反比例函數(shù)與幾何圖形的面積(公開課)

1、反比例函數(shù)與幾何圖形的面積新思路教育 教學目標：教學目標： （1 1）理解和掌握反比例函數(shù)）理解和掌握反比例函數(shù) （k0k0）中）中k k的幾何意義的幾何意義 （2 2）能靈活運用函數(shù)圖象和性質(zhì)解決一些較綜合的問題）能靈活運用函數(shù)圖象和性質(zhì)解決一些較綜合的問題教學過程：教學過程： 讓學生自己嘗試在反比例函數(shù)的圖象上任取一點讓學生自己嘗試在反比例函數(shù)的圖象上任取一點P(xP(x、y)y)，過，過P P點分別向點分別向X X軸、軸、Y Y軸作垂線，從而探究求出兩垂線與軸作垂線，從而探究求出兩垂線與坐標軸形成的矩形的面積及三角形的面積，從而探究所形坐標軸形成的矩形的面積及三角形的面積，從而探究所形成

2、的矩形與三角形的面積與成的矩形與三角形的面積與k k的關系。的關系。xky 教學重、難點：教學重、難點： （1 1）重點：理解并掌握反比例函數(shù)中）重點：理解并掌握反比例函數(shù)中k k的幾何意義；并的幾何意義；并能利用它們解決一些綜合問題能利用它們解決一些綜合問題 （2 2）難點：學會從圖象上分析、解決問題）難點：學會從圖象上分析、解決問題學情分析：學情分析： （1 1）知識基礎：本節(jié)課學習前，學生已經(jīng)具有了函數(shù)概）知識基礎：本節(jié)課學習前，學生已經(jīng)具有了函數(shù)概念的知識積累，在上一節(jié)課的學習中，學生已經(jīng)掌握了反念的知識積累，在上一節(jié)課的學習中，學生已經(jīng)掌握了反比例函數(shù)的概念。比例函數(shù)的概念。 （2

3、2）學習方法：學生已經(jīng)積累的學習函數(shù)的方法有：畫）學習方法：學生已經(jīng)積累的學習函數(shù)的方法有：畫圖象，觀察圖像歸納函數(shù)性質(zhì)，了解函數(shù)變化規(guī)律和函數(shù)圖象，觀察圖像歸納函數(shù)性質(zhì)，了解函數(shù)變化規(guī)律和函數(shù)的變換趨勢等，通過設置問題讓學生自主探究。的變換趨勢等，通過設置問題讓學生自主探究。反比例函數(shù)中反比例函數(shù)中“k”k”的幾何意義的幾何意義x xy yO O如圖，是如圖，是y=6/xy=6/x的圖象，點的圖象，點P P是圖象上的一個動點。是圖象上的一個動點。1 1、若、若P(1P(1，y)y)，則四邊形，則四邊形OAPBOAPB的面積的面積_P P(1,y)(1,y)B BB BA AA AA AB B

4、A AP P(5,y)(5,y)P P(3,y)(3,y)2 2、若、若P(3P(3，y)y)，則四邊形，則四邊形OAPBOAPB的面積的面積_6663 3、若、若P(5P(5，y)y)，則四邊形，則四邊形OAPBOAPB的面積的面積_結論：從雙曲線上任意一點向結論：從雙曲線上任意一點向x x、y y軸分別作垂線段，兩軸分別作垂線段，兩條垂線段與兩坐標軸所圍成的長方形的面積條垂線段與兩坐標軸所圍成的長方形的面積= =k.想一想：若想一想：若P(xP(x，y)y)，則四邊形，則四邊形OAPBOAPB的面積的面積_6反比例函數(shù)與矩形面積 例例1. 1. 如圖，如圖，P P是反比例函數(shù)的圖象上一點，

5、過是反比例函數(shù)的圖象上一點，過P P點分別向點分別向x x軸、軸、y y軸作垂線，所得到的圖中陰影部分的面積為軸作垂線，所得到的圖中陰影部分的面積為6 6，求，求這個反比例函數(shù)的解析式。這個反比例函數(shù)的解析式。 解：解：設設P P點的坐標為（點的坐標為（x,y),x,y), 則則OA=x,AP=-yOA=x,AP=-y 矩形矩形OAPBOAPB的面積的面積S=6S=6 OA OAAP=6AP=6，即，即-xy=6-xy=6 這個反比例函數(shù)關系式為：這個反比例函數(shù)關系式為： P(x,y)Aoyx Bxy6思考：如果去掉上題圖，將陰影部分的面積改為思考：如果去掉上題圖，將陰影部分的面積改為“過過P

6、點的點的垂線和兩坐標軸所圍成的矩形的面積為垂線和兩坐標軸所圍成的矩形的面積為6”，本題該如何解，本題該如何解決？決？P(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB).( |,)2(如圖所示如圖所示則則垂足分別為垂足分別為軸的垂線軸的垂線軸軸分別作分別作過過矩形矩形knmAPOASBAyxPOAPB過反比例函數(shù)圖象上任一點過反比例函數(shù)圖象上任一點P P分別作分別作x x軸、軸、y y軸的垂線，垂足軸的垂線，垂足分別為分別為A,BA,B，它們與坐標軸形成的，它們與坐標軸形成的矩形面積矩形面積是是不變的。不變的?？偨Y：總結：k的絕對值的幾何意義的絕對值的幾何意義 推廣：反比例函數(shù)與三角形面積 例例2.

7、 2. 如圖，點如圖，點A A在反比例函數(shù)在反比例函數(shù) 圖象上，圖象上，ABAB垂直于垂直于x x軸，垂足為軸，垂足為B.B.求求OABOAB的面積。的面積。 解解：設設A A點坐標為（點坐標為（x x，y y），），點點A A在在 圖象上圖象上xy=-8xy=-8，xyxy=8=8 421|2121xyyxABOBSAOBxy8BoyxAxy8|21|2121knmAPOASOAPP(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx則則垂垂足足為為軸軸的的垂垂線線作作過過有有上上任任意意一一點點是是雙雙曲曲線線設設,) 1 (:,)0(),(AxPkxkynmP過P作x軸的垂線，垂足為A,則它與坐標軸形

8、成的三角形的面積是不變的，為：總結：總結：k的絕對值的幾何意義的推廣的絕對值的幾何意義的推廣PDoyx1.1.如圖如圖, ,點點P P是反比例函數(shù)是反比例函數(shù) 圖象上的圖象上的一點一點,PDx,PDx軸于軸于D.D.則則PODPOD的面積為的面積為 . .xy21 12.2.如圖如圖, ,點點P P是反比例函數(shù)圖象上的一點是反比例函數(shù)圖象上的一點, ,過點過點P P分別向分別向x x軸、軸、y y軸作垂線軸作垂線, ,若陰影部分面積為若陰影部分面積為1,1,則這個反比例則這個反比例函數(shù)的關系式是函數(shù)的關系式是 . .PDoyxPyxOCxy22KS SK的面積不變性的面積不變性 (0)kykx

9、(0)2kk(0)k k 注意：注意：（1 1）面積與面積與P P的位置無關的位置無關（2）當）當k符號不確定的情況符號不確定的情況下須下須分類討論分類討論PQ0 xy）（yx,P0 xy）（yx,規(guī)律總結規(guī)律總結 3、在雙曲線、在雙曲線 上上任一點分別作任一點分別作x軸、軸、y軸的垂線段，軸的垂線段，與與x軸軸y軸圍成矩形面積為軸圍成矩形面積為12，求函，求函數(shù)解析式數(shù)解析式_。xky (X0)(X0)yxOxy12xy12或或A._,)0(1,. 4321111111則有面積分別為的記邊結三點軸于交軸引垂線經(jīng)過三點分別向的圖像上有三點在如圖SSSOCCOBBOAAOCOBOACBAxxCB

10、AxxyA.S1 = S2 = S3 B. S1 S2 S3 C. S3 S1 S2 S3 BA1oyxACB1C1S1S3S2AoyxBS1S2xy35、如圖，如圖，A,B是雙曲線是雙曲線 上的點，分別經(jīng)過上的點，分別經(jīng)過A,B兩點向兩點向X軸、軸、y軸作垂線段，若軸作垂線段，若 .211SSS，則陰影4Oyxs1s2 如圖如圖, ,點點P P、Q Q是反比例函數(shù)圖象上的兩點是反比例函數(shù)圖象上的兩點, ,過過點點P P、Q Q分別向分別向x x軸、軸、y y軸作垂線軸作垂線, ,則則S S1 1( (黃色三角形）黃色三角形）S S2 2( (綠色三角形）的面積大小關系是：綠色三角形）的面積大

11、小關系是：S1 _ _ S2. .PQ=綜合提高：綜合提高：xyOP1P2P3P41234如圖，在反比例函數(shù)如圖，在反比例函數(shù) 的圖象上，有點的圖象上，有點，它們的橫坐標依次為，它們的橫坐標依次為1，2，3，4分別過這些點作分別過這些點作 軸與軸與 軸的垂線，圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次為軸的垂線，圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次為 ，則，則1234PPPP， ， ，xy2yx（x0)123SSS， ，123SSS （x0)2yx3216思考：思考：1.你能求出你能求出S2和和S3的值嗎？的值嗎？132.S1呢？呢？1 如圖，已知正方形如圖，已知正方形OABCOABC的面積為的

12、面積為9 9，點，點O O為坐標為坐標原點，點原點，點A A在在x x軸上，點軸上，點C C在在y y軸上，點軸上，點B B在函數(shù)在函數(shù)y=k/xy=k/x的圖象上，點的圖象上，點P(m,n) P(m,n) 是圖象上任意一點，過點是圖象上任意一點，過點 P P分別作分別作x x軸，軸，y y軸的垂線，垂足分別為軸的垂線，垂足分別為E, FE, F， 拓拓展展提提高高若設矩形若設矩形OEPF和正和正方形方形OABC不重合部不重合部分的面積為分的面積為S，寫出，寫出S關于關于m的函數(shù)關的函數(shù)關 系系式式總結提高總結提高一個性質(zhì)：反比例函數(shù)的一個性質(zhì)：反比例函數(shù)的面積不變性面積不變性兩種思想：兩種思

13、想：分類討論分類討論和和數(shù)形結合數(shù)形結合練習：（20102010湖北孝感）湖北孝感） 如圖，點如圖，點A A在雙曲線在雙曲線 上，點上，點B B在雙曲線在雙曲線 上，且上，且ABxABx軸，軸，C C、D D在在x x軸上，若四邊形軸上，若四邊形ABCDABCD為矩形，則它的為矩形，則它的面積為面積為 . .2.2.如圖，過反比例函數(shù)如圖，過反比例函數(shù) 的圖象上任意的圖象上任意兩點兩點A A、B B分別作分別作x x軸的垂線，垂足分別為軸的垂線，垂足分別為C C、D D，連結連結OAOA、OBOB。設。設ACAC與與OBOB的交點為的交點為E E， 與與梯形梯形ECDBECDB的面積分別為的面積分別為S1S1、S2S2，比較它們的，比較它們的大小，可得（大小，可得（ ） A. A. B. C. D. B. C. D. 大小關系不能確定大小關系不能確定1yx3yxyxx10()AOESS12SS12SS12E3.3.如圖，如圖，A A、B B是函數(shù)是函數(shù) 的圖象上關于原點的圖象上關于原點O O對稱的任意兩點，對稱的任意兩點，ACAC平行于平行于y y軸，軸，BCBC平行于平行于x x軸，軸， 的面積為的面積為S S，則（，則（ ） A.