數值分析期末試題

1、第一套 一、（8分）用列主元素消去法解下列方程組： x, - x2 + x3 = -4 5X| - 4x2 + 3x3 = -12 2%j +x2+ x3 = 11 二、（10分）依據下列數據構造插值多項式：y（o）二l,y（l）= -2,（0）二1, y（l）二一4 三、（12分）分別用梯形公式和辛普生公式構造復化的梯形公式、復化的辛普生公式并利用復化的梯形公 式、復化的辛普生公式計算下列積分： 四、（10分）證明對任意參數t,下列龍格一庫塔方法是二階的。 兒+1 =兒+空伙3+人） kS 兒） 煜=/（忑+?，兒+詢） 蟲 3 = f（Xn + （1 一/）方，兒 + （1 -皿1 五、（

2、14分）用牛頓法構造求&公式，并利用牛頓法求皿。保留有效數字五位。 1 a 0_ a 1 a 六、（10分）方程組AX二B其中A二L 1 試就AX二B建立雅可比迭代法和髙斯-賽徳爾迭代法，并討 論a取何值時 迭代收斂。 2 fMdx 2+ Bf0 + Cf（a） 七、（10分）試確泄常數A, B, C, a,使得數值積分公式-2有盡可能多的 代數精確度。并求該公式的代數精確度。 |a v|a|v 八、6分證明： II 11 11 其中A為矩陣，V為向量. 第二套 一、（8分）用列主元素消去法解下列方程組： 3x2 + 4勺=1 Xj _ x2 +x3 = 2 2X + x2 + 2x3 = 3

3、 二、（12分）依據下列數據構造插值多項式：y（0） =）（0）=0, y（l）=v （D= l,y（2）=l 三、（14分）分別用梯形公式和辛普生公式構造復化的梯形公式、復化的辛普生公式,并利用 精品 (4分) 復化的辛普生公式及其下表計算下列積分: ff/2 sinxdx o X 0 k/12 2/12兀 3/12 4龍/12 5龍/12 龍/2 sinx 0. 00000 0. 25882 0. 50000 0. 70711 0. 86603 0. 96593 1. 00000 四、（12分）證明下列龍格一庫塔方法是三階的。 兒+1 =兒+（3他+人） 傷=/（x”,兒） k2 = f（

4、x + / 3, yn + 叭 / 3） k3 = f（xn + 2h/3. yn + 2hk）/3） 1 五.（10分）試確定常數A,B,C使得數值積分公式 2 j7（x）d“ 對（0） + 3/（1）+ 今（2） 0 共2頁第2頁 有盡可能多的代數精確度。并求該公式的代數精確度。 六、（14分）用牛頓法構造求：公式，驗證其收斂性。并求1/ e （保留4位有效數字）。 七、10分證明：設非負函數N（x） = Ia1為R=上任意向量范數，則N（x）是x分量xi, X的 連續(xù)函數. 參考答案 、解：（8分） 3x2 + 4旳=1 %）- x2 + x3 = 2 2x +x2 + 2a3 = 3

5、j 3 4 r 1 1/2 1 3/2 1 1/2 1 3/2 1 -1 1 2 0 3 4 1 T 0 1 4/3 1/3 2 1 2 3_ _0 -3/2 0 1/2 0 0 2 1 Iflr* !： 解得：Xi=2/3, XP-1/3 X3二l/2 二、解：（12 分） 注：直接待定系數簡單，或者用牛頓茶商 （4分） （8分） 設 P(x)J(x)y(0)+化(x) y+ /(x)y(2) +匕(x) y (0)+匕(x) y，(1)(4 分) 解得： 1 (x) =x2(x-2)2 0? (x)二(1/12) x (x-1) 01 (x)二-x (xT) (x2)(4 分) P(x)=

6、 0(x) y+0,(x)y(2) +匕(x) y二 仏)+/(x)+匕(x) =x2（x-2）2+ （1/12）x2 （x-1）2 +xxT） （x2） 三、解：（14分）推證復化的梯形公式（3分） 推證復化的辛普生公式（3分） ntl fsinAr 利用復化的梯形公式0二0.96593 ff/2 J sin xdx 利用復化的辛普生公式（）二1.000003 四、(12分)證明: / 兒+1 =兒+才(3 +冏) 匕=/(，兒) 為=f(x + Zi / 3, yn + 叭 / 3) k3 = f(xn + 2h / 3, yn + 2hk2 / 3) k3=f (xn, yj +2h/3

7、f (xa, yc) + (2h/3) 2f (xr_, yj /2+0 (h:)(4 分) 二yn+h/4(3 ks+kj二 y=+ h f (xa yj+hf (x=, yJ/2+h/6f (xn, yr.) +0(h3) (8 分) yM二 ya+ h yr/ +h2yr/2+h3/6 y/ +0 (h3) Ynn -ya*=0 (h3) 則該公式是三階的(12分) 五、解：（10 分）將 1,代入原式得 A+B+C二2 B+2O2 B+4O8/3 解得：A二 1/3,B二4/3C =1/3 7141 （8分） （10 分）O J/(x)Jx-/(O) + -/l + -/ (2) 代數

8、精確度為2 六、證明：（14 分）l/xc=0 /（忑） Xe二x-/ （忑）二Xz （2-cxJ Xk-i-l/c=-c（Xk-l/c）- 設r-l-cx, 如二& 反復遞推“二（8分） 若選初值0 x02/c網1這時趨近于0,從而疊代收斂（10分） 用牛頓法構造求1/ eX5=0. 3679（14分） 七、10分證明：設心 (4分) 精品 |N(x) - N(y) = |.r|-|y| 卜)底(不-X X 護一兒 t O(c = |t|) J-lj .（10分） 第三套 （10分）利用列主元素消去法解方程: 二、（15分）證明下面龍格-庫塔方法是三階的： 兒+i 二兒+（2匕+3忍+4&）

9、 人二/（兀,兒） n h h 込=/（Xn +牙，兒+?。?2 3 k、= f（xn +；九兒 +-h） 3 4 三、（10分）求3次插值多項式使：P（0）=3, P二5, P（0） = 4, P（l） = 6, 四、（20分）確定下面公式中的a,b,使其代數精確度盡量高，并指出其代數精確度的次 數: a 乎“ + f（則 + a（b- a）2lff（a） - a 五、（20分）分別利用梯形公式和Simpson公式推導復化的梯形公式和Simpson公式，并分別 9 | yjxdx 利用復化的梯形公式和Simpson公式計算積分*1（n二8） 六、（15分）用二分法求方程f（x）=x3+4x:

10、-10在區(qū)間1,1. 5上的根。（1）要得到具有3位有 效數的近似根，須作兒次二分；（2）用二分法求具有3位有效數的近似根。 七、（10分）設H是耐中的任意范數，A w嚴,則有。引州 參考答案 五、（10分）利用列主元素消去法解方程： 解： 精品 八、 -4 -9 -1 x：=5/2, -9 5 2 11 4J 衛(wèi)二 139/20, （15分）證明下而龍格-庫塔方法是三階的： y（x“+i U） + y（x“）+亠）+；心帖） 證：26（5分） 心=/（，兒）+ 制5 ,兒）+ G+ 廠憶,）z, 2 22（9分） 3 31 際=f（Xn,兒）+ - hf（Xn,兒）+ （丁疔 廠） 4 42

11、（13分） - y （xlJ - yn*i=o （h3）（15 分） xs 二一3/20 （5分） （10 分） 精品 七、 解： （10 分）求 3 次插值多項式使：P（0）二3, P二5, P（0）=4, P（l） = 6, 設 “3 W =卩神 W + “他（X）+ P（Px（X）+ 必02（X）（ 2 分） 必（0） = 1,0 （1） = 0,0； 0） = 0,；（1） = 0 02 （0） = 0,02 =1，% （0） = 0,0；=0 （P （0） = 0,0 =0,（p （0） = 1，（p （1） = 0 02 （0） = 0, 02 =0, 0； （0） = 0, 0；

12、=1（6 分） “3（人）3+4x-2x:+6x: （x-1）（10 分） 八. （20分）確左下而公式中的a, b,使艮代數精確度盡量高，并指岀其代數精確度的次數: Ifb J fMdx a+ /(/?) + a(b - a)2fa) - fb) a2 b J f(x)dx 寧。)+ /() + a(b - a)2l.r(a)-廣(b) 解：將1, x, x*, x3代入a(4分) 丄少3_疋)=/ +方2 + 匕_“)22匕_2/7 得32(10分) 丄（戻-a4） = -a3 +by + a（b-a）23a2 -3b2 2 a=b=l/2 （15 分） 將l,x, xx3,x X5代入公

13、式的兩端，可得該公式具有4次代數精確度。（20分） 五、（20分）分別利用梯形公式和Simpson公式推導復化的梯形公式和Simpson公式，并分別利用復化的梯 9 f yfxdx 形公式和Simpson公式計算積分丨（n=8） 證：利用梯形公式推導復化的梯形公式（5分） Simpson公式推導復化Simpson公式（10分） J y/xdx 解：利用復化的梯形公式：（n二8） =17. 22774 （15分） f yxdx Simpson 公式計算積分 丨（n二8） =17. 32222（20 分） 六、（15分）用二分法求方程f （x）=x9+4X=-10在區(qū)間1,1.5上的根。（1）要得到具有3位有效數的近似根, 須作幾次；（2）用二分法求具有3位有效數的近似根。 解：須作3次（5分） 將1,1. 5 1, 1.25, 1. 25,1.5f(l)0,f(1.25) 0,