(完整版)初中圓知識點總結(jié)與練習

1、 (1) 在一個平面內(nèi)，線段 OA繞它的一個端點 0 旋轉(zhuǎn) 另一個端點 A 隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓。固定的端點 叫做圓心，線段 0A 叫做半徑，如右圖所示。 (2) 圓可以看作是平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集 合，定點為圓心，定長為圓的半徑。 說明：圓的位置由圓心確定，圓的大小由半徑確定，半 徑相等的兩個圓為等圓 2 圓的有關(guān)概念 (1) 弦：連結(jié)圓上任意兩點的線段。(如右圖中 的 CD)。 (2) 直徑：經(jīng)過圓心的弦(如右圖中的 AB)。 直徑等于半徑的 2 倍。 (3) ?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧。(如 右圖中的CD、CAD ) 其中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，如 CAD，小 于半

2、圓的弧叫做劣弧。 (4) 圓心角：如右圖中/ COD 就是圓心角。 3. 與圓相關(guān)的角 (1) 與圓相關(guān)的角的定義 圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角 圓周角：頂點在圓上且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。 弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一連軸和圓相切的角叫做弦切角。 (2) 與圓相關(guān)的角的性質(zhì) 圓心角的度數(shù)等于它所對的弦的度數(shù)； 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半； 同弧或等弧所對的圓周角相等； 半圓(或直徑)所對的圓周角相等； 弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角； 兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等； 圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角。 4. 圓

3、心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系。 (1) 定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦的弦心距相等。 (2) 推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組 量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等 A D B A 【例1】 下面四個命題中正確的一個是( ) A. 過弦的中點的直線平分弦所對的弧 B. 過弦的中點的直線必過圓心 C. 弦所對的兩條弧的中點連線垂直平分弦，且過圓心 D. 弦的垂線平分弦所對的弧 【答案】C _與圓有關(guān)的位置 4.切線的性質(zhì)與判定定理 (1)切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線; 兩個條件：過半徑外端且垂直

4、半徑，二者缺一不可 即： MN OA且MN過半徑OA外端 MN是O O的切線 (2)性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑(如上圖) 推論1:過圓心垂直于切線的直線必過切點。 推論 2:過切點垂直于切線的直線必過圓心。 5. 切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線， 它們的切線長相等, 連線如果圓的半徑為 r,某一點到圓心的距離為 d,那么: (1)點在圓外？ d r (2)點在圓上？ d r (3)點在圓內(nèi)？ d r 2.直線和圓的位置關(guān)系 設(shè) r 為圓的半徑，d 為圓心到直線的距離 (1)直線和圓相離？ d r，直線與圓沒有交點； (2)直線和圓相切？ d r，直線與圓有唯一交點； (3)直線和圓

5、相交？ d r，直線與圓有兩個交點。 3.兩圓的位置關(guān)系 設(shè) R、r 為兩圓的半徑， d 為圓心距 (1)兩圓外離？ d R r ； (2)兩圓外切？ d R + r ； (3)兩圓相交？ R r d r)； (5)兩圓內(nèi)含？ d R- r(R r)。(注意：如果為d 1.點與圓的位置關(guān)系 =0 ,則兩圓為同心圓。 這點和圓心的 平分兩條切線的夾角。A 即： PA、PB 是的兩條切線 PA PB PO平分 BPA 【例2】 已知。O 的半徑為 1,點 P 到圓心 O 的距離為 d，若關(guān)于 x 的方程 x2 2x+ d=0 有實 根，則點 P( ) A. 在O O 的內(nèi)部 B.在O O 的外部

6、C.在O O 上 D.在O O 上或O O 的內(nèi)部 【答案】D 【例3】 已知：如圖，PA PB 分別與O O 相切于 A, B 兩點.求證：OP 垂直平分線段 AB. 【答案】略 【例4】 已知：如圖，PA 切O O 于 A 點，PO/ AC, BC 是O O 的直徑.請問：直線 PB 是否與 O O相切？說明你的理由. 【答案】直線 PB 與O O 相切.提示：連結(jié) 0 代證4 PAOA PBO 【例 5】已知：如圖，O Oi與OO2外切于 A 點，直線 I 與O Oi、OO2分別切于 B，C 點，若O Oi 的半徑 ri=2cm，O O2的半徑 r2=3cm.求 BC 的長. 【答案】2

7、 6cm .提示：分別連結(jié) OiB，O1O2，O2C. 【例 6】如圖，點 A，B 在直線 MN 上，AB=11cm，O A，O B 的半徑均為 Icm.O A 以每秒 2 cm的速度自左向右運動，與此同時，OB 的半徑也不斷增大，其半徑 r(cm)與時間 t(s) 之間的關(guān)系式為 r=1 + t(t 0). (1) 試寫出點 A，B 之間的距離 d(cm)與時間 t(s)之間的函數(shù)表達式； (2) 問點 A 出發(fā)多少秒時兩圓相切？ 【答案】(1)當 0t5.5 時，d= 2t 11. (2)第一次外切，t = 3;第一次內(nèi)切，t耳； 3 第二次內(nèi)切，t = 11;第二次外切，t= 13. 垂

8、徑定理及推論 【例 7】在直徑為 52cm 的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示，如果油的最大深度為推論 1： (1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧; (2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧; 推論 2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即:在O O 中 AB / CD 弧 AC 弧 BD 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧 16cm，那么油面寬度 AB 是 _ cm. 【答案】4 159 【例【例8】 如圖， F 是以 0 為圓心， BC 為直徑的半圓上任意一點, A是館的中點， AD丄 BC于 D， 1 求證：AD 二BF. 2 【答案】

9、提示：連接 OF,證明VADO ,VFOE ,VBOE 圓周角定理 C 三角形。 1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一 即： AOB和 ACB是弧 AB 所對的圓心角和圓周角 AOB 2 ACB 半。 2、圓周角定理的推論: 推論 1:同弧或等弧所對的圓周角相等; 同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧; 即： D 都是所對的圓周角 推論 2: 半圓或直徑所對的圓周角是直角; 圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦 即：在O O 中， AB 是直徑 或 C 90 是直徑。 C 90 AB 是直徑 推論 3: 若三角形一邊上的中線等于這邊的一半, 那么這個三角形是直角三角形。

10、 即：在 ABC 中，T OC OA 0B ABC是直角三角形或 C 90 【例【例9】已知：如圖，AB 是。O 的直徑，弦 CD 丄 AB 于 E,Z ACD=30 ，AE=2cm.求 DB 【答案】4、3cm. 【例【例10】已知：如圖，O O 的直徑 AE=10cm,Z B=Z EAC 求 AC 的長. 【答案】提示：連結(jié) CE 不難得出AC 5.2cm. 與圓有關(guān)的計算 1 圓周長： c = 2pR 2 弧長：1 -nPR ； 180 3. 圓面積： 2 S= PR ; 4. 扇形面積: -S扇形_: 【例【例11】如圖，扇形紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條 AB, AC 夾角為 120 ,

11、 AB 的長為 30cm, 貼紙部分 BD 的長為 20cm，則貼紙部分的面積為（ cnm A. 100 n B. C. 800n cnm D. ). 400 2 n cm 3 800 2 n cm 3 【答案】D 【例【例12】 已知： 如圖, 以線段 AB 為直徑作半圓 Oi, 交半圓 O2于 D 點.試比較與1.的長. 【答案】；E的長等于的尬長.提示：連結(jié) O2D. 以線段 AO 為直徑作半圓 02,半徑 OiC PA PB PC PD 推論：如果弦與直徑垂直相交， 那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比 即：在O O中，直徑AB CD , 2 二 CE AE BE 2.切割線定理：

12、從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是 線與圓交點的兩條線段長的比例中 即：在O O中 PA 是切線，PB 是割線 2 PA PC PB 例中項。 項。 3.害熾定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點 到每 即：在。O中，弦 AB、CD相交于點 P , 這點到割 E 條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖） 即：在。O中， PB、PE 是割線 PC PB PD PE 【例 13】如圖，P 是。0外一點，PC 切。0于點 C, PAB 是OO的割線，交。0于 A、B 兩點, 如果 PA P 吐 1: 4，PC= 12cm OO的半徑為 10cm 則圓心 0 到 AB 的距離是 _ 【答案】9

13、 正多邊形與圓 在O 0中厶ABC是正三角形，有關(guān)計算在 Rt BOD中進行：0D : BD : 0B 1: .3:2 ； 2. 正四邊形 同理，四邊形的有關(guān)計算在 Rt OAE中進行，OE:AE:OA 1:1: .2 : 3. 正六邊形 同理，六邊形的有關(guān)計算在 Rt OAB中進行，AB :OB : OA 1: . 3:2 . 【例【例13】已知正多邊形的邊長為 a 與外接圓半徑 R 之間滿足 1 a 2，則這個多邊形是（ ） R A. 正三邊形 B.正四邊形 C.正五邊形 D.正六邊形 【答案】C 提示：正多邊形的邊數(shù)越多，則邊長越小，而有 R a 2R 因為 a6 R， a4 - 2R，

14、所以 a6 a a4 則a6 a5 a4，是正五邊形，應(yīng)選 G 課后練習題 【例【例1】若 P 為半徑長是 6cm 的O O 內(nèi)一點，OP= 2cm，則過 P 點的最短的弦長為（ ）. A. 12cm B. 2.2cm C. 4 - 2cm D. 8 2cm 【答案】D 【例【例2】若O O 的半徑長是 4cm，圓外一點 A 與OO 上各點的最遠距離是 12cm，則自 A 點所 引O O 的切線長為（）. 1.正三角形 A. 16cm B. 4 3cm C. 4、2cm D. 4.6cm 【答案】B 【例【例3】OO 中，/ AOB= 100,若 C 是上一點，則/ ACB 等于（ ）. 【例

15、【例5】如圖，A 是半徑為 2 的O O 外的一點，OA= 4, AB 是O O 的切線，點 B 是切點，弦 BC/ OA,貝,.的長為（ ）. 7 題圖 A. 2 C. n D. n * 3 3 【答案】A 【例【例6】如圖，圖中的五個半圓，鄰近的兩半圓相切，兩只小蟲同時出發(fā)，以相同的速度從 A 聲*，心機，為加路線爬行，乙蟲沿云亍路線爬行，貝 U 下列 【答案】C 【例【例8】如圖，在O O 中，AB 為O O 的直徑，弦 CD 丄 AB,Z AOO60，則/ B= _ . 【答案】30 【例【例9】如圖，將半徑為 2cm 的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心 O,則折痕 AB 的長為 【答

16、案】2 . 3cm. 【例【例10】已知：如圖，在兩個同心圓中，大圓的弦 AB 切小圓于 C 點，AB= 12cm. 求兩個圓之間的圓環(huán)面積. 【答案】36 cm2.提示：連接 OC,OA. 【例【例11】如圖，在桌面上有半徑為 2 cm 的三個圓形紙片兩兩外切，現(xiàn)用一個大圓片把這三 個圓完全覆蓋，求這個大圓片的半 徑最小應(yīng)為多少？ 【答案】設(shè)三個圓的圓心為 O1、O2、O3,連結(jié) O1O2、O2O3、O3O1，可得邊長為 4 cm 的正 A. 80 B. 100 【答案】A 【例【例4】三角形的外心是（）. A.三條中線的交點 C.三條邊的垂直平分線的交點 【答案】C C. 120 D. 130 B. 三個內(nèi)角的角平分線的交點 B. 點到 B 點，甲蟲沿 ；， 結(jié)論正確的是（）. A.甲先到 B 點 C. 甲、乙同時到 B 點 【答案】C 【例【例7】 如圖， 同心圓半徑分別為 A. n B. 4 n 3 8 題圖 B.乙先到 B 點 D. 無法確定 2 和 1，Z AOB= 120 ,則陰影部分的面積為（ 9題圖 C. 2 n D. 4 n ). O1O2O3, 則正 O1O2O3外接圓的半徑為3 cm,所以大圓的半徑為 4 3 +2=- 6 3 3 3 【例 12】如圖，在 ABC 中，/ C=90,以 BC 上一點 0 為圓心