 1x數.故 當時，;1x =-min( )( 1)12fxf=-=- 當時，.1x =max( )(1)2fxf=綜上可知，函數最值問題內涵豐富，解法靈活.沒有通用的方法和固定模式，在解題時要因題而異，而且上述介紹的幾種求解方法也并非彼此孤立，而是相互聯系、相互滲透的，有時一個問題需要多法并舉，互為補充，有時一個題目又會有多種解法，函數的最值解題方法是靈活多樣性的，除了

11、以上講的，還有很多種方法，如：消元法、數形結合法、復數法、幾何法、待定系數法、萬能公式法等等.因此，解題的關鍵在分析和思考，因題而異地選擇恰當的解題方法，減少解題時間3 3 求解函數最值時應注意的一些問題求解函數最值時應注意的一些問題3.1 注意定義域遇到求最值問題的時候，我們切記在求解的過程當中，要注意觀察定義域的變化情況，在最初解題之時，應當先把函數的定義域確定；在解題過程中，當函數變形時注意定義域是否發(fā)生改變，如果又引入新變量也要確定這個變量的取值范圍，以免在后面的求解過程中出現錯誤；在解題結束時，必須檢驗所求得的使函數取得最值的自變量是否包含在定義域的范圍內例例. . 求函數的最值.1

12、2xyx-=-錯解：錯解：將兩邊同時平方并去分母得.12xyx-=-2222(41)410y xyxy-+-=因為，所以，化簡得.rx0) 14(4) 14(2222yyy142y所以，故，.2121ymin12y=-max12y=分析：分析：這個答案致錯原因是兩邊平方及去分母，使函數的定義域擴大了.正解：正解：將兩邊平方并去分母，得.12xyx-=-2222(41)410y xyxy-+-=因為，所以，化簡得.rx0) 14(4) 14(2222yyy142y所以，注意到原函數的定義域是，則有，2121y1x01 x20 x-0y 所以可知原函數最小值.最大值由前面分析可知即為.min0y=

13、123.5 注意均值不等式的運用注意當且僅當這些正數相等時，它們的積(和)才能取大(小)值.1例例. . 求函數的最小值.23(0)yxxx=+錯解：錯解：因為，所以，于是0 x 20 x 10 x20 x3222213213xxxxxxxxy 33 2=所以的最小值是.y33 2分析：分析：上面解法錯誤，是沒有注意到當且僅當時，函數才能取得最212xxx=y小值，但顯然不等于，所以不能取.1x2xy33 2對均值不等式中等號成立的條件生搬硬套2例例. . 已知，且，求的最小值，并求的最小值時rzyx,1231xyz+=xyzxyz的，的值.xyz錯解：錯解：因為，rzyx,所以，從而，rzy

14、x32106332133211333xyzzyxzyx16333xyz，當且僅當時，上式取等號，又，所以當3363xyz162xyzxyz=1231xyz+=且僅當時，有最小值 162.6xyz=xyz分析：分析：上面解法錯誤，是對均值不等式中等號成立的條件沒有理解而直接套用的結果，事實上，當時，不等于 162.正確的解法是：在6xyz=36216xyz =，即中，等號當且僅當，即，162xyz33213321zyxzyx12313xyz+=3x =，時成立，所以當，時，有最小值 162.6y =9z =3x =6y =9z =xyz連續(xù)進行幾次不等式變形，并且各次不等式中的等號不能同時成立而

15、造成的3錯誤例例. . 已知，且，求的最小值.ryx,141xy+=xy+錯解：錯解：因為，所以，則，所以ryx,24121410yxyx16xy，因此的最小值是 8.81622xyyxxy+分析：分析：上面解法中，連續(xù)進行了兩次不等變形：與xyyx2，且這兩次不等式中的等號不能同時成立，第一個不等式當且僅當2412141yxyx時等號成立，第二個是當且僅當即，時等號成立，因此xy=1412xy=2x =8y =不可能等于 8.事實上，題中的依然可以由替換，從而將轉化成關于的xy+yxxy+x函數：23( )1xxf xx+=-(1)(4)41xxx-+=-441xx=+ +- .4141xx

16、=-+-由題意知，所以運用均值不等式即可求得該函數最小值,1x 即當時取最小值，求得，符合題意.所以最小值為 9.411xx-=-3x =6y =4 函數最值在實際問題中的應用例例 1.1. 某工廠要建造一個長方形無蓋儲水池，其容積為 4800，深為，如果3m33m池底每平方米的造價為 150 元，池壁每平方米的造價為 120 元,怎樣設計水池能使總造價最低？最低總造價是多少？分析：分析：從題中分析可以得出，水池高度已知，進而問題轉化為求池壁的長和寬的問題，從而確定取什么值使總造價最低.即涉及到兩個變量，因為池壁的長和寬不可能為負數，由此我們可以想到利用均值不等式來求解.解：解：設底面的長為,

17、寬為，水池的總造價為元.xmymz根據題意有：，由容積為)(720240000)3232(12034800150yxyxz4800，可得，因此，.由均值不等式與不等式的性質，可得： 3m34800 xy =1600 xy =xyyx2720240000)(720240000即 .160002720240000z297600=當，即時，等號成立.所以，將水池的地面設計成邊長為 40的正xy=40 xy=m方體時總造價最低，最低總造價是 297600 元.例例 2.2. 某工廠 2003 年的純收入為 500 萬元，因設備老化等原因，工廠的生產能力將逐年下降.如果不對技術進行改造,從今年起預計每年

18、將比上一年減少純收入 20 萬元, 所以今年年初該工廠為了進行技術改造，一次性投入資金 600 萬元，預計在未扣除技術改造資金的情況下，第年（第一年從今年算起）的利潤為萬元（為正n1500(1)2n+n整數）.設從第一年起的前年，如果該工廠不進行技術改造的累計純收入為萬元，nna進行技術改造后的累計純收入為萬元（須扣除技術改造資金） ，則從今年起該工廠至nb少經過多少年，進行技術改造后的累計純收入超過不進行技術改造的累計純收入？分析：分析：首先根據題意寫出、的表達式，可知它們都為數學上一個簡單的數列nanb求和問題.繼而對它們作差就建立起一個函數關系式，即轉化為數學上的函數最值問題,再利用合適

19、的方法進行求解即可.解：解：依題設有(50020)(50040)+(50020 )nan=-+-+-249010nn=- .2111500(1)(1)(1) 600222nnb =+-5005001002nn=- 則2500(500100)(49010)2nnnbannn-=- 250010101002nnn=+- .5010 (1)102nn n=+-因為函數在上為增函數，所以50(1)102xyx x=+-), 0( 當時，；31 n0108501210250) 1(nnn當時，.4n01016502010250) 1(nnn所以，僅當時，.即至少要經過 4 年，該企業(yè)進行技術改造后的累計

20、4nnnba純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤. 例例 3.3. 某公司為資助尚有 26.8 萬元無息貸款尚未償還的化妝品商店，借出 20 萬元將該店鋪改造成經營狀況良好的某體育用品專賣店，并約好用該店賺取的利潤逐步對債務進行償還(全部債務均不算利息)已知該體育用品的進價為 40 元/件；該店月銷量(百件)與售價(元/件)之間的關系可用右圖qp(圖一)的一條折線表示；員工的月工資為 600 元/人，該店還需交納的其他費用為 13200 元/月 (1)若售價為 52 元/件時，該店正好收支平p衡，求該店的員工有多少；(2)若該店只招聘了 40 名員工，則該店最快可在幾年后把所有債務還清，此時每

21、件體育用品的價格定為多少元？分析：分析：由題中給出的圖可以看出，我們可以把它看做是在閉區(qū)間上的一個分段函數問題，從而轉化為數學問題，利用函數圖象所表示的幾何意義，借助于幾何圖形的直觀性來求分段函數最值問題 解：解：(1)設該店的月利潤為元，有職工名.sm40(mpqspq16024405881圖一又由圖可知： )8158(82)5840(1402ppppq所以， )815840)(80()584040)(1402(pmpppmpps由此知，當 時，即，解52p =0s =013200600100)40)(1402(m

22、pp得，即此時該店有 50 名職工.50m =(2)若該店只安排 40 名職工，則月利潤)8158(37200100)40)(80()5840(37200100)40)(1402(pppppps當時，求得時，取最大值 7800 元；5840 p55p =s當時，求得時，取最大值 6900 元8158 p61p =s綜上，當時，有最大值 7800 元55p =s設該店最早可在 n 年后還清債務，依題意，有，0200000268000780012n解得5n所以，該店最早可在 5 年后還清債務，此時消費品的單價定為 55 元由此我們可以總結出實際問題利用函數求最值的一般步驟： (1)分析實際問題中各量之間的關系，正確選擇自變量和因變量，找準等量關系，把實際問題化為數學問題，建立函數關系式，這是關鍵一步；(2)確定函數定義域，根據函數關系式，選擇合適的求解方法；(3)求出滿足條件的定義域范圍，結合實際，確定最值或最值點.4 4 結結論論本文簡單的介紹了幾種有關求函數最值問題的解法，以及在解題時需要注意的一些問題，告訴我們在解題時要學會分析思考，選擇合適的解法，盡量用簡便的方法快速地解答出問題，通過幾個在實例問題中的運用分析，學好函數最值的求解方法是至關重要的,通過