高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文：淺議高中數(shù)學(xué)解題程序

1、 淺議高中數(shù)學(xué)解題程序摘 要：數(shù)學(xué)解題對于掌握高中數(shù)學(xué)至關(guān)重要，而有效的解題思路是解題成功的關(guān)鍵。本文主要從怎樣解題入手，結(jié)合具體例題，為大家提供了一種解題的套路。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)、解題、有效、程序 現(xiàn)在很多高三學(xué)生，拿到一道數(shù)學(xué)題，尤其是綜合性較強(qiáng)的解答題，往往感覺束手無策，找不到正確、有效的思路，以致數(shù)學(xué)成績很難提高。從高中數(shù)學(xué)學(xué)科的教育與學(xué)習(xí)來看,也就是從掌握高中數(shù)學(xué)來看,著名的美國數(shù)學(xué)家和教育家g.玻利亞指出:“掌握高中數(shù)學(xué)意味著什么?這就是說善于解題,不僅善于解一些標(biāo)準(zhǔn)的題,而且善于解一些要求獨(dú)立思考、思路合理、見解獨(dú)到和有發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的題?！彼^解題程序，是指一個(gè)完整的解題過程中應(yīng)遵循的基

2、本步驟。大體上說，可以把解題的一般程序分為以下幾個(gè)步驟：第一步 仔細(xì)審題，理解題意。即明確已知與目標(biāo)，發(fā)掘題設(shè)內(nèi)涵；第二步 思索解法，擬定計(jì)劃。即探求解題途徑，設(shè)計(jì)解題方案；第三步 實(shí)現(xiàn)計(jì)劃，敘述解法。即進(jìn)行推理計(jì)算，合理清晰表達(dá)；第四步 回顧檢查，討論提高。即查缺補(bǔ)漏反思，總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)。遵循這一程序，可以減少解題的盲目性，預(yù)防因?qū)忣}不周而解法不當(dāng)；預(yù)防因漫無計(jì)劃而瞎碰亂撞；預(yù)防因討論不全而草率作結(jié)。為搞清楚解題的四個(gè)主要步驟，我們不妨從教育學(xué)角度和剖析解題過程的心理活動(dòng)所作出的一張“怎樣解題”表先作一番流覽。 “怎樣解題”表 弄清問題 （1） 未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？滿足條

3、件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？（2） 畫一張圖。引入適當(dāng)?shù)姆?。?） 把條件的各個(gè)部分分開，你能否把它們寫下來？擬定計(jì)劃（1） 你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？（2） 你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？（3） 看著未知數(shù)！試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。（4） 這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且已解決的問題。（5） 你能否利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？（6） 你能不能重新敘述這個(gè)問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？（

4、7） 回到定義去。（8） 如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問題。你能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問題？一個(gè)更特殊的問題？一個(gè)類比的問題？你能否解決這個(gè)問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對未知數(shù)能確定到什么程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？你能不能想出適于確定未知數(shù)的其它數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？（9） 你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個(gè)條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？ 實(shí)現(xiàn)計(jì)劃（1） 實(shí)現(xiàn)你的求解計(jì)劃，檢驗(yàn)每一步驟。（2） 你能否清楚地看出

5、這一步驟是正確的？你能否證明這一步驟是正確的？ 回 顧（1）你能否檢驗(yàn)這個(gè)論證？你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能不能看出它來？（2）你能不能把這結(jié)果或方法用于其它的問題？我們試按解題表來認(rèn)識下題的解題程序。例： 在abc中，a，b，c所對的邊分別是abc,且c=10,p為abc內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)p到頂點(diǎn)abc的距離的平方和的最大值與最小值第一步 理解題意 本題的條件是（i）c=10;(ii) ;(iii) p為abc內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn),（顯然，條件(ii)實(shí)質(zhì)上包含二個(gè)等式）所求的結(jié)論是要求出點(diǎn)p到頂點(diǎn)abc的距離的平方和的最大值與最小值。綜觀之，這是一道關(guān)于圖形的最值問題。第二步 擬定計(jì)劃設(shè)

6、想以前未曾遇到過這個(gè)問題，但曾見過也解過與它密切相關(guān)的兩類問題： 第一，已知三角形中某些邊角之間的數(shù)量關(guān)系，要求判斷這三角形的形狀或解出它。第二，在一確定的三角形中的某曲線上有一動(dòng)點(diǎn)，求這點(diǎn)到三角形頂點(diǎn)或三邊的距離的和或平方的最值。于是原問題可分裂為兩個(gè)較為簡單的問題： abc為abc的三邊，且c=10, ，試確定abc的形狀及其大小。 在確定的abc的內(nèi)切圓上有一動(dòng)點(diǎn)p，試求pa+pb+pc的最大值與最小值。對第小題，abc已具備了三個(gè)條件式，這類問題據(jù)以前的經(jīng)驗(yàn)，只要對數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐扑?，三角形不難解出來，對第小題，在確定了三角形的形狀大小以后，因涉及內(nèi)切圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，擬引入直角坐標(biāo)系，即

7、能利用解析法列出目標(biāo)函數(shù)，其最值也可用一般的代數(shù)三角方法順利求出。至此，一個(gè)比較完整的解題計(jì)劃可以說是已經(jīng)擬定了。第三步 實(shí)現(xiàn)計(jì)劃由，用正弦定理作代換，得，即sinacosa=sinbcosb可得sin2a=sin2b.,知ab，且ab是三角形內(nèi)角，2a=-2b，即a+b=abc是直角三角形。再由c=10, 及a+b=c可得a=6,b=8.如圖11建立直角坐標(biāo)系，使abc的三個(gè)頂點(diǎn)為a（8，0）b(0, 6)，c（0，0）在tabc中，有a+b=c+2r 得r=2, 內(nèi)切圓的圓心o（2，2），方程為（x2）+(y2)=4.設(shè)圓上的任一點(diǎn)為p（x,y）,則有s=+ =(x8)yx(y6)xy =

8、3(x2)(y2)4x76 =884x因p是內(nèi)切圓上的點(diǎn),故0x4,于是當(dāng)x=4時(shí),有s=72,當(dāng)x=0時(shí),有s=88.第四步 回顧討論 對上面解題過程的運(yùn)算檢驗(yàn)無誤后可考慮：x=0時(shí)，p點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到bc邊上的切點(diǎn)m，此時(shí)得所求平方和最大值為88；當(dāng)x=4時(shí)，p點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到過m的直徑的另一端點(diǎn)n，此時(shí)的所求平方和最小值為72. 此外，能否用別的方法來導(dǎo)出結(jié)果呢？對第1小題也可一開始用余弦定理作代換，對第2小題除選擇不同的位置建立坐標(biāo)系外，圓上的動(dòng)點(diǎn)p也可以利用參數(shù)式表示，于是有好幾種解法。（略） 本題雖然是一道不復(fù)雜的綜合題，但善于解題的人也會從中獲得一些有益的經(jīng)驗(yàn)，例如：()如果本題前部分不用正弦或

9、余弦定理作代換，后半部分不使用解析法，雖仍能設(shè)法確定三角形并推導(dǎo)出目標(biāo)函數(shù)，但解題過程的繁復(fù)程度會明顯上升。這說明，對于同樣的題設(shè)條件，選用不同的解題方法其繁簡程度是有顯著區(qū)別的。()從上題的解答中，我們可以認(rèn)識到圖形中的最值常在動(dòng)點(diǎn)位于某些特殊位置時(shí)產(chǎn)生。()使我們看到：注意數(shù)形結(jié)合，使計(jì)算大為簡化，并且更能揭露問題的實(shí)質(zhì)。 波利亞把數(shù)學(xué)問題的求解程序分為四個(gè)步驟；把“怎么解題”中的問題與建議分成了四組。這每一步驟都有其重要性?？赡軙羞@樣的情況：一個(gè)解題者想出了一個(gè)異常好的念頭，于是跳過所有的預(yù)備步驟，答案就脫口而出了，如此幸運(yùn)的念頭當(dāng)然是求之不得的，但是也可能發(fā)生很不如愿和很不走運(yùn)的事，

10、通過上述四個(gè)步驟中的任何一個(gè)步驟都沒有想出好念頭。還有更糟糕的是并沒有理解問題就進(jìn)行推演或作圖。一般說來，在尚未看到主要聯(lián)系或者尚未作出某種計(jì)劃的情況下，去處理細(xì)節(jié)是毫無用處的。我們在實(shí)行其計(jì)劃的過程中檢查每一步，就可以避免許多錯(cuò)誤。如果不去重新檢查，考慮已完成的解答，則可能失去最好效果。 上面這張“怎樣解題”表對規(guī)范解題者的解題程序以及尋求數(shù)學(xué)問題的解決有著極大的幫助。用好這張表，首先要了解這張表，學(xué)習(xí)怎樣正確地運(yùn)用這些問題與建議，并通過試驗(yàn)嘗試，通過應(yīng)用來學(xué)習(xí)、掌握這張表；其次，決不可生搬硬套地運(yùn)用它們，不應(yīng)當(dāng)按照某種刻板的習(xí)慣，不加選擇地提出問題和建議。要準(zhǔn)備各式各樣的問題和建議并作出判斷，根據(jù)具體情況找出特殊的建議。例如，如果我們的問題屬于求證題，提問方式就必須適當(dāng)改變。 前提是什么？結(jié)論是什么？ 把前提的各部分分開。 找出前提與結(jié)論間的聯(lián)系。 看著結(jié)論！試想出一個(gè)相同或相似結(jié)論熟悉定理。 僅僅保持前的一部分，舍去其余部分；這結(jié)論是否仍有效？你能不能從前提導(dǎo)出某些有用的東西？你能不能想出容易導(dǎo)出此結(jié)論的其它前提？如果需要的話，你能不能改變前提，或改變結(jié)論，或者