直線與圓錐曲線切線問題

1、直線與圓錐曲線一切線問題1、如圖，過點D(0, 一2)作拋物線x2 =2 py(p 0)的切線1,切點A在第二象限. (I )求切點A的縱坐標(biāo)；(II)若離心率為 立的橢圓 丘+掘 =l(a b0)恰好經(jīng)2a2 b2過切點A,設(shè)切線1交橢圓的另一點為 B,記切線1 , OA, OB的斜率分別為k, ki , k?,若ki+ =2k2 4k ,求橢圓方程.二斫,2p解：(I )設(shè)切點/?)且A xo yo yo=JL.由切線1的斜率為k 0，P=X-得1的方程為y 0x xo?,又點D(0,=P 2 pyo 25 分(n 2(I)得 A(-2/7,2),切線斜率 *2)在1上，-X0 22PA的

2、縱坐標(biāo)設(shè)B(xi，yi ),切線方程為y kx 2 ,由所以橢圓方程為4b2X2X0kx 2=+ = (1 4y2 4b 2+xiX0 XI二6k1 4k216一伯+1 4k2+ki 2k2廠Jre 324b 2,2),飛2 = p+4+產(chǎn)=1 ,且過A(_ b24k 2) x 216 kx 164b20 ,11分+ + = F + Tyi =2x0 yi = xi (kxo2) 2 xo (kxi 2) =_ 2x13k+4x oxo XIX0 XIX0 XIX0 XI3k2(X1X0)2X03kX0 XI”車L - 7_ 4 p16；4b 214k2將k=_孑,b2 =p+ 4代入得:PX

3、 2+ J?=橢圓方程為 一1.所以 b2 36,a 215分144362-橢圓一十出=1 （ ab0）的一個焦點為 F為（1,0 ）,已知橢圓的短軸的兩個三等分點 a 2 b2與一個焦點構(gòu)成正三角形（1）求橢圓方程（2）設(shè)P是直線x=4上一動點，過P作橢圓的兩切線 PA、PB,切點為A, B.求證：直線AB過定點，并求出該定點坐標(biāo)。也+yyo 1- 143一設(shè),切點.（則以八口為切點的橢圓的切線方程分別為(3)P(4 t：),A(x1 , yi ),B x 2, y2),A dXXI.221XX2yy2,又點在兩切線上，所以：4+ 3=1 4 +3=1, P4xityi-+ 4x2ty2所以

4、直線AB的方程為：43434x+理t即:一y_ ）,所以直線AB恒過定點（1,0）4333已知拋物線Ci： xLy,圓C2： x2+（y-4） 2=1的圓心為 點M （ I ）求點M到拋物線C1的準(zhǔn) 線的距離；（II）已知點P是拋物線Ci上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線 Ci于A, B兩點，若過M, P兩點的直線1垂直于AB,求直線1的方程.顯呂方張初細含力M分H分. 1 世円.丹的伺辜為t, wt. W *1禹JI上堆方鮒勢貝b騎門將b Q)的左、右焦點分別是Fi、F2,下 a2 b2頂點為A,線段O的中點為B (O為坐標(biāo)原點)，如圖.若拋物線C2：y玄2 1與y軸的交

5、點為B,且經(jīng)過Fi, F2點.(I )求橢圓C1的方程；4(II )設(shè)M ( 0, N為拋物線C2_h的一動點，過點 N作拋5物線C2的切線交橢圓Ci于P、Q兩點，求AMPQ面積的最大值.b = 1解析：(I)由題意得b2 ，/.八=2,所求的橢圓方程為|2 一=1 lb=lI a+X2 =1,4(n)不妨設(shè)M ( X , y ), N ( X , y ), P (t2 ,t h則)拋物線C2在點P處的切線斜率為1 1 2 2y1xt= 2t ,直線MN的方 程為y =2tx-t2 +h ,將上式代入橢圓Ci的方程中，得4x2 +(2tx -t2 6)2 -4=0,即 4( ft2)x2 -

6、4t(t2- h) (t2 h)2 - 4 = , 0 因為直線MN與橢圓Ci有兩個不同的交點，所以有 舛=16十+2(h+ 2)t2-h2 + 4 0 ,+h)設(shè)線段MN的中點的橫坐標(biāo)是X3 ,則X3 = .X4-_X，2 = *2 2(l + t2 )設(shè)線段PA的中點的橫坐標(biāo)是 X4 , 510X4= _ ,由題意得X3=X4，即有B + (l+ h)t 1=0 ,2其中的 6 =(l + h)2 -4 巴0, hl 或 h$-3 ；當(dāng) h3 時有 h +2 0,4 -h2 0 不(J,0),離心率為(1)求橢圓成立；因此h工1，當(dāng)h=l時代入方程t2 +(l + h)t+1= 0得t=-

7、l,將h =l,t= 1代入不 等式(= 16-t4+2(h +2)t2-h2 + 4)0成立，因此h的最小值為1.5-已知橢圓C :二+# =i b 0)的一個焦點為 a2 b2c的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動點P(xo , yo )為橢圓外一點，且點P到橢圓c的兩條切線相互垂直, 求點P的軌跡方程.解：(1)xo)2kxo ) 一 36= 0(2)當(dāng)兩條切線的斜率存在時，設(shè)過 P( xo , yo )點的切線為y-yo=k(x y _ yo = k(x - xo)聯(lián)立 1 X2 y 2消去 y 得(4+9k2) x?+ 181( y()-kxo )x + 4 yo一3 4判別式二 12 k ?(yokxo)一 3 49k 2)yo 一 kxo)一2化簡得(y廠 kxo) - 9k2-4 =0 ,即(x29 Y 2 2xo yok yo2 一4yo4- - 42 + 2依題意得