數(shù)學(xué)分析課件第四章不定積分

1、 第四章第四章 不定積分不定積分定義定義. 設(shè)設(shè) 在在 有定義有定義. 若若 ( )yF x ( )yF x ( )yf x ( , )a b/( )( ) ,Fxf x ( , ),xa b ( )yf x ( , )a b( , )a b1 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分1. 原函數(shù)原函數(shù)則稱則稱 是是 在在 的一個(gè)原函的一個(gè)原函數(shù)數(shù).在在 可微可微, 且且定理定理1.1. 若若 是是 的一個(gè)原函的一個(gè)原函( )yF x ( )yf x 數(shù)數(shù), 則對(duì)任意一個(gè)常數(shù)則對(duì)任意一個(gè)常數(shù) , 都是都是C( )yF xC 的原函數(shù)的原函數(shù).( )yf x 定理定理1.2. 若若 , 都是都是( )y

2、F x ( )yG x ( )yf x 的原函數(shù)的原函數(shù), 則存在常數(shù)則存在常數(shù) , 使得使得C( )( ),F xG xC ( , )xa b .注注. 只要知道一個(gè)只要知道一個(gè) 在在 的原函數(shù)的原函數(shù),( )yf x ( , )a b就得到一切原函數(shù)就得到一切原函數(shù).例例1. 求求 的所有原函數(shù)的所有原函數(shù).sinyx 定義定義. 在某個(gè)區(qū)間的原函數(shù)的一般形在某個(gè)區(qū)間的原函數(shù)的一般形( )yf x 式式 , 稱作稱作 的不定積分的不定積分, 記作記作( )F xC ( )yf x ( ),f x dx 其中其中 稱作被積函數(shù)稱作被積函數(shù).( )f x注注.sincosxdxxC 例例2.

3、求求 cosxexx dx 2. 基本不定積分表基本不定積分表 基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)表的逆基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)表的逆注注. 不定積分與某個(gè)區(qū)間有關(guān)不定積分與某個(gè)區(qū)間有關(guān). 公式表中所對(duì)公式表中所對(duì) 應(yīng)的區(qū)間應(yīng)的區(qū)間, 可以取成落在被積函數(shù)定義域可以取成落在被積函數(shù)定義域 內(nèi)的任何一個(gè)區(qū)間內(nèi)的任何一個(gè)區(qū)間.注注.lndxxCx 1 1注注.arccotdxxCx 2 21 11 1同時(shí)同時(shí)arctandxxCx 2 21 11 1注意到注意到arctanarccotxx 2 23. 不定積分的線性法則不定積分的線性法則定理定理1.3. ( )( )af xbg xdx ( )( ),af x dxb g

4、 x dx 其中其中 是任意常數(shù)是任意常數(shù), 不全為不全為 .,a b0 0注注.兩個(gè)任意常數(shù)的線性組合仍是任意常數(shù)兩個(gè)任意常數(shù)的線性組合仍是任意常數(shù).例例3. 求求 cosxxex dx 2 23 34 45 5例例4. 求求 sincosxx dx 2 2例例5. 求求sinsinxxdx 3 3例例6. 求求xdxxx 5 52 22 24 46 61 11 14. 求不定積分的意義求不定積分的意義注注. 解微分方程解微分方程例例7. 已知已知 在任意一點(diǎn)在任意一點(diǎn) 處的切線斜處的切線斜( )yf x x率為率為 , 且過(guò)且過(guò) , 求該曲線的方程求該曲線的方程.x2 2( , )3 23

5、 2注注./( )( )( )fx dxdf xf xC ( )( )df x dxf x dx 2 不定積分的換元法則不定積分的換元法則1. 第一換元法則第一換元法則已知已知 , 又設(shè)又設(shè) 是可微函數(shù)是可微函數(shù),/( )( )Fuf u ( )uu x 則則/( ( )( )( ( ).f u xu x dxF u xC 另一種形式另一種形式( ( )( )( ( ).f u x du xF u xC 注注. 也稱湊微分法也稱湊微分法.例例1. 求求xxe dx 2 2例例2. 求求sin()xdx 3 32 2例例3. 求求例例4. 求求例例5. 求求思考題思考題. 求求tan xdx d

6、xax 2222()a 0 0sindxx cosdxx 2. 第二換元法則第二換元法則作變換作變換( )xt ,( )f x dx ( )( )F tCFxC 1 1其中其中 是是 的原函數(shù)的原函數(shù).( )F t/( ( )( )ftt 基本思想基本思想. 通過(guò)換元通過(guò)換元 , 使得使得 換成換成( )xt ( )f x/( ( )( )ftt , 而后者容易找到原函數(shù)而后者容易找到原函數(shù)./( ( )( )ftt dt ( ( )( )ft dt 例例6. 求求ax dx 2222()a 0 0例例7. 求求dxax 2222()a 0 0例例8. 求求dxxa 2222()a 0 0注注

7、.lndxxxaCxa 2 22 22 22 2arcsindxxCaax 2222例例9. 求求dxx 3 32 23 分部積分公式分部積分公式/( )( )( ) ( )( ) ( )u x vx dxu x v xu x v x dx 稱作分部積分公式稱作分部積分公式. 也記作也記作( )( )( ) ( )( )( )u x dv xu x v xv x du x 例例1. 求求lnxxdx 例例2. 求求arctanxxdx 2 2例例3. 求求xx e dx 2 2例例4. 求求sinxexdx 3 3例例5. 求求()ndxxa 2222()a 0 0注注. 并非所有初等函數(shù)的原

8、函數(shù)都是初等函數(shù)并非所有初等函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).,xedx 2 2sin,x dx 2 2cos,x dx 2 2sin,kxdx 22221 1sin,xdxx cos,xdxx ,lndxx 1 1.sindxkx 2 22 21 1思考題思考題.,AxBdxxa 2222,AxBdxax 2222,AxBdxxx 2 2(),AxBxxdx 2 2sin,nxdx cos.nxdx 4 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)1. 有理式和部分分式有理式和部分分式給定給定( )( )( )q xR xp x ,( )p x,( )q x是

9、多項(xiàng)式是多項(xiàng)式. 設(shè)設(shè)( )() ,nnnp xa xa xaa 1 10 01 10 00 0( )().mmnq xb xb xb b 1 10 01 10 00 0若若 , 則稱則稱 是真分式是真分式.mn ( )R x若若 , 則稱則稱 是假分式是假分式. mn ( )R x若若 是假分式是假分式, 則則( )( )( )q xR xp x ( )( )( )( )q xR xpxp x 1 10 0其中其中 是多項(xiàng)式是多項(xiàng)式, 是真分式是真分式.( )px0 0( )( )q xp x1 1部分分式是形如部分分式是形如,Ax ,()nAx ,BxCxx 2 2()nBxCxx 2 2

10、() 2 24 40 0的真分式的真分式.真分式可以分解成若干個(gè)部分分式之和真分式可以分解成若干個(gè)部分分式之和.真分式真分式 分解成部分分式之和的步驟分解成部分分式之和的步驟(1)其中其中 對(duì)應(yīng)的部分分式為對(duì)應(yīng)的部分分式為( )( )q xp x( )()()lmmlp xaxx1 10101()()knnkkxxxx 1 12 22 21 11 1(, ).jjjk2 2401401()jmjx ()()jjjjjmmjjjAAAxxx 1 12 22 2 對(duì)應(yīng)的部分分式為對(duì)應(yīng)的部分分式為(3) 求出系數(shù)求出系數(shù)()jnjjxx 2 2()()jjjjjjjjjjjjjnnnjjB xCB

11、xCxxxxB xCxx 1 11 12 22 22 22 22 22 2例例1. 將將 表示成部分分式之和表示成部分分式之和.例例2. 將將 表示成部分分式之和表示成部分分式之和.例例3. 將將 表示成部分分式之和表示成部分分式之和.例例4. 將將 表示成部分分式之和表示成部分分式之和.xxxx 323223232 2()xx x 3 33 31 11 1xx 3 34 4()xxx x 323222222 22 22. 部分分式的不定積分部分分式的不定積分lnAdxAxCx ()()nnAAdxxCnx 1 11 1()n 1 1BxCdxxx 2 2lnarctanBCxBxxC2 22

12、22222222 24444其中其中 ， .利用上節(jié)例利用上節(jié)例5的遞推公式即可的遞推公式即可.()nBxCdxxx 2 2()nBxxn 21211 12 12 1()nBdtCta 2 22 22 2tx 2 2a 2 24 4例例5. 求求xdxxxx 3 32 22 23 32 2例例6. 求求()xdxx x 3 33 31 11 1例例7. 求求dxxx 3 34 4例例8. 求求()xxdxx x 323222222 22 25 不定積分的有理化方法不定積分的有理化方法1. 三角函數(shù)的有理式三角函數(shù)的有理式若若 , 是關(guān)于是關(guān)于 , 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式,(,)P X Y(,)Q X YX Y(,)(,)(,)Q X YR X YP X Y 稱為關(guān)于稱為關(guān)于 , 的有理式的有理式.XY三角函數(shù)的有理式是指三角函數(shù)的有理式是指(cos ,sin ).Rxx令令 ,tanxt 2 2則則,dxdtt 2 22 21 1sin,txt 2 22 21 1cos,txt 2 22 21 11 1(sin ,cos ),ttRxx dxRdtttt 2 22 22 22 22 21 12