利用導數(shù)研究方程的根和函數(shù)的零點

1、利用導數(shù)研究方程的根和函數(shù)的零點5(2009福建文)（本小題滿分12分）已知函數(shù)且 （I）試用含的代數(shù)式表示； （）求的單調(diào)區(qū)間； （）令，設函數(shù)在處取得極值，記點，證明：線段與曲線存在異于、的公共點；5. 解法一：（I）依題意，得 由得（）由（I）得（ 故 令，則或 當時， 當變化時，與的變化情況如下表： +單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為由時，此時，恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為R當時，同理可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為綜上：當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為（）當時

2、，得 由，得 由（）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為 所以函數(shù)在處取得極值。 故 所以直線的方程為 由得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 令 易得，而的圖像在內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線， 故在內(nèi)存在零點，這表明線段與曲線有異于的公共點解法二：（I）同解法一（）同解法一。（）當時，得，由，得由（）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值，故所以直線的方程為 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由得解得所以線段與曲線有異于的公共點 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 14(2009江西文)（本小題滿分12分）設函數(shù)（1）對于任意實數(shù)，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且僅

3、有一個實根，求的取值范圍14. 解：(1) , 因為, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值為(2) 因為 當時, ;當時, ;當時, ; 所以 當時,取極大值 ; 當時,取極小值 ; 故當 或時, 方程僅有一個實根. 解得 或.23(2009陜西文)（本小題滿分12分）已知函數(shù)求的單調(diào)區(qū)間； 若在處取得極值，直線y=m與的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍。23. 解析：（1）當時，對，有當時，的單調(diào)增區(qū)間為當時，由解得或；由解得，當時，的單調(diào)增區(qū)間為；的單調(diào)減區(qū)間為。（2）因為在處取得極大值，所以所以由解得。由（1）中的單調(diào)性可知，在處取得極大值，在處取得極小值。因為直線與函數(shù)的圖象有

4、三個不同的交點，又，結合的單調(diào)性可知，的取值范圍是。12（2010年高考湖北卷文科21）（本小題滿分14分）設函數(shù)，其中a0，曲線在點P（0，）處的切線方程為y=1（）確定b、c的值（）設曲線在點（）及（）處的切線都過點（0,2）證明：當時，（）若過點（0,2）可作曲線的三條不同切線，求a的取值范圍。（11天津文）19（本小題滿分14分）已知函數(shù)，其中（）當時，求曲線在點處的切線方程；（）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（）證明：對任意的在區(qū)間內(nèi)均存在零點（19）本小題主要考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、曲線的切線方程、函數(shù)的零點、解不等式等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法，滿分1

5、4分。 （）解：當時，所以曲線在點處的切線方程為 （）解：，令，解得因為，以下分兩種情況討論： （1）若變化時，的變化情況如下表：+-+所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是。 （2）若，當變化時，的變化情況如下表：+-+所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是 （）證明：由（）可知，當時，在內(nèi)的單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，以下分兩種情況討論： （1）當時，在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，所以對任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點。 （2）當時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，若所以內(nèi)存在零點。若所以內(nèi)存在零點。所以，對任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點。綜上，對任意在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點。10.【2012高考

6、江蘇18】（16分）若函數(shù)在處取得極大值或極小值，則稱為函數(shù)的極值點。已知是實數(shù)，1和是函數(shù)的兩個極值點（1）求和的值；（2）設函數(shù)的導函數(shù)，求的極值點；（3）設，其中，求函數(shù)的零點個數(shù)【答案】解：（1）由，得。 1和是函數(shù)的兩個極值點， ，解得。 （2） 由（1）得， ， ，解得。 當時，；當時， 是的極值點。 當或時， 不是的極值點。 的極值點是2。（3）令，則。 先討論關于 的方程 根的情況：當時，由（2 ）可知，的兩個不同的根為I 和一2 ，注意到是奇函數(shù)，的兩個不同的根為一和2。當時， ，一2 , 1，1 ，2 都不是的根。由（1）知。 當時， ，于是是單調(diào)增函數(shù)，從而。此時在無實根

7、。 當時，于是是單調(diào)增函數(shù)。又，的圖象不間斷， 在（1 , 2 ）內(nèi)有唯一實根。同理，在（一2 ，一I ）內(nèi)有唯一實根。 當時，于是是單調(diào)減兩數(shù)。又， ，的圖象不間斷，在（一1，1 ）內(nèi)有唯一實根。因此，當時，有兩個不同的根滿足；當 時有三個不同的根，滿足?，F(xiàn)考慮函數(shù)的零點：( i ）當時，有兩個根，滿足。而有三個不同的根，有兩個不同的根，故有5 個零點。( 11 ）當時，有三個不同的根，滿足。而有三個不同的根，故有9 個零點。綜上所述，當時，函數(shù)有5 個零點；當時，函數(shù)有9 個零點?！究键c】函數(shù)的概念和性質，導數(shù)的應用?！窘馕觥浚?）求出的導數(shù)，根據(jù)1和是函數(shù)的兩個極值點代入列方程組求解即可

8、。 （2）由（1）得，求出，令，求解討論即可。 （3）比較復雜，先分和討論關于 的方程 根的情況；再考慮函數(shù)的零點。13.【2102高考福建文22】（本小題滿分14分）已知函數(shù)且在上的最大值為，（1）求函數(shù)f(x)的解析式；(2)判斷函數(shù)f(x)在（0，）內(nèi)的零點個數(shù)，并加以證明。考點：導數(shù)，函數(shù)與方程。難度：難。分析：本題考查的知識點為導數(shù)的計算，利用函數(shù)與方程的思想解決根個數(shù)的問題。解答：（I）在上恒成立，且能取到等號 在上恒成立，且能取到等號 在上單調(diào)遞增 （lfxlby）（II） 當時，在上單調(diào)遞增 在上有唯一零點 當時，當上單調(diào)遞減 存在唯一使 得：在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減 得：時，

9、時，在上有唯一零點 由得：函數(shù)在內(nèi)有兩個零點。（2013年高考陜西卷（文）已知函數(shù). () 求f(x)的反函數(shù)的圖象上圖象上點(1,0)處的切線方程; () 證明: 曲線y = f (x) 與曲線有唯一公共點. () 設a, , 所以存在,使得. 由于函數(shù)在區(qū)間和上均單調(diào),所以當時曲線與直線有且只有兩個不同交點.綜上可知,如果曲線與直線有且只有兩個不同交點,那么的取值范圍是. 2013年高考福建卷（文）已知函數(shù)(,為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)若曲線在點處的切線平行于軸,求的值;(2)求函數(shù)的極值;(3)當?shù)闹禃r,若直線與曲線沒有公共點,求的最大值.【答案】解:()由,得. 又曲線在點處的切線平行于軸, 得,即,解得. (), 當時,為上的增函數(shù),所以函數(shù)無極值. 當時,令,得,. ,;,. 所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, 故在處取得極小值,且極小值為,無極大值. 綜上,當時,函數(shù)無極小值; 當,在處取得極小值,無極大值. ()當時, 令, 則直線:與曲線沒有公共點, 等價于方程在上沒有實數(shù)解. 假設,此時, 又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷,由零點存在定理,可知在上至少有一解,與“方程在上沒有實數(shù)解”矛盾,故. 又時,知方程在上沒有實數(shù)解. 所以的最大值為. 解法二: ()()同解法一. ()當時,. 直線:與曲線沒有公共點