第7章FIR數(shù)字濾波器設計方法

1、第第7 7章章 FIRFIR數(shù)字濾波器的設計方法數(shù)字濾波器的設計方法7.1 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點數(shù)字濾波器的特點7.2 FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)設計法數(shù)字濾波器的窗函數(shù)設計法7.3 頻率抽樣法設計頻率抽樣法設計FIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器7.4 IIR和和FIR數(shù)字濾波器的比較數(shù)字濾波器的比較第第7章章 FIR響應數(shù)字濾波器的設計方法響應數(shù)字濾波器的設計方法 FIR數(shù)字濾波器具有線性相位的條件數(shù)字濾波器具有線性相位的條件()()()( )()( )jjjjHjz eH eH zH eeHe 幅度響應幅度響應: ( )()jHH e( )()H ( ) ( ) 都是常數(shù)。都是常數(shù)

2、。( )dd 7.1 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點數(shù)字濾波器的特點相位響應相位響應:10( )( )NnnH zh n z1. 有限長單位沖激響應有限長單位沖激響應h(n)為偶對稱為偶對稱1100( )(1)( )( )(1)NNnnnnh nh NnH zh n zh Nn z 11(1)(1)(1)100( )( )( )()NNN mNmNmmH zh m zzh m zzH z1mNn令令則有則有7.1 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點數(shù)字濾波器的特點1111()22201( ) ()2NNNNnnnzh nzz 因此，系統(tǒng)的頻率響應因此，系統(tǒng)的頻率響應:()jH e1

3、1()201()( )( )cos() 2jNNjjz enNH eH zeh nn幅度響應：幅度響應：101( )( )cos() 2NnNHh nn相位響應：相位響應：1( )2N 7.1 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點數(shù)字濾波器的特點2. 有限長單位沖激響應有限長單位沖激響應h(n)為奇對稱為奇對稱( )(1)h nh Nn 幅度響應：幅度響應：101( )( )sin() 2NnNHh nn 7.1 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點數(shù)字濾波器的特點相位響應：相位響應：1( )22N 結論：當結論：當FIR濾波器的單位沖激響應濾波器的單位沖激響應h(n)為實序列，具有為實序

4、列，具有偶對稱性或者奇對稱，那么該偶對稱性或者奇對稱，那么該FIR濾波器具有線性相位濾波器具有線性相位特性。特性。線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的幅度特點數(shù)字濾波器的幅度特點1. h(n)偶對稱，偶對稱，N為奇數(shù)為奇數(shù)101( )( )cos() 2NnNHh nn由于由于N N為奇數(shù)為奇數(shù), ,中間項為中間項為 , ,12Nn1cos()12Nn32011( )()2 ( )cos() 22NnNNHhh nn其余項偶對稱其余項偶對稱 , ,7.1 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點數(shù)字濾波器的特點12Nmn令32011()()2() c o s22NmNNHhhmm111(0)(),

5、( )2 (),1, 2222NNNaha nhnn令120()( ) cosNnHa nn02027.1 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點數(shù)字濾波器的特點2. h(n)偶對稱，偶對稱，N為奇數(shù)為奇數(shù)/ 211()( ) cos()2NnHa nn02FIR濾波器的幅度響應如右濾波器的幅度響應如右圖所示。圖所示。幅度響應具有以下特點：幅度響應具有以下特點：(1)當當 時，時， 對對 呈奇對稱，呈奇對稱，(2)對對 呈偶對稱。呈偶對稱。( )0H( )H0,2因此，具有因此，具有h(n)偶對稱，偶對稱，N為偶數(shù)的為偶數(shù)的FIR濾波器不能用濾波器不能用于高通濾波器或者帶阻濾于高通濾波器或者帶

6、阻濾波器。波器。7.1 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點數(shù)字濾波器的特點3. h(n)奇對稱，奇對稱，N為奇數(shù)為奇數(shù)(1 ) / 21()() s in ()NnHann因此，具有因此，具有h(n)奇對稱，奇對稱，N為奇數(shù)的為奇數(shù)的FIR濾波器只能實現(xiàn)濾波器只能實現(xiàn)帶通濾波器。帶通濾波器。幅度響應幅度響應 具有以下特點：具有以下特點：(1)當當 時，時，(2) 對對 呈奇對稱。呈奇對稱。0, ,2( )0H( )H0, ,2( )H7.1 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點數(shù)字濾波器的特點4. h(n)奇對稱，奇對稱，N為偶數(shù)為偶數(shù)/ 211()() sin()2NnHa nn因此，

7、具有因此，具有h(n)奇對稱，奇對稱，N為偶數(shù)的為偶數(shù)的FIR濾波器不能實現(xiàn)濾波器不能實現(xiàn)低通、帶阻濾波器。低通、帶阻濾波器。幅度響應幅度響應 具有以下特點：具有以下特點：(1)當當 時，時，(2) 對對 呈偶對稱。呈偶對稱。0,2( )0H( )H( )H0,2對對呈奇對稱呈奇對稱7.1 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點數(shù)字濾波器的特點線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器零點分布特點數(shù)字濾波器零點分布特點線性相位線性相位FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：(1)1( )()NH zzH z 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器零點分布特點：互為共軛對稱數(shù)字濾波器零點分布特點：互為共軛對稱

8、0RezImzj*zzz1*1z線性相位線性相位FIRFIR濾波器零點分布圖濾波器零點分布圖7.1 線性相位線性相位FIR數(shù)字濾波器的特點數(shù)字濾波器的特點設計原理設計原理1.1.根據濾波器技術要求直接設計一個理想數(shù)字濾波器的頻根據濾波器技術要求直接設計一個理想數(shù)字濾波器的頻率響應。率響應。2.2.求具有上述頻率響應的濾波器對應的沖激響應序列求具有上述頻率響應的濾波器對應的沖激響應序列理理想頻率響應的濾波器具有矩形頻率特性，因而其時域響想頻率響應的濾波器具有矩形頻率特性，因而其時域響應為無限長的。應為無限長的。3.3.將求得的沖激響應序列截短，并使之具有對稱性。將求得的沖激響應序列截短，并使之具

9、有對稱性。7.2 FIR濾波器的窗函數(shù)設計法濾波器的窗函數(shù)設計法sin()1( )2()ccjjncdnh needn n)(nhd07.2 FIR濾波器的窗函數(shù)設計法濾波器的窗函數(shù)設計法理想低通數(shù)字濾波器的頻率響應為理想低通數(shù)字濾波器的頻率響應為|()0|jjcdceH e式中式中 表示群延時。表示群延時。實際單位沖激響應( )( )( )dh nw n h nn)(nhd07.2 FIR濾波器的窗函數(shù)設計法濾波器的窗函數(shù)設計法這時這時FIR濾波器的頻率響應為：濾波器的頻率響應為：1100()( )( )NNjj nj ndnnH eh n eh n e()jdHe()1()()()( )(

10、)*2jjjjjddRH eH eW eHeWed 式中式中 是窗函數(shù)是窗函數(shù)w(n)的傅里葉變換的傅里葉變換()jW e11()201sin(/2)()( )1sin(/2)Nj NNjjj njRjneNW eeeWee=？( )( )( )dh nw n h n因為因為則則7.2 FIR濾波器的窗函數(shù)設計法濾波器的窗函數(shù)設計法理想低通濾波器：理想低通濾波器：()( )jjddHeHe12N()()()()*1( )()21( )()2()jjjdjjdRjdRjH eHeW eHeWedeHWdeH 實際濾波器為：實際濾波器為：說明：說明：1.加窗后的濾波器仍然具有線性相位；加窗后的濾波

11、器仍然具有線性相位； 2.加窗后濾波器的幅度特性等于理想低通濾波器的加窗后濾波器的幅度特性等于理想低通濾波器的 幅度特性幅度特性 與矩形窗的幅度特性與矩形窗的幅度特性 的卷積，的卷積， 即即( )H( )RW1( )( )()2dRHHWd7.2 FIR濾波器的窗函數(shù)設計法濾波器的窗函數(shù)設計法0cc0)(Hd0)(WRN/2 N/2 100.5)0(H/)(H7.2 FIR濾波器的窗函數(shù)設計法濾波器的窗函數(shù)設計法加窗處理的影響加窗處理的影響: :1.1.理想頻率特性的邊沿形成過渡理想頻率特性的邊沿形成過渡, ,寬度近似為窗函數(shù)頻率寬度近似為窗函數(shù)頻率響應的主瓣寬度。響應的主瓣寬度。2.2.在截

12、止頻率在截止頻率 的兩邊，的兩邊， 出現(xiàn)最大肩峰。幅度取決于出現(xiàn)最大肩峰。幅度取決于窗函數(shù)幅度特性旁瓣的相對幅度。波動的次數(shù)取決于旁瓣窗函數(shù)幅度特性旁瓣的相對幅度。波動的次數(shù)取決于旁瓣的個數(shù)。的個數(shù)。c( )H3.3.改變截取長度改變截取長度N N，僅能改變過渡帶的寬度，不能改變，僅能改變過渡帶的寬度，不能改變 的肩峰相對值。稱為吉布斯現(xiàn)象。的肩峰相對值。稱為吉布斯現(xiàn)象。( )H7.2 FIR濾波器的窗函數(shù)設計法濾波器的窗函數(shù)設計法常用窗函數(shù)及其選擇原則常用窗函數(shù)及其選擇原則1. 1. 主瓣寬度窄，以獲得較陡的過渡帶。主瓣寬度窄，以獲得較陡的過渡帶。窗函數(shù)選擇要求：窗函數(shù)選擇要求：2. 2.

13、最大旁瓣相對主瓣值盡可能小，改善通帶平穩(wěn)度和增大最大旁瓣相對主瓣值盡可能小，改善通帶平穩(wěn)度和增大阻帶衰減。阻帶衰減。7.2 FIR濾波器的窗函數(shù)設計法濾波器的窗函數(shù)設計法常用窗函數(shù)：常用窗函數(shù)：1.矩形窗矩形窗窗函數(shù)窗函數(shù)：( )( )Nw nRn12()()NjjRRWeWesin2()sin2RNW頻率響應：頻率響應：2.三角窗三角窗窗函數(shù)窗函數(shù)：頻率響應：頻率響應：21012( )212112BrnNnNwnnNnNN1122221sin()sin()2244()1sinsin22NNjjjBrNNWeeeNN7.2 FIR濾波器的窗函數(shù)設計法濾波器的窗函數(shù)設計法3.漢寧窗（升余弦窗）漢

14、寧窗（升余弦窗）12( )1cos()( )21HanNnwnRnN窗函數(shù)窗函數(shù)：頻率響應：頻率響應：12()()NjjHanHanWeWe22()0.5()0.25()()HanRRRWWWWNN4.海明窗（改進升余弦窗）海明窗（改進升余弦窗）窗函數(shù)窗函數(shù)：2( )0.540.46 cos()( )1HamNnwnRnN頻率響應：頻率響應：12()()NjjHamHamWeWe22()0.54()0.23()()HamRRRWWWWNN7.2 FIR濾波器的窗函數(shù)設計法濾波器的窗函數(shù)設計法常用窗函數(shù)的基本參數(shù)：常用窗函數(shù)的基本參數(shù)：窗類型窗類型窗譜特性指標窗譜特性指標加窗后濾波器性能指標加窗

15、后濾波器性能指標旁瓣峰值旁瓣峰值dBdB主瓣寬度主瓣寬度最小阻帶最小阻帶衰減衰減dBdB過渡帶寬過渡帶寬矩形窗矩形窗-13-210.9三角窗三角窗-25-252.1漢寧窗漢寧窗-31-443.1海明窗海明窗-41-533.34 / N8 / N8 / N8 / N2 / N7.2 FIR濾波器的窗函數(shù)設計法濾波器的窗函數(shù)設計法7.2.4 窗函數(shù)設計步驟窗函數(shù)設計步驟(1)首先由給定濾波器的理想頻率響應首先由給定濾波器的理想頻率響應 ，利用傅里葉，利用傅里葉擬變換，求理想濾波器的單位沖激響應擬變換，求理想濾波器的單位沖激響應 即：即：()jdHe( )dh n1( )()2jjnddhnHeed

16、(2)根據過渡帶以及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，根據過渡帶以及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計窗口的大小。并估計窗口的大小。(3)計算濾波器的單位沖激響應計算濾波器的單位沖激響應( )( )( )dh nhn w n(4)檢驗設計出的數(shù)字濾波器是否滿足技術指標。檢驗設計出的數(shù)字濾波器是否滿足技術指標。7.2 FIR濾波器的窗函數(shù)設計法濾波器的窗函數(shù)設計法例例7-1 設計一個線性相位設計一個線性相位FIR數(shù)字低通濾波器，通帶截至頻數(shù)字低通濾波器，通帶截至頻率率 ，阻帶起始頻率，阻帶起始頻率 ，阻帶衰減不小于，阻帶衰減不小于50dB，抽樣頻率，抽樣頻率321.5 10/prad s

17、323 10/srad s 15cfkHz解解: (1)由模擬濾波器指標求數(shù)字濾波器指標：由模擬濾波器指標求數(shù)字濾波器指標：通帶截至頻率：通帶截至頻率：/0.2pppcTf 阻帶起始頻率：阻帶起始頻率：/0.4ssscTf 7.2 FIR濾波器的窗函數(shù)設計法濾波器的窗函數(shù)設計法(2)確定理想線性相位數(shù)字低通濾波器的頻率響應確定理想線性相位數(shù)字低通濾波器的頻率響應|()0|jjcdceHe()jdHe其對應的數(shù)字頻率其對應的數(shù)字頻率1()0.32cps利用序列傅里葉變換擬變換，可求得理想低通濾波器的單利用序列傅里葉變換擬變換，可求得理想低通濾波器的單位沖激響應：位沖激響應：()11( )()22

18、ccjjnjnddhnHeededsin()()cnn7.2 FIR濾波器的窗函數(shù)設計法濾波器的窗函數(shù)設計法(3)由阻帶衰減來確定窗形狀，由過渡帶確定由阻帶衰減來確定窗形狀，由過渡帶確定N由于由于 ，查表可知，選擇海明窗其阻帶最小衰減，查表可知，選擇海明窗其阻帶最小衰減53dB滿足要求。滿足要求。所要求的過渡帶寬所要求的過渡帶寬50sdB0.2sp6.6N由于海明窗過渡帶寬滿足由于海明窗過渡帶寬滿足所以所以6.6133,162NN7.2 FIR濾波器的窗函數(shù)設計法濾波器的窗函數(shù)設計法(4)由海明窗表達式確定由海明窗表達式確定FIR濾波器的濾波器的h(n)。海明窗函數(shù)序列為：海明窗函數(shù)序列為：2( )0.540.46 cos()( )1HamNnwnRnNsi