小學奧數-數論講義-2-拆填數講義-適合一年級到四年級-1

1、拆填數專題目標：1.數陣圖的三種解法：找突破口，重疊與方程思想。其中前兩種方法是特例，隨意練練，方程思想解數陣圖是核心。2.豎式拆填法：找突破口與方程思想。3.橫式拆填發(fā)：A類學生：在B類基礎上，掌握方程思想的解答過程，這類思想解答過程中包括了把問題轉化為數學式子，結合條件討論式子成立和數字成立的可能性，對學生探索問題，解決問題能力有很大提升。B類學生：掌握找突破口的方法即可，明確點任何問題，都有其特殊有規(guī)律地方，這個特殊有規(guī)律地方可能就是思考的突破口。同時掌握觀察和分類討論的邏輯順序：大小順序，前后順序，不同相同等順序。選突破口的原則：那個產生的分類討論最少，就選哪個，哪個相對穩(wěn)定就選哪個。

2、拆填數本身可能是一個磨練大腦的坑，題目沒意義，除了練腦子外，似乎找不到價值。其實不然，練習數陣圖和數字拆填，尤其是其中的找特殊位置、方程思想和分類討論，是對分析問題的鍛煉。這個難度幾乎與大學接軌，觸摸到數學的核心。一、 數陣圖前身【適合一年級】數學解題的思想，發(fā)現(xiàn)問題，也就是在一群內容中，發(fā)現(xiàn)與眾不同的地方，這個地方就是解決問題的突破口。數陣圖表現(xiàn)得最為明顯。例 如右圖所示。在正方形空格里填上適當的數，使每一橫行、豎行、斜行的四個數相加都得34。小結：如右圖所示。把適當的數填到三角形的空圈里，使每條直線上3個圈中的數相加都是10。小結：例 如右圖，把3、4、6、7四個數填在四個空格里，使橫行、

3、豎行三個數相加都得14。怎樣填？二、 數陣模型一【適合二年級】特點：有重疊。解法：因為重疊，所以解答的關鍵在重疊。例 如右圖所示。把1、2、3、4、5五個數填入五個圓圈里，要求分別滿足以下條件：（1）使橫行、豎行圓圈里的數加起來都等于8；（2）使橫行、豎行圓圈里的數加起來都等于9；（3）使橫行、豎行圓圈里的數加起來都等于10。解答提示：獨立+聯(lián)合，聯(lián)合點是關鍵，聯(lián)合點共有小結：例 （圈再多點）如圖所示。把1、2、3、4、5、6、7七個數填在右圖中的七個圓圈里，每個數只能用一次，使每條線上的三個數相加之和都等于12。解答提示：無論圈多少，關鍵在于公共位置，不在于圈的數量。小結：例 （公共的圈多點

4、）如圖所示。把1、2、3、4、5、6六個數分別填入右圖的圓圈里，使三角形每條邊上三個數之和都等于9。解答提示：公共的多了，多了怎么辦，就跟一筐蘋果，3個人分一樣，大家根據實際情況來分，有時候平分，有時候看功勞來分，有時候看實際需求來分，怎么分誰說的定呢。所以，圈多了，沒關系，分分就好小結：例 （環(huán)環(huán)相扣）把2、3、4、5、6、7、8、9、10、11填入右圖空白圓圈內，使每個大圓上四個小圓圈內的數的和都是29。你能填嗎？ 解答提示：一圈多次（3）重合，重合=一樣，多次一樣=平分 小結：例 （環(huán)環(huán)相扣，不扣一起）見圖。把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10這十個數分別填入圓圈里，使每個正方形的

5、四個數相加之和都等于24。 解答提示：只要重合，思路不變、小結：例 見圖。把1、2、3、4、5、6、7填入右圖圓圈中，使橫行、豎行、斜行三個圓圈中的數相加之和都等于12。小結：三、 數陣進階【適合二年級】解決這類問題3種方法，一類是根據題目有選擇性的找突破口；第二類是重疊法，針對超過3個重疊，方法無效；第三類是用方程的思想分類討論，解決問題。例 重新按圖 910進行排列，使每邊三張卡片上的數的和等于：13，15.例 圖是由八個小圓圈組成的，每個小圓圈都有直線與相鄰的小圓圈相接連.請你把1、2、3、4、5、6、7、8八個數字分別填在八個小圓圈內，但相鄰的兩個數不能填入有直線相連的兩個小圓圈（例如

6、，你在最上頭的一個小圓圈中填了5，那么4和6就不能填在第二層三個小圓圈中了）.例 在圖915，916中，只能用圖中已有的三個數填滿其余的空格，并要求每個數字必須使用3次，而且每行、每列及每條對角線上的三個數之和都必須相等.例 圖921是由四個三角形組成的，每個三角形上都有三個小圓圈.請你把1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數填在九個小圓圈中，讓每個三角形上的三個數之和都是15.圖922是由四個扁而長的圓圈組成的，在交點處有8個小圓圈.請你把1、2、3、4、5、6、7、8這八個數分別填在8個小圓圈中.要求每個扁長圓圈上的四個數字的和都等于18.四.封閉型數陣圖、輻射型數陣圖和復合型數陣圖居

7、然是解方程！【適合四年】例 （封閉型數陣圖）將18這八個自然數分別填入下圖中的八個內，使四邊形每條邊上的三個數之和都等于14，且數字1出現(xiàn)在四邊形的一個頂點上.應如何填？解答提示：跟數的拆分一樣，設定未知數，用未知數列方程組來思考問題。無非把方程組做到極簡單，搞定幾個空，再拓展。解答小結：用方程思想，將問題轉化為數學式子，解決數學式子解決問題。核心：對數字討論。例 （輻射型數陣圖）請你把17這七個自然數，分別填在下圖（1）的圓圈內，使每條直線上的三個數的和都相等.應怎樣填？解答提示：跟數的拆分一樣，設定未知數，用未知數列方程組來思考問題。無非把方程組做到極簡單，搞定幾個空，再拓展。只是討論選擇

8、的點不同。解答小結：例 （復合型數陣圖）如下圖（1）所示，在每個小圓圈內填上一個數，使得每一條直線上的三個數的和都等于大圓圈上三個數的和.解答提示：跟數的拆分一樣，設定未知數，用未知數列方程組來思考問題。無非把方程組做到極簡單，搞定幾個空，再拓展。只是討論選擇的點不同。解答小結：例 （復合型數陣圖）將116分別填入下圖（1）中圓圈內，要求每個扇形上四個數之和及中間正方形的四個數之和都為34，圖中已填好八個數，請將其余的數填完.解答提示：跟數的拆分一樣，設定未知數，用未知數列方程組來思考問題。無非把方程組做到極簡單，搞定幾個空，再拓展。只是討論選擇的點不同。解答小結：五、 有趣的數陣圖（練）【適

9、合四年級】解決這類問題3種方法，一類是根據題目有選擇性的找突破口；第二類是重疊法，針對超過3個重疊，方法無效；第三類是用方程的思想分類討論，解決問題。本章節(jié)內容：以練習鞏固為主。例 下面圖形包括六個加法算式，要在圓圈里填上不同的自然數，使六個算式都成立，那么最右邊圓圈中的數最少是幾？例 在下圖中的各題中，將從1開始的連續(xù)自然數填入各題的圓圈中，要使每邊上的數字之和都相等，中心處各有幾種填法？（每小題請給出一個解）例 在下左圖的七個圓圈內各填上一個數，要求每條線上的三個數中，當中的數是兩邊兩個數的平均數，現(xiàn)在已填好兩個數，求x是多少？例 將17這七個自然數分別填入右圖的7個小圓圈中，使三個大圓圓

10、周上及內部的四個數之和都等于定數S，并指出這個定數S的取值范圍，最小是多少，最大是多少？并對S最小值填出數陣.例 把20以內的質數分別填入右圖的八個圓圈中，使圈中用箭頭連接起來的每條路上的四個數之和都相等.例 在一個立方體各個頂點上分別填入19這九個數中的八個數，使得每個面上四個頂點所填數字之和彼此相等，并且這個和數不能被那個沒有被標上的數字整除. 試求：沒有被標上的數字是多少？并給出一種填數的方法.例 將18這八個數標在立方體的八個頂點上，使得每個面的四個頂點所標數字之和都相等.例 在下左圖中，將19這九個數，填人圓圈內，使每個三角形三個頂點的數字之和都相等.例 在有大小六個正方形的方框下左

11、圖中的圓圈內，填入19這九個自然數，使每一個正方形角上四個數字之和相等.例 將19這九個數字分別填入右圖中的九個圓圈中，使各條邊上的四個圓圈內的數的和相等.例 在右圖的空白的區(qū)域內分別填上1、2、4、6四個數，使每個圓中的四個數的和都是15.例 將16六個自然數字分別填入下圖的圓圈內，使三角形每邊上的三數之和都等于定數S，指出這個定數S的取值范圍.并對S=11時給出一種填法.例 將110這十個自然數分別填入下左圖中的10個圓圈內，使五邊形每條邊上的三數之和都相等，并使值盡可能大.例 將18填入上右圖中圓圈內，使每個大圓周上的五個數之和為21.七、 幻方【適合四年級】解決這類問題3種方法，一類是

12、根據題目有選擇性的找突破口；第二類是重疊法，針對超過3個重疊，方法無效；第三類是用方程的思想分類討論，解決問題例 將19這九個數，填入下左圖中的方格中，使每行、每列、兩條對角線上三個數字的和都相等.例 在右圖中的A、B、C、D處填上適當的數，使右圖成為一個三階幻方.例 將右圖中的數重新排列，使得橫行、豎行、對角線上的三個數的和都相等.例 將1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數字，分別填入33陣列中的九個方格，使第二行組成的三位數是第一行組成的三位數的2倍，第三行組成的三位數是第一行組成的三位數的3倍.八、加減法拆組【適合一年級】剛接觸加減法拆分，主要還是以觀察數的特征為主，從特殊點位置來

13、解答問題。例 給你1、2、3、4、16、17、18、19這八個數，要求：把它們分成四組，使每組的兩個數相加之和相等。再用這八個數組成如下的兩個算式。+-=+-=解答提示：對這類題目一是要大膽嘗試，邊想邊寫，千萬不要只想不寫！不斷嘗試，嘗試的順序無非就是：大小順序，加減順序等等。解題小結：例 在1、2、3、4、5、6、7之間放幾個“+”號，使它們的和等于100，試試看。1 2 3 4 5 6 7=100解答提示：對這類題目一是要大膽嘗試，邊想邊寫，千萬不要只想不寫！不斷嘗試，嘗試的順序無非就是：大小順序，加減順序等等。解題小結：例 用1、2、3、4、5、6、7這七個數字組成五個數，使組成的兩個兩

14、位數與三個一位數相加之和正好等于100，你能夠辦得到嗎？解答提示：初級的豎式加減，解法兩種，一類是方程思想，一年級顯然沒學，二就是觀察嘗試法，從特殊位置入手，所謂特殊位置：首末位置+命題人故意放的特殊數。解答小結：人設計出來的，一定有漏洞，越特殊的地方，越是漏洞的地方。九、豎式加減法【適合三年級】建議：在解答豎式加減法問題時，以觀察特點為主，解方程為輔，但是解方程的思路建議在此處就給學生講講，為后面的難度豎式加減準備。例 （基本問題）在下面算式的空格中，各填入一個合適的數字，使算式成立.解答提示：初級的豎式加減，解法兩種，一類是方程思想，一年級顯然沒學，二就是觀察嘗試法，從特殊位置入手，所謂特

15、殊位置：首末位置+命題人故意放的特殊數。練 在下面算式的空格內各填入一個合適的數字，使算式成立。解答提示：初級的豎式加減，解法兩種，一類是方程思想，一年級顯然沒學，二就是觀察嘗試法，從特殊位置入手，所謂特殊位置：首末位置+命題人故意放的特殊數。例 （有條件拆填）用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個數字組成下面的加法算式，每個數字只許用一次，現(xiàn)已寫出三個數字，請把這個算式補齊.解答提示：初級的豎式加減，解法兩種，一類是方程思想，一年級顯然沒學，二就是觀察嘗試法，從特殊位置入手，所謂特殊位置：首末位置+命題人故意放的特殊數。有條件的豎式加減，需要在判定的時候，對附件條件判斷討論。例 （減

16、法問題）在下面算式的空格內填上合適的數字，使算式成立。練 在下面的加法算式的空格內各填入一個合適的數字，使算式成立.例 （加減混合）在下面算式的空格內各填入一個合適的數字，使算式成立.十、乘除法拆填數【適合三年級】解法同加減法拆填數，略例 （乘法）在右面算式的方框中填上適當的數字，使算式成立例 （除法）在右面算式的方框中填上適當的數字，使算式成立十一、數字迷的拆填數（有條件的拆填數）解答乘法有條件的拆填數問題兩種思想方法：一是觀察發(fā)現(xiàn)特征，二是方程思想。兩類思想代表的思路和境界不同，對于A類學生兩類都必須掌握，B類學生會發(fā)現(xiàn)特征即可。B類學生解答此類問題，會比較困難。除法的拆填數：目前來看，發(fā)現(xiàn)特征是最簡單的，方程思想相對復雜些，逆向方程解答也是可以的。右面算式中每一個漢字代表一個數字，不同的漢字表示不同的數字.當它們各代表什么數字時算式成立？例 例 例 例 例 練：十二、填橫式【適合四年級】找突破口：大小順序，前后順序，難以順序，特殊一般順序等，原則：那個分類討論情況最少選哪個。方程思想：也不是所有題都容易解。例 將19這九個數字分別填入下面算式的九個中，使每個算式都成立.解答提示：乘法是突破口，原因加減太多要思考，乘法