分析力學的思想

1、分析力學的思想 相對運動概念在應用到自由度數(shù)很大甚至無限大的系統(tǒng)時就會受到限制?？墒侵灰覀兓氐侥欠N不可分割的，整體連續(xù)的表象，只要我們放棄單個物體位置和運動的參數(shù)變化以及為些所必備的坐標系，那么絕對運動和相對運動的對立就被撤消了。對某一宏觀體積中質點的熱運動來說，相對性的概念就沒有什么用途。不過當我們規(guī)定系統(tǒng)的自由度數(shù)不太大，并且可以不間斷地記錄每一質點的位置和速度，那么相對性的概念還可以保持下來。這樣，要是可以把宇宙氣體（不去研究里面?zhèn)€別質點的位置和速度）同連續(xù)介質組成一體的話，牛頓的絕對空間或許就獲得唯理論的意義。當絕對空間具有洛侖茲那種全部充滿空間以太的特征的時候，絕對空間也同樣會獲得

2、唯理論的意義。（盡管已為后來的一系列實驗所駁倒） 就科學思維能力和風格的影響來說只有極少數(shù)的科學發(fā)現(xiàn)可以同廣義坐標方法相提并論。把空間中質點的位置，即古典力學的原始的形象和被當成是多維“空間”的點的系統(tǒng)的位形相對應，從幾何的觀點來說這是在拉格朗日把四維時空引入科學之后所采取的下一個步驟。當達朗貝爾在百科全書【1】的量度一文中寫到他的一些“機敏的熟人”把時間看成是第四維時候，他可能就是指拉格朗日和其他一些人。但是，把第四維的概念引入科學還是當拉格朗日在分析力學中用四維解析幾何的形式闡明古典力學原理之后。也正是由于分析力學才把維空間的觀念引入到科學之中。多維空間的理論由于柯西（Couehy）、凱爾

3、【2】、普留凱爾（Pluker）【3】、黎曼（Reimmsnn），特別是格拉斯曼（Grassmaum）【4】之在廣延性的理論【5】（1844）中的努力在形式化方面得到了很大發(fā)展。這一發(fā)展以新的、有力的研究方法豐富了數(shù)學的內容，使變革幾何學的原理成為可能，同時為相對論，量子力學準備了富有成效的多維幾何學的解釋。 推動這一發(fā)展的首要因素就是拉格朗日把力學系統(tǒng)的狀態(tài)看成是多維空間的點這一天才的設想和促使數(shù)學家繼續(xù)建立形式化理論的觀念，然而，此時不能把物理思想的概念和形式化的理論體系的概念單純地加以對應。從歷史上來說，這種單純地與形式化的理論體系的概念相對應既是十八世紀后半期和十九世紀前半期形式化理論

4、體系物理學從力學和力學概念的發(fā)展中獲得解放的重要前題，有時也是重要的方面，而力學概念的發(fā)展也刺激了這種解放。 拉格朗日研究了由n個質點構成的系統(tǒng)。這些質點的位置用個因子來描述，每因子又由三個數(shù)組成，則位置即被3n個坐標 x1y1z1，x2y2z2，xnynzn 來描述。如果通過具有相應下標的q1，q2，qn 表示上述每個坐標，那么系統(tǒng)的位形就可以用具有3n個坐標q的點來代表，或者說用具有3n個分量的矢量q來代表。這樣，系統(tǒng)從一個位置到另一個位置的變化就可以表示為q點的位移，或表示為具有分量dq1，dq2，dqn的3n維矢量dq。假若系統(tǒng)在三維空間中運動，它的位置的變化可以用3n維的軌跡來代表，

5、而3n維軌跡則是q點位移的結果。 在拉格朗日的力學中，廣義坐標不僅可以是質點系的笛卡爾坐標。而且也可以是描繪該系統(tǒng)位形的任何一種參數(shù)。對一個受到引力或彈性力作用的質點系統(tǒng)來說，每一時刻作用在系統(tǒng)中各點上的力（因而也就是加速度）由廣義坐標所決定。物體的速度不影響加速度，并且當已知系統(tǒng)位形時，速度有可能取不同的值。如果速度可以取不同的數(shù)值，那么，既使已知加速度（即力），下一時刻系統(tǒng)的位形也是不確定的。所以為確定系統(tǒng)在未來每一時刻的行為不僅必須給出已知時刻的坐標，而且還要給出速度。有這兩種量就可以詳盡無遺地描述出系統(tǒng)的狀態(tài)。 狀態(tài)的概念是同古典物理學的基本前提緊密相關的，這一點要引起注意。當我們從原

6、始的、直接給出的、不可分割的混亂的圖景中區(qū)分出個別的物體和運動的時候，我們是把在空間中改變自己位置的物體的一系列自身同一的狀態(tài)認為是某種過程，這是力學最原始的表象。力學之原始形象則是坐標隨時間改變的自身同一的物體。坐標的變化并不能為懷疑運動客體與自身同一提供任何根據(jù)。我們完全完全可以“識別出”在每一個相繼時刻的物體。這一力學的基本前提（運動客體的自身同一性）是以坐標的連續(xù)變化加以保證的。倘若原則上能夠把物體在一個位置和另一位置的間隔上的每一個點都記錄下來，那么就可以斷言出現(xiàn)在我們面前的是同一個物體。物理客體這種個體性（在上述情況下運動客體的個體性）是由每一個接繼的狀態(tài)同已知狀態(tài)的單值的依存關系

7、所保證的，也就是說可以由以下這種可能性所保證；即知道物體在某一時刻的狀態(tài)就可以預見每一個相繼時刻的狀態(tài)（同樣是原則上的）。這樣，所謂狀態(tài)這一概念標志若干物理量的綜合，而這種綜合以單值的形式同每一個相繼時刻的，每一個相似的綜合聯(lián)系在一起。根據(jù)這種狀態(tài)的連續(xù)性和單值的依存關系就可推出運動的微分方程。當已知初始條件時借助此方程就能絕對準確地預言物體以后的全部運動。在把這種關系運用于物體系統(tǒng)時，拉格朗日就把力學系統(tǒng)的個體性和自身同一性這些具有質的特征的概念，翻譯成分析的語言，而這些概念則是由它們和狀態(tài)之單值的連繼的依存關系所保證。引入廣義坐標和廣義速度（公式）后運動微分方程表現(xiàn)出古典機械論的決定論的觀

8、念。 現(xiàn)在我們討論一下為描述或者說為預見系統(tǒng)后繼狀態(tài)所必須的廣義坐標（和廣義速度）的數(shù)目問題。假若系統(tǒng)由一個質點構成，此時廣義坐標和普通坐標一致，即廣義坐標數(shù) f 等于3。若系統(tǒng)有兩個質點，那么需要6個廣義坐標，f=6，即第一個質點要三個普通坐標，第二質點也是三個。若這兩個質點彼此是以不變的距離相聯(lián)系（即有一個約束條件）這時有5個廣義坐標就足夠了。數(shù)f 總等于系統(tǒng)自由度數(shù)。每個質點在三維空間要三個數(shù)，n個質點的自由度數(shù)是3n 減去K個約束條件 f=3nK。給出與廣義坐標數(shù)目相同的廣義速度，不僅可以確定位置，也可以確定系統(tǒng)狀態(tài)。 借助于廣義坐標對任何計算系統(tǒng)都能夠求得運動方程。拉格朗日在引入了函

9、數(shù) （等于封閉系統(tǒng)的動能和勢能之差）之后，得到了運動方程。后來赫姆霍茨稱這個函數(shù)為動勢。用動勢（拉格朗日函數(shù)）把運動方程改寫為下形式：所論系統(tǒng)有多少個自由度（f=3nK），就有多少個拉格朗日方程。 在引入廣義坐標qi 和廣義速度 之后，下一步就是引入廣義動量 pi，它是拉格朗日函數(shù)對廣義速度 的一階導數(shù)。 ， ，等等，pi被叫作廣義動量是因為在笛卡爾坐標系中（q1=x，q2=y，q3=z）它與動量在三個坐標軸上的投影一致。然而它被稱之為廣義動量這是因為例如在極坐標中q1=，q2=，。p1具有動量的量綱，而p2具有動量矩的量綱。 借助于廣義動量可以得到替代f個拉格朗日方程（二階）的2f個一階方程。如果用哈密頓函數(shù)H=T+U代替拉格朗日函數(shù)，這些方程就可以采取極為簡單的對稱形式。 決定論的思想在哈密頓的分析力學中有著更為突出的體現(xiàn)。分析力學注重用完全的數(shù)學方程來描述物質的運動。為了尋求力學體系的的運動規(guī)律，哈密頓提出可以從具有相同、并為約束所許可的許多條可能的運動軌道即S(S為體系的自由度數(shù))維空間曲線中，挑出一條真實軌道，為此可以采用變分法的方法來挑選這一真實軌道。 既然可以從許多約束所許可的軌道中，選出真實軌道，當然也就確定了力學體系沿著這條真實軌道運動式的運動規(guī)律了。拉格朗日方程和哈密頓方程在物理學中特別是在電動力學