(完整版)分式方程的解法及應(yīng)用(基礎(chǔ))導(dǎo)學(xué)案+習(xí)題【含答案】

1、分式方程的解法及應(yīng)用（基礎(chǔ)）學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.1. 了解分式方程的概念和檢驗根的意義，會解可化為一元一次方程的分式方程2.2. 會列出分式方程解簡單的應(yīng)用問題【要點梳理】要點一、分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程 . .要點詮釋：（1 1）分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知數(shù)（ 2 2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）. .分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程. .（ 3 3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程. .要點二、分式方程的解法解分式方程的基本思想： 將分式方程轉(zhuǎn)

2、化為整式方程 . .轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母. .在去分母這一步變形時，有時可能產(chǎn)生使最簡公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根. .因為解分式方程時可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時必須驗根 . .解分式方程的一般步驟：（ 1 1 ）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項式時，先分解因式，再 找出最簡公分母） ；（ 2 2）解這個整式方程，求出整式方程的解；（ 3 3）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0 0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于 0 0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解 . .要點三、解分式方程產(chǎn)

3、生增根的原因方程變形時，可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做原方程的增根. .產(chǎn)生增根的原因：去分母時，方程兩邊同乘的最簡公分母是含有字母的式子，這個式子有可能為零，對于整式方程來說，求出的根成立，而對于原分式方程來說，分式無意義，所以這個根是原分式方程的增根. .要點詮釋：（1 1 ）增根是在解分式方程的第一步“去分母”時產(chǎn)生的根據(jù)方程的同解原理，方程的兩邊都乘以（或除以）同一個不為 0 0 的數(shù)，所得方程是原方程的同解方程如果方程的兩邊都乘以的數(shù)是 0 0,那么所得方程與原方程不是同解方程，這時求得的根就是原方程的增根（2 2）解分式方程一定要檢驗根， 這種檢驗與整式方程不同， 不是檢查解

4、方程過程中是否有錯誤， 而是檢驗是否出現(xiàn)增根，它是在解方程的過程中沒有錯誤的前提下進(jìn)行的要點四、分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用主要就是列方程解應(yīng)用題列分式方程解應(yīng)用題按下列步驟進(jìn)行：（1 1）審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系;（2 2）設(shè)未知數(shù)；（3 3）找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方程；（4 4）解這個分式方程；（5 5）驗根，檢驗是否是增根；（6 6）寫出答案. .【典型例題】類型一、判別分式方程【總結(jié)升華】 要判斷一個方程是否為分式方程，就看其有無分母，并且分母中是否含有未知數(shù). 類型二、解分式方程【答案與解析】解：（1 1）2x 11 2xA

5、A.x 3x21x 1 x 24B B4312x 1 x 1x 1C.C.3x23 0D Dx ax,(a,b為非零常數(shù)）5a b【答案】B B；【解析】A A、 C C 兩項中的方程盡管有分母，但分母都是常數(shù)；D D 項中的方程盡管含有分母，但分母中不含未知數(shù),由定義知這三個方程都不是分式方程，只有B B 項中的方程符合分式方程的定義.)102x 11 2x(2)將方程兩邊同乘（2x1），得F列方程中，是分式方程的是（解分式方程（1 1）10( 5)2(2 x 1).解方程，得x7.475檢驗：將x代入2x 1，得2x 10.42 x7是原方程的解.451(2)于L0，x 3x x x方程兩

6、邊同乘以x(x 3)(x 1)，得5(x 1) (x 3)0.解這個方程，得x 2.檢驗：把x 2代入最簡公分母，得 2 2x5 5X1 1= 1010 工 0 0. 原方程的解是x 2.【總結(jié)升華】 將分式方程化為整式方程時，乘最簡公分母時應(yīng)乘原分式方程的每一項，不要漏乘常數(shù)項.特別提 醒：解分式方程時，一定要檢驗方程的根.舉一反三：【變式】解方程:【答案】 解:方程兩邊都乘x 3，得2 x 12(x 3),解這個方程，得x 3, 檢驗：當(dāng)x 3時，x 3 0,x 3是增根，原方程無解.類型三、分式方程的增根【高清課堂 分式方程的解法及應(yīng)用例 3 3 (1 1 )】所以當(dāng)m4或m 6時，方程

7、會產(chǎn)生增根.【總結(jié)升華】 處理這類問題時，通常先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再將求出的增根代入整式方程，即可求解. 舉一反三：【變式】如果方程11 x3有增根，那么增根是【答案】x 2; 提示：因為增根是使分式的分母為零的根，由分母x 2 0或2 x 0可得x 2所以增根是x 2.類型四、分式方程的應(yīng)用C C4 4、甲、乙兩班參加綠化校園植樹活動，已知乙班每小時比甲班多種2 2 棵樹，甲班種 6060 棵樹所用的時間與x的方程上一x 2mxx24會產(chǎn)生增根?【思路點撥】 若分式方程產(chǎn)生增根，則(x2)(x2)0，即x 2或x 2，然后把x2代入由分式方程轉(zhuǎn)化得的整式方程求出【答案與解析】m的值.

8、方程兩邊同乘(X2)(x2)約去分母，得2(x2) mx3(x2).整理得(m1)x-原方程有增根,(x 2)(x 2)0,把x 2代入(m1)x10,解得m4.把x2代入(m1)x10，解得m6.10.m為何值時，關(guān)于解:乙班種 6666 棵樹所用的時間相等求甲、乙兩班每小時各種多少棵樹？【思路點撥】 本題的等量關(guān)系為：甲班種 6060 棵樹所用的時間與乙班種 6666 棵樹所用的時間相等.【答案與解析】解：設(shè)甲班每小時種x棵樹，則乙班每小時種x 2棵樹.由題意可得60西，解這個方程，得x 20 x x 2經(jīng)檢驗x 20是原方程的根且符合題意.所以x 222（棵）.答：甲班每小時種 2020

9、 棵樹，乙班每小時種 2222 棵樹.【總結(jié)升華】 解此題的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)后，用含x的分式表示甲、乙兩班種樹所用的時間.舉一反三：1【變式】兩個工程隊共同參與一個建筑工程，甲隊單獨(dú)施工1 1 個月完成總工程的-，這時增加了乙隊，兩隊又共3同工作了半個月，總工程全部完成.哪個隊的施工速度快？【答案】1解：設(shè)乙隊單獨(dú)施工 1 1 個月能完成工程的 -，總工程量為 1 1.x111根據(jù)工程的實際進(jìn)度，得1.36 2x方程兩邊同時乘以6x，得2x x 3 6x.解這個方程得x 1.檢驗：當(dāng)x 1時，6x= 6 6 工 0 0,所以x 1是原分式方程的解.1由上可知，若乙隊單獨(dú)工作 1 1 個月可以完

10、成全部任務(wù)， 對比甲隊 1 1 個月完成任務(wù)的1，可知乙隊施工速度快.3答：乙隊施工速度快.【鞏固練習(xí)】一.選擇題1 1 .下列關(guān)于x的方程中，不是分式方程的是（）A A.1x 1B B.3xA24xx1C C.x x3x3x 2 2D D .x x5 53 34 45 51616x x 6 61 22 2 .解分式方程 ，可得結(jié)果（）（）x 1x1A.A.x 1B B.x 1C.C.x 3D.D.無解x3 3 .要使44的值和2x的值互為倒數(shù)，則x的值為（）（）.x54xC.C.丄A.0A.0B B.-1D.1D.124 4 已知，若用含x的代數(shù)式表示y，則以下結(jié)果正確的是（）（）x 2 y

11、 4x 1010 xA.A.yB.yx 2C.yD.D.y7x 2335 5.若關(guān)于3x的方程31 -kk有增根，則k的值為（）（）.x 11 xA.3A.3B.1B.1C.0C.0D.D. 1 16 6 完成某項工作，甲獨(dú)做需a小時，乙獨(dú)做需b小時，則兩人合作完成這項工作的 8080%，所需要的時間是（）（）二.填空題327.7._當(dāng)X =-時分式一與的值互為相反數(shù).x 6 x8 8 .倉庫貯存水果a噸，原計劃每天供應(yīng)市場m噸，若每天多供應(yīng) 2 2 噸，則要少供應(yīng) _天.時，兩分式與丄的值相等.x 4 x 12ax3 5時，關(guān)于x的方程3 5的根是 1 1.a x 4三.解答題【答案與解析】

12、一. .選擇題1.1.【答案】C C；【解析】C C 選項中分母不含有未知數(shù)，故不是分式方程. .2.2.【答案】D D；【解析】x 1是原方程的增根. .3.3.【答案】B B；x 44 2x2x 4”口【解由題意1，化簡得：1解得x1x 54 xx 54.4.【答案】C C；【解析】由題意x 1 y 4 x 2 y 3，化簡得：3y 10 x，所以選 C.C.4A.A.(a b)小時5C.C.4ab小時5(a b)4.11. ,B.B.()小時5 a bD.D. 小時a b1010.當(dāng)a=x 11111.若方程x 11212 .關(guān)于x的方程42xa1-1有增根，則增根是11的解是負(fù)數(shù)，則a

13、的取值范圍為13.13. 解下列分式方程:（1 1）丄x 22 x14.14.甲、乙兩地相距(2)5x 7x23x 2A A 騎自行車，x 1B B 乘汽車，同時從甲城出發(fā)去乙城.已知汽車的速度是自行車速度的2.52.5 倍，B B 中途休息了 0.50.5 小時還比 A A 早到 2 2 小時，求自行車和汽車的速度.15.15.有一個兩位數(shù)，它的個位數(shù)字比十位數(shù)字大1 1,這個兩位數(shù)被個位數(shù)字除時，商是8 8，余數(shù)是 2 2,求這個兩位數(shù).5050km,5.5.【答案】A A;【解析】將x 1代入3 x 1 k，得k 3. .6.6.【答案】C C;【解析】由題意1(-1)ab，所以選 C

14、C5a b5a b二. .填空題7.7.【答案】 1818 ;【解析】320, 解得x18. .x 6x8.8.【答案】十m 2maa2 a【解析】原計劃能供應(yīng)天，現(xiàn)在能供應(yīng)天，則少供應(yīng) r天. .mm 2m 2m9.9.【答案】8 8;【解析】33，解得x8. .xx 110.10.【答案】173 【解析】將x1代入原方程，得8a 55a 12，解得a1731111. .【答案】x 1；【解析】原方程化為：22x 1 x21，解得x1，經(jīng)檢驗x 1是增根1212. .【答案】a 1且 a aM0 0 ；【解析】原方程化為ax 1, x a 10，解得a1.x.xM-1-1，解得 a aM0.

15、0.三- -解答題1313. .【解析】解:(1)(1)方程的兩邊都乘x2，得1 x 13(x 2).解這個整式方程，得x= 2 2.檢驗：當(dāng)X= 2 2 時，X 2 2= 0 0，所以 2 2 是增根，所以原方程無解.方程兩邊同乘(x 2)(x 1)約去分母，得5x 72(x 2)3(x 1).整理，得5x 7 5x 7.這個式子為恒等式. . 檢驗：當(dāng)x1,x 2時，(x 2)(x 1)0,所以x 1和x 2是增根.因此，原方程的解是x 1且x 2的任何實數(shù).方程兩邊同乘(x 2)(x1)(x1),得x(x 2)2(x 1)(x 1) (x 2)(x 1)0.4解此方程，得x4.54代入(x 2)( x 1)(x 1)5檢驗：把x得-2544-1-1 0,55所以原方程的解是4x.514.14.【解析】解:設(shè)自行車的速度為xkm/ h，汽車的速度為2.5xkm/ h,5050由題意，0.5 2,x 2.5x解方程得：125 50 6.25x經(jīng)檢驗，