曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)課好課件

1、曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)課好曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 課課 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 例題例題 各種積分之間的聯(lián)系各種積分之間的聯(lián)系曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)課好一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容1 1、曲線積分曲線積分（1 1）概念）概念 LdsMf)(第一類第一類第二類第二類 LdxMf,)( LdyMf,)( LdzMf)(（2 2）兩類曲線積分的聯(lián)系）兩類曲線積分的聯(lián)系 sddst0ds)cos,cos,(cos ),(dzdydx 曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)課好（3 3）計(jì)算）計(jì)算直接計(jì)算法直接計(jì)算法第一類：第一類：從從小小參數(shù)到參數(shù)到大大參數(shù)參數(shù)；第二類：第二類：從從起點(diǎn)起點(diǎn)參數(shù)到參數(shù)到終

2、點(diǎn)終點(diǎn)參數(shù)參數(shù)。化為對化為對L L的定位參數(shù)的定積分。的定位參數(shù)的定積分。注意：注意：先化簡；先化簡；間接計(jì)算法間接計(jì)算法用兩類曲線積分的聯(lián)系；用兩類曲線積分的聯(lián)系；用用GreenGreen公式及其推論、公式及其推論、StokesStokes公式公式. .第二類與定向有關(guān)第二類與定向有關(guān)。曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)課好 LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI閉合閉合非閉非閉閉合閉合 DdxdyyPxQI)(非閉非閉補(bǔ)充曲線再用公式補(bǔ)充曲線再用公式基本基本方法方法ttytytxQtxtytxPId)()(),()()(),(: )()(tty

3、ytxx曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)課好2 2、曲面積分曲面積分（1 1）概念）概念 dSMf)(第一類第一類第二類第二類.)( dxdyMf（2 2）兩類曲面積分的聯(lián)系）兩類曲面積分的聯(lián)系,)( dydzMf ,)(dzdxMf SddSn0dS)cos,cos,(cos ),(dxdydzdxdydz 曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)課好（3 3）計(jì)算）計(jì)算直接計(jì)算法直接計(jì)算法第一類：化為對某兩個(gè)直角坐標(biāo)（第一類：化為對某兩個(gè)直角坐標(biāo)（ 的定位參的定位參 數(shù)）的二重積分；數(shù)）的二重積分；第二類：將對第二類：將對x、y的曲面積分化為對的曲面積分化為對x、y的二的二重積分。重積分。注意：注意：先化簡先化簡；間

4、接計(jì)算法間接計(jì)算法用兩類曲面積分的聯(lián)系；用兩類曲面積分的聯(lián)系；用高斯公式。用高斯公式。第二類與定向有關(guān)第二類與定向有關(guān)。曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)課好3 3、Green公式、公式、Gauss公式、公式、Stokes公式公式（1 1）建立了不同維數(shù)積分間的聯(lián)系）建立了不同維數(shù)積分間的聯(lián)系注意：注意： 定向定向。（2 2）公式及其推論在計(jì)算曲線積分、曲）公式及其推論在計(jì)算曲線積分、曲面積分中的應(yīng)用面積分中的應(yīng)用注意：條件。注意：條件。曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)課好例例 1 1 計(jì)計(jì)算算 LdyyxdxxyxI)()2(422, ,其其 中中L為為由由點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(O到到點(diǎn)點(diǎn))1 , 1(A的的曲曲線線

5、xy2sin . . 思路思路: LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI閉合閉合非閉非閉閉合閉合 DdxdyyPxQI)(非閉非閉補(bǔ)充曲線再用公式補(bǔ)充曲線再用公式二、二、例題例題曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)課好解解xyP2 由于由于xxQ2 ,xQyP 有有xyo11A 104102)1(dyydxx故原式故原式.1523 例例 1 1 計(jì)計(jì)算算 LdyyxdxxyxI)()2(422, ,其其 中中L為為由由點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(O到到點(diǎn)點(diǎn))1 , 1(A的的曲曲線線xy2sin . . 曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)課好例例 2 2 計(jì)計(jì)算算 Lxx

6、dymyedxmyyeI)cos()sin(, , L為為由由)0 ,(a到到)0 , 0(的的上上半半圓圓周周0,22 yaxyx. . 解解myeyPx cosyexQxcos xQyP 有有xyo)0 ,(aAMmxQyP 但但 AMOAOAOAOALIdxdy)yPxQ(D 0 Ddxdym.82am 曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)課好在在第第四四卦卦限限部部分分的的上上側(cè)側(cè)為為平平面面，其其中中求求1 C),( ,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例3xyoz111 解解),1 , 1, 1( n的的法法向向量量為為.31cos,3

7、1cos,31cos ),(31xzyxfI dSzyx)(31 dS31方程方程.21 dSzzyxfyzyxf),(31),(231 曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)課好所所截截部部分分外外側(cè)側(cè)被被平平面面為為錐錐面面求求2, 1, 222 zzyxzdxdyzxdzdxydydzI例例4解解 21220rdrrd.215 xyDdxdyyx)(22dxdyzI 2對對稱稱性性41:22 yxDxy曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)課好例例 5 5 求求yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 , , ：曲曲線線)31(01 yxyz繞繞 y 軸軸的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面, , 法法向向量量與與y軸

8、軸正正向向夾夾角角恒恒大大于于2 . . 解解221 xzy 旋轉(zhuǎn)面方程為旋轉(zhuǎn)面方程為 *I dvyyy)4418( *2)31(2dzdx dv zxDdzdx)(16 322 .34 xyzo132 *曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)課好,)(lim)(10 niiiMfdMf .)()(, badxxfdMfbaR 上上區(qū)區(qū)間間.),()(,2 DdyxfdMfDR 上上區(qū)區(qū)域域三、三、 各種積分之間的聯(lián)系各種積分之間的聯(lián)系定積分定積分二重積分二重積分積分概念的聯(lián)系積分概念的聯(lián)系曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)課好 dVzyxfdMfR),()(,3 上上區(qū)區(qū)域域.)()(,32 dsMfdMfRR 上上（

9、有有向向）曲曲線線或或.),()(,3 SdSzyxfdMfSR 上上（有有向向）曲曲面面曲面積分曲面積分曲線積分曲線積分三重積分三重積分.),()( SdxdyzyxfdMf .)()( dxMfdMf 曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)課好計(jì)算上的聯(lián)系計(jì)算上的聯(lián)系)(),(),()()(21面面積積元元素素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdVzyxf)()(),(),(2121),(),( baLdxyxyxfdsyxf21)(,),( baLdxdxxyxfdxyxf)()(,),(投投影影元元素素,),( baDxdydzzyxfdx或或,),

10、(),(),(21 yxzyxzDdzzyxfdxdyxy或或)(體積元素體積元素dV弧長元素）弧長元素）（ds曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)課好 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),( xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR)(,(,),(其中其中dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( dsRQPRdzQdyPdxLL)coscoscos( )(面面積積元元素素dS)(投影元素投影元素dxdy曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)課好理論上的聯(lián)系理論上的聯(lián)系1. 定積分與不定積分的聯(lián)系定積分與不定積分的聯(lián)系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式2. 二重積分與曲線積分的聯(lián)系二重積分與曲線積分的聯(lián)系)( )(的正向的正向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)課好3. 三重積分與曲面積分的聯(lián)系三重積分與曲面積分的聯(lián)系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式4. 曲面積分與曲線積分的聯(lián)系曲面積分與曲線積分的聯(lián)系 dxdy