高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講優(yōu)質(zhì)課件 文 北師大版選修4-5

1、14545不等式選講不等式選講2知識(shí)梳理雙基自測2341自測點(diǎn)評(píng)51.絕對(duì)值三角不等式(1)定理1:若a,b是實(shí)數(shù),則|a+b|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí),等號(hào)成立;(2)性質(zhì):|a|-|b|ab|a|+|b|;(3)定理2:若a,b,c是實(shí)數(shù),則|a-c|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)0時(shí),等號(hào)成立.3知識(shí)梳理雙基自測自測點(diǎn)評(píng)234152.絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值的不等式|x|a的解法(2)|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法:|ax+b|c-cax+bc;|ax+b|cax+bc或ax+b-c.4知識(shí)梳理雙基自測自測點(diǎn)評(píng)23415(3

2、)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法:利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;利用“零點(diǎn)分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想;通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖像求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程及數(shù)形結(jié)合的思想.5知識(shí)梳理雙基自測自測點(diǎn)評(píng)234153.平均值不等式定理1:設(shè)a,bR,則a2+b22ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.6知識(shí)梳理雙基自測自測點(diǎn)評(píng)234154.柯西不等式(1)若a,b,c,d都是實(shí)數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí),等號(hào)成立.在一個(gè)數(shù)k,使得ai=kbi(i=1,2,n)時(shí),等號(hào)成立.(3)

3、柯西不等式的向量形式:設(shè),是兩個(gè)向量,則|,當(dāng)且僅當(dāng)是零向量或存在實(shí)數(shù)k,使=k時(shí),等號(hào)成立.7知識(shí)梳理雙基自測自測點(diǎn)評(píng)234155.不等式證明的方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等.82知識(shí)梳理雙基自測3415自測點(diǎn)評(píng)1.下列結(jié)論正確的畫“”,錯(cuò)誤的畫“”.(1)對(duì)|a-b|a|+|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)等號(hào)成立.()(2)|a+b|+|a-b|2a|.()(3)|x-a|+|x-b|的幾何意義是表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)a,b的距離之和.()(4)用反證法證明命題“a,b,c全為0”時(shí)假設(shè)為“a,b,c全不為0”.()(5)若m=a+2b,n=a+b2+1,則nm.(

4、) 答案 答案關(guān)閉(1)(2)(3)(4)(5)9知識(shí)梳理雙基自測自測點(diǎn)評(píng)23415A.2a3B.1a2C.1a3D.1a0)的不等式一般利用零點(diǎn)分段法求解.3.求函數(shù)y=|x-a|+|x-b|的最值問題,一般利用絕對(duì)值三角不等式,但要找出等號(hào)成立的條件,只有等號(hào)成立,才存在最值.14考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5例1(2016全國丙卷,文24)已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a.(1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)6的解集;(2)設(shè)函數(shù)g(x)=|2x-1|.當(dāng)xR時(shí),f(x)+g(x)3,求a的取值范圍.思考絕對(duì)值不等式的常見解法有哪些?15考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5 解 (1)當(dāng)a=2

5、時(shí),f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+26得-1x3.因此f(x)6的解集為x|-1x3.(2)當(dāng)xR時(shí),f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,當(dāng)x= 時(shí)等號(hào)成立,所以當(dāng)xR時(shí),f(x)+g(x)3等價(jià)于|1-a|+a3.(分類討論)當(dāng)a1時(shí),等價(jià)于1-a+a3,無解.當(dāng)a1時(shí),等價(jià)于a-1+a3,解得a2.所以a的取值范圍是2,+).16考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5解題心得絕對(duì)值不等式的常見解法有:(1)解絕對(duì)值不等式主要是通過同解變形去掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為一元一次不等式(組)或一元二次不等式(組)進(jìn)行求解.(2)含有多個(gè)

6、絕對(duì)值符號(hào)的不等式,一般可用零點(diǎn)分段法分類討論求解.(3)對(duì)于形如|x-a|+|x-b|m或|x-a|+|x-b|a的解集,可以作出函數(shù)f(x)的圖像,利用數(shù)形結(jié)合法求解.17考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2016全國乙卷,文24)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)在圖中畫出y=f(x)的圖像;(2)求不等式|f(x)|1的解集.18考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5y=f(x)的圖像如圖所示. 19考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)520考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5(1)證明:f(x)2;(2)若f(3)0.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)1的解集;(2)若f(

7、x)的圖像與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.思考求解含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問題的常用基本方法是什么?26考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5解題心得求解含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問題,常用的基本方法是根據(jù)絕對(duì)值的定義,分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào),轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),然后數(shù)形結(jié)合解決.27考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)528考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)529考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5(1)求M;(2)證明:當(dāng)a,bM時(shí),|a+b|1+ab|.思考證明不等式常用的方法有哪些?30考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5所以f(x)2的解集M=x|-1x1.(2)由(1)知,當(dāng)a,bM時(shí),-1a1,-1b1,從而(a

8、+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0.因此|a+b|1+ab|.31考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5解題心得證明不等式常用的方法:(1)比較法證明不等式,比較法又包含作差比較法和作商比較法.(2)用分析法證明不等式,使用分析法證明的關(guān)鍵是尋找推理的每一步的充分條件.(3)用綜合法證明不等式,在用綜合法證明不等式時(shí),常用到不等式的性質(zhì)和平均值不等式等.32考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2016山西太原三模)已知函數(shù)f(x)=|x-1|.(1)解不等式f(x-1)+f(x+3)6;(1)解 f(x)=|x-1|,f(x-1)+f(x+3)

9、6等價(jià)于|x-2|+|x+2|6.當(dāng)x2時(shí),不等式等價(jià)于x-2+x+26,即2x6,解得x3;當(dāng)-2x0,因?yàn)閨a|1,|b|1,所以a21,b21,即a2-10,b2-10成立,從而原不等式成立.34考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5例5已知a0,b0,c0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4.(1)求a+b+c的值;思考如何利用柯西不等式證明不等式或求最值?解 (1)因?yàn)閒(x)=|x+a|+|x-b|+c|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,當(dāng)且僅當(dāng)-axb時(shí),等號(hào)成立.又a0,b0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值為a+b+c.又已知f(x)的最小值

10、為4,所以a+b+c=4.35考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)536考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5解題心得1.用柯西不等式證明時(shí),一般需要對(duì)不等式變形,使之與柯西不等式有相似的結(jié)構(gòu),然后根據(jù)柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征,利用柯西不等式進(jìn)行證明.37考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5已知關(guān)于x的不等式|x+a|b的解集為x|2x4.(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;38考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)539考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)51.含絕對(duì)值不等式的恒成立問題的求解方法(1)分離參數(shù)法:運(yùn)用“f(x)a恒成立f(x)maxa,f(x)a恒成立f(x)mina”可解決恒成立中的參數(shù)范圍問題.(2)數(shù)形結(jié)

11、合法:在研究不等式f(x)g(x)恒成立問題時(shí),若能作出兩個(gè)函數(shù)的圖像,通過圖像的位置關(guān)系可直觀解決問題.2.含絕對(duì)值不等式的證明,可用“零點(diǎn)分段法”討論去掉絕對(duì)值符號(hào),也可利用重要不等式|a+b|a|+|b|及其推廣形式|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|.3.利用柯西不等式求最值,實(shí)質(zhì)上就是利用柯西不等式進(jìn)行放縮,放縮不當(dāng)則等號(hào)可能不成立,因此,要切記檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件.40考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)51.在解決有關(guān)絕對(duì)值不等式的問題時(shí),充分利用絕對(duì)值不等式的幾何意義解決問題能有效避免分類討論不全面的問題.若用零點(diǎn)分段法求解,要掌握分類討論的標(biāo)準(zhǔn),做到不重不漏.2.在利用算術(shù)-幾何平均值不等式或柯西不等式求最值時(shí),要注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件,特別