反比例函數(shù)與幾何圖形的面積(公開課)

1、反比例函數(shù)與幾何圖形的面積新思路教育 教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)目標(biāo)： （1 1）理解和掌握反比例函數(shù)）理解和掌握反比例函數(shù) （k0k0）中）中k k的幾何意義的幾何意義 （2 2）能靈活運(yùn)用函數(shù)圖象和性質(zhì)解決一些較綜合的問題）能靈活運(yùn)用函數(shù)圖象和性質(zhì)解決一些較綜合的問題教學(xué)過程：教學(xué)過程： 讓學(xué)生自己嘗試在反比例函數(shù)的圖象上任取一點(diǎn)讓學(xué)生自己嘗試在反比例函數(shù)的圖象上任取一點(diǎn)P(xP(x、y)y)，過，過P P點(diǎn)分別向點(diǎn)分別向X X軸、軸、Y Y軸作垂線，從而探究求出兩垂線與軸作垂線，從而探究求出兩垂線與坐標(biāo)軸形成的矩形的面積及三角形的面積，從而探究所形坐標(biāo)軸形成的矩形的面積及三角形的面積，從而探究所形成

2、的矩形與三角形的面積與成的矩形與三角形的面積與k k的關(guān)系。的關(guān)系。xky 教學(xué)重、難點(diǎn)：教學(xué)重、難點(diǎn)： （1 1）重點(diǎn)：理解并掌握反比例函數(shù)中）重點(diǎn)：理解并掌握反比例函數(shù)中k k的幾何意義；并的幾何意義；并能利用它們解決一些綜合問題能利用它們解決一些綜合問題 （2 2）難點(diǎn)：學(xué)會(huì)從圖象上分析、解決問題）難點(diǎn)：學(xué)會(huì)從圖象上分析、解決問題學(xué)情分析：學(xué)情分析： （1 1）知識(shí)基礎(chǔ)：本節(jié)課學(xué)習(xí)前，學(xué)生已經(jīng)具有了函數(shù)概）知識(shí)基礎(chǔ)：本節(jié)課學(xué)習(xí)前，學(xué)生已經(jīng)具有了函數(shù)概念的知識(shí)積累，在上一節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了反念的知識(shí)積累，在上一節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了反比例函數(shù)的概念。比例函數(shù)的概念。 （2

3、2）學(xué)習(xí)方法：學(xué)生已經(jīng)積累的學(xué)習(xí)函數(shù)的方法有：畫）學(xué)習(xí)方法：學(xué)生已經(jīng)積累的學(xué)習(xí)函數(shù)的方法有：畫圖象，觀察圖像歸納函數(shù)性質(zhì)，了解函數(shù)變化規(guī)律和函數(shù)圖象，觀察圖像歸納函數(shù)性質(zhì)，了解函數(shù)變化規(guī)律和函數(shù)的變換趨勢(shì)等，通過設(shè)置問題讓學(xué)生自主探究。的變換趨勢(shì)等，通過設(shè)置問題讓學(xué)生自主探究。反比例函數(shù)中反比例函數(shù)中“k”k”的幾何意義的幾何意義x xy yO O如圖，是如圖，是y=6/xy=6/x的圖象，點(diǎn)的圖象，點(diǎn)P P是圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。是圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。1 1、若、若P(1P(1，y)y)，則四邊形，則四邊形OAPBOAPB的面積的面積_P P(1,y)(1,y)B BB BA AA AA AB B

4、A AP P(5,y)(5,y)P P(3,y)(3,y)2 2、若、若P(3P(3，y)y)，則四邊形，則四邊形OAPBOAPB的面積的面積_6663 3、若、若P(5P(5，y)y)，則四邊形，則四邊形OAPBOAPB的面積的面積_結(jié)論：從雙曲線上任意一點(diǎn)向結(jié)論：從雙曲線上任意一點(diǎn)向x x、y y軸分別作垂線段，兩軸分別作垂線段，兩條垂線段與兩坐標(biāo)軸所圍成的長(zhǎng)方形的面積條垂線段與兩坐標(biāo)軸所圍成的長(zhǎng)方形的面積= =k.想一想：若想一想：若P(xP(x，y)y)，則四邊形，則四邊形OAPBOAPB的面積的面積_6反比例函數(shù)與矩形面積 例例1. 1. 如圖，如圖，P P是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，

5、過是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，過P P點(diǎn)分別向點(diǎn)分別向x x軸、軸、y y軸作垂線，所得到的圖中陰影部分的面積為軸作垂線，所得到的圖中陰影部分的面積為6 6，求，求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式。這個(gè)反比例函數(shù)的解析式。 解：解：設(shè)設(shè)P P點(diǎn)的坐標(biāo)為（點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y),x,y), 則則OA=x,AP=-yOA=x,AP=-y 矩形矩形OAPBOAPB的面積的面積S=6S=6 OA OAAP=6AP=6，即，即-xy=6-xy=6 這個(gè)反比例函數(shù)關(guān)系式為：這個(gè)反比例函數(shù)關(guān)系式為： P(x,y)Aoyx Bxy6思考：如果去掉上題圖，將陰影部分的面積改為思考：如果去掉上題圖，將陰影部分的面積改為“過過P

6、點(diǎn)的點(diǎn)的垂線和兩坐標(biāo)軸所圍成的矩形的面積為垂線和兩坐標(biāo)軸所圍成的矩形的面積為6”，本題該如何解，本題該如何解決？決？P(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB).( |,)2(如圖所示如圖所示則則垂足分別為垂足分別為軸的垂線軸的垂線軸軸分別作分別作過過矩形矩形knmAPOASBAyxPOAPB過反比例函數(shù)圖象上任一點(diǎn)過反比例函數(shù)圖象上任一點(diǎn)P P分別作分別作x x軸、軸、y y軸的垂線，垂足軸的垂線，垂足分別為分別為A,BA,B，它們與坐標(biāo)軸形成的，它們與坐標(biāo)軸形成的矩形面積矩形面積是是不變的。不變的?？偨Y(jié)：總結(jié)：k的絕對(duì)值的幾何意義的絕對(duì)值的幾何意義 推廣：反比例函數(shù)與三角形面積 例例2.

7、 2. 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A A在反比例函數(shù)在反比例函數(shù) 圖象上，圖象上，ABAB垂直于垂直于x x軸，垂足為軸，垂足為B.B.求求OABOAB的面積。的面積。 解解：設(shè)設(shè)A A點(diǎn)坐標(biāo)為（點(diǎn)坐標(biāo)為（x x，y y），），點(diǎn)點(diǎn)A A在在 圖象上圖象上xy=-8xy=-8，xyxy=8=8 421|2121xyyxABOBSAOBxy8BoyxAxy8|21|2121knmAPOASOAPP(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx則則垂垂足足為為軸軸的的垂垂線線作作過過有有上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)是是雙雙曲曲線線設(shè)設(shè),) 1 (:,)0(),(AxPkxkynmP過P作x軸的垂線，垂足為A,則它與坐標(biāo)軸形

8、成的三角形的面積是不變的，為：總結(jié)：總結(jié)：k的絕對(duì)值的幾何意義的推廣的絕對(duì)值的幾何意義的推廣PDoyx1.1.如圖如圖, ,點(diǎn)點(diǎn)P P是反比例函數(shù)是反比例函數(shù) 圖象上的圖象上的一點(diǎn)一點(diǎn),PDx,PDx軸于軸于D.D.則則PODPOD的面積為的面積為 . .xy21 12.2.如圖如圖, ,點(diǎn)點(diǎn)P P是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn), ,過點(diǎn)過點(diǎn)P P分別向分別向x x軸、軸、y y軸作垂線軸作垂線, ,若陰影部分面積為若陰影部分面積為1,1,則這個(gè)反比例則這個(gè)反比例函數(shù)的關(guān)系式是函數(shù)的關(guān)系式是 . .PDoyxPyxOCxy22KS SK的面積不變性的面積不變性 (0)kykx

9、(0)2kk(0)k k 注意：注意：（1 1）面積與面積與P P的位置無關(guān)的位置無關(guān)（2）當(dāng)）當(dāng)k符號(hào)不確定的情況符號(hào)不確定的情況下須下須分類討論分類討論P(yáng)Q0 xy）（yx,P0 xy）（yx,規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié) 3、在雙曲線、在雙曲線 上上任一點(diǎn)分別作任一點(diǎn)分別作x軸、軸、y軸的垂線段，軸的垂線段，與與x軸軸y軸圍成矩形面積為軸圍成矩形面積為12，求函，求函數(shù)解析式數(shù)解析式_。xky (X0)(X0)yxOxy12xy12或或A._,)0(1,. 4321111111則有面積分別為的記邊結(jié)三點(diǎn)軸于交軸引垂線經(jīng)過三點(diǎn)分別向的圖像上有三點(diǎn)在如圖SSSOCCOBBOAAOCOBOACBAxxCB

10、AxxyA.S1 = S2 = S3 B. S1 S2 S3 C. S3 S1 S2 S3 BA1oyxACB1C1S1S3S2AoyxBS1S2xy35、如圖，如圖，A,B是雙曲線是雙曲線 上的點(diǎn)，分別經(jīng)過上的點(diǎn)，分別經(jīng)過A,B兩點(diǎn)向兩點(diǎn)向X軸、軸、y軸作垂線段，若軸作垂線段，若 .211SSS，則陰影4Oyxs1s2 如圖如圖, ,點(diǎn)點(diǎn)P P、Q Q是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn), ,過過點(diǎn)點(diǎn)P P、Q Q分別向分別向x x軸、軸、y y軸作垂線軸作垂線, ,則則S S1 1( (黃色三角形）黃色三角形）S S2 2( (綠色三角形）的面積大小關(guān)系是：綠色三角形）的面積大

11、小關(guān)系是：S1 _ _ S2. .PQ=綜合提高：綜合提高：xyOP1P2P3P41234如圖，在反比例函數(shù)如圖，在反比例函數(shù) 的圖象上，有點(diǎn)的圖象上，有點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，4分別過這些點(diǎn)作分別過這些點(diǎn)作 軸與軸與 軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為 ，則，則1234PPPP， ， ，xy2yx（x0)123SSS， ，123SSS （x0)2yx3216思考：思考：1.你能求出你能求出S2和和S3的值嗎？的值嗎？132.S1呢？呢？1 如圖，已知正方形如圖，已知正方形OABCOABC的面積為的

12、面積為9 9，點(diǎn)，點(diǎn)O O為坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)原點(diǎn)，點(diǎn)A A在在x x軸上，點(diǎn)軸上，點(diǎn)C C在在y y軸上，點(diǎn)軸上，點(diǎn)B B在函數(shù)在函數(shù)y=k/xy=k/x的圖象上，點(diǎn)的圖象上，點(diǎn)P(m,n) P(m,n) 是圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)是圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn) P P分別作分別作x x軸，軸，y y軸的垂線，垂足分別為軸的垂線，垂足分別為E, FE, F， 拓拓展展提提高高若設(shè)矩形若設(shè)矩形OEPF和正和正方形方形OABC不重合部不重合部分的面積為分的面積為S，寫出，寫出S關(guān)于關(guān)于m的函數(shù)關(guān)的函數(shù)關(guān) 系系式式總結(jié)提高總結(jié)提高一個(gè)性質(zhì)：反比例函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：反比例函數(shù)的面積不變性面積不變性兩種思想：兩種思

13、想：分類討論分類討論和和數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合練習(xí)：（20102010湖北孝感）湖北孝感） 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A A在雙曲線在雙曲線 上，點(diǎn)上，點(diǎn)B B在雙曲線在雙曲線 上，且上，且ABxABx軸，軸，C C、D D在在x x軸上，若四邊形軸上，若四邊形ABCDABCD為矩形，則它的為矩形，則它的面積為面積為 . .2.2.如圖，過反比例函數(shù)如圖，過反比例函數(shù) 的圖象上任意的圖象上任意兩點(diǎn)兩點(diǎn)A A、B B分別作分別作x x軸的垂線，垂足分別為軸的垂線，垂足分別為C C、D D，連結(jié)連結(jié)OAOA、OBOB。設(shè)。設(shè)ACAC與與OBOB的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為E E， 與與梯形梯形ECDBECDB的面積分別為的面積分別為S1S1、S2S2，比較它們的，比較它們的大小，可得（大小，可得（ ） A. A. B. C. D. B. C. D. 大小關(guān)系不能確定大小關(guān)系不能確定1yx3yxyxx10()AOESS12SS12SS12E3.3.如圖，如圖，A A、B B是函數(shù)是函數(shù) 的圖象上關(guān)于原點(diǎn)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)O O對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，ACAC平行于平行于y y軸，軸，BCBC平行于平行于x x軸，軸， 的面積為的面積為S S，則（，則（ ） A.