汽車租賃問題

1、承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?/p>

2、）： 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 年 月 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2013高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：汽車租賃問題摘要本文研究的是汽車租賃的問題。擁有94 輛可供出租的汽車和10個(gè)代理點(diǎn)的某公司想根據(jù)第二天早晨汽車租賃的需求量和前一天晚上各代理點(diǎn)擁有的汽車數(shù)確立一個(gè)調(diào)度分配汽車的方法，使得運(yùn)轉(zhuǎn)成本最低。

3、 針對(duì)這個(gè)問題，我們作以下研究，并在分析中得出結(jié)論。首先，我們利用Excel的求和，求出汽車的總需求量等于當(dāng)前的總擁有量（供等于求），所以汽車的總數(shù)量剛好能滿足要求。擁有量大于需求量的代理點(diǎn)只能轉(zhuǎn)移出多余的車輛，假如轉(zhuǎn)移出的車輛多了，還要從別的代理點(diǎn)重新轉(zhuǎn)移再轉(zhuǎn)移車輛，這樣會(huì)使轉(zhuǎn)移的距離變長(zhǎng)，運(yùn)轉(zhuǎn)成本變多，因此，代理點(diǎn)要么轉(zhuǎn)進(jìn)，要么轉(zhuǎn)出，不可能某個(gè)代理點(diǎn)既轉(zhuǎn)進(jìn)又轉(zhuǎn)出的。第一種方法是在分析中得出結(jié)果，最后再利用簡(jiǎn)單的求和求解；第二種是把它化為規(guī)劃問題，利用Lingo求解。運(yùn)轉(zhuǎn)成本的最小值，最小值為163.761歐元。 當(dāng)代理點(diǎn)5轉(zhuǎn)運(yùn)出3輛汽車到代理點(diǎn)4；代理點(diǎn)9轉(zhuǎn)運(yùn)出2輛汽車到代理點(diǎn)1；代理點(diǎn)9

4、再轉(zhuǎn)運(yùn)出4輛汽車帶代理點(diǎn)3；代理點(diǎn)9再轉(zhuǎn)運(yùn)出1輛汽車帶代理點(diǎn)10:代理點(diǎn)8轉(zhuǎn)運(yùn)出4輛汽車到代理點(diǎn)10；代理點(diǎn)2轉(zhuǎn)運(yùn)出1輛汽車到代理點(diǎn)3；代理點(diǎn)2轉(zhuǎn)運(yùn)出5輛汽車到代理點(diǎn)6；代理點(diǎn)2轉(zhuǎn)運(yùn)出1輛汽車到代理點(diǎn)7 。 關(guān)鍵字： 汽車租賃 Excel 運(yùn)轉(zhuǎn)成本最小 Lingo 一、問題重述汽車租賃業(yè)被稱為“朝陽(yáng)產(chǎn)業(yè)”，它因?yàn)闊o(wú)須辦理保險(xiǎn)、無(wú)須年檢維修、車型可隨意更換等優(yōu)點(diǎn)，以租車代替買車來(lái)控制企業(yè)成本的管理方式，正慢慢受到國(guó)內(nèi)企事業(yè)單位和個(gè)人用戶的青睞。無(wú)論是從中國(guó)宏觀經(jīng)濟(jì)的走向趨勢(shì)還是微觀的社會(huì)基礎(chǔ)來(lái)看，汽車租賃行業(yè)都有著無(wú)比光明的發(fā)展前途。中國(guó)汽車租賃業(yè)于1989年起源于北京，到2008年6月底，中國(guó)

5、13個(gè)中心城市的汽車租賃企業(yè)已經(jīng)發(fā)展到800多家，但運(yùn)營(yíng)車輛僅4.5萬(wàn)輛，其中80%的企業(yè)運(yùn)營(yíng)車輛不足50輛。面對(duì)汽車租賃業(yè)如此光明的市場(chǎng)前景，汽車租賃公司該如何安排經(jīng)營(yíng)，才能使自己獲得最大利潤(rùn)，在汽車租賃行業(yè)中具有一席之地，這是汽車租賃公司迫切關(guān)注的問題。所以我們對(duì)汽車租賃公司各個(gè)代理點(diǎn)之間調(diào)度分配汽車進(jìn)行分析，并且建立模型，解決運(yùn)轉(zhuǎn)成本最低問題。有一小型汽車租賃公司，該公司有94輛可供出租的汽車，分布于10個(gè)代理點(diǎn)中每個(gè)代理點(diǎn)的位置都將以地理坐標(biāo)X和Y的形式給出，單位為英里假定兩個(gè)代理點(diǎn)之間的距離約為它們之間歐氏距離(即最短距離)的1.3倍下表給出了各個(gè)代理點(diǎn)的位置坐標(biāo)，以及第二天早晨汽車

6、租賃的需求量和前一天晚上各個(gè)代理點(diǎn)擁有的汽車數(shù)表1 車輛租賃代理點(diǎn)信息代理點(diǎn)12345678910X坐標(biāo)Y坐標(biāo)002020181030123503325527510110215汽車需求量當(dāng)前擁有量10861384118912721514711915127假定汽車運(yùn)轉(zhuǎn)的成本為每輛車每英里0.50 歐元，請(qǐng)找出如何在各個(gè)代理點(diǎn)之間調(diào)度分配汽車才能夠滿足各處的需求，并且使運(yùn)轉(zhuǎn)成本最低二、問題分析隨著汽車租賃行業(yè)的蓬勃發(fā)展，要想在在汽車租賃行業(yè)中具有一席之地，這是汽車租賃公司迫切關(guān)注的問題。所以我們對(duì)汽車租賃公司各個(gè)代理點(diǎn)之間調(diào)度分配汽車進(jìn)行分析，并且建立模型，解決運(yùn)轉(zhuǎn)成本最低問題。 我們利用Exce

7、l的求和，求出汽車的總需求量等于當(dāng)前的總擁有量（供等于求），所以汽車的總數(shù)量剛好能滿足要求。擁有量大于需求量的代理點(diǎn)只能出多余的車輛，假如轉(zhuǎn)移出的車輛多了，還要從別的代理點(diǎn)從新轉(zhuǎn)移再轉(zhuǎn)移車輛，這樣會(huì)使轉(zhuǎn)移的距離變長(zhǎng)，運(yùn)轉(zhuǎn)成本變多，因此此，代理點(diǎn)要么轉(zhuǎn)進(jìn)，要么轉(zhuǎn)出不可能某個(gè)代理點(diǎn)既轉(zhuǎn)進(jìn)又轉(zhuǎn)出的可能某個(gè)代理點(diǎn)既轉(zhuǎn)進(jìn)又轉(zhuǎn)出的。利用兩代理點(diǎn)間的距離(兩點(diǎn)間距離的1.3倍)計(jì)算出運(yùn)轉(zhuǎn)成本，運(yùn)用Excel計(jì)算或Lingo求解。三、模型的假設(shè)和約定1、假定兩個(gè)代理點(diǎn)之間的距離約為它們之間歐氏距離(即最短距離)的1.3倍。2、假設(shè)汽車的轉(zhuǎn)運(yùn)成本僅與距離有關(guān)，不考慮汽車在轉(zhuǎn)運(yùn)途中的損耗。3、題目所給的各代理點(diǎn)的

8、位置都是真實(shí)可靠的。4、假設(shè)汽車只從多的代理點(diǎn)往少的代理點(diǎn)轉(zhuǎn)運(yùn)。5、若代理點(diǎn)的擁有量和需求量相等時(shí)，該代理點(diǎn)將不再參與汽車的轉(zhuǎn)運(yùn)系統(tǒng)。 4、 符號(hào)的說(shuō)明及名詞的定義X代理點(diǎn)的橫坐標(biāo)Y代理點(diǎn)的縱坐標(biāo)M總運(yùn)轉(zhuǎn)成本W(wǎng)總運(yùn)轉(zhuǎn)成本的最小值（第二問）從I代理點(diǎn)運(yùn)轉(zhuǎn)到J代理點(diǎn)的車輛數(shù)代理點(diǎn)I和代理點(diǎn)J之間的歐氏距離代理點(diǎn)I和代理點(diǎn)J之間的距離（第一問）從代理點(diǎn)I到代理點(diǎn)J運(yùn)轉(zhuǎn)的車輛數(shù)轉(zhuǎn)運(yùn)出的代理點(diǎn)m到各轉(zhuǎn)運(yùn)進(jìn)的代理點(diǎn)n的距離五、模型的建立從所要解決的問題和模型的假設(shè)條件出發(fā)，我們建立了一個(gè)模型并對(duì)其進(jìn)行求解。首先將該汽車租賃公司10個(gè)代理點(diǎn)的位置在圖中標(biāo)識(shí)（利用Excel）,如下圖所示:模型一：（1）問題的

9、分析： 利用Excel求出該公司的汽車總擁有量和汽車總需求量，還有各個(gè)代理點(diǎn)的擁有量與需求量的差，表格如下圖所示： 代理點(diǎn)需求量當(dāng)前擁有量擁有量-需求量1108-226137384-44118-359123672-571514-1871149915610127-5總計(jì)94940由表格中分析得到：該公司的汽車總需求量與汽車總擁有量相等，代理點(diǎn)1需轉(zhuǎn)移進(jìn)2輛，代理點(diǎn)2需轉(zhuǎn)移出7輛，代理點(diǎn)3需轉(zhuǎn)移進(jìn)4輛，代理點(diǎn)4需轉(zhuǎn)移進(jìn)3輛，代理點(diǎn)5需轉(zhuǎn)移出3輛，代理點(diǎn)6需轉(zhuǎn)移進(jìn)5輛，代理點(diǎn)7需轉(zhuǎn)移進(jìn)1輛，代理點(diǎn)8需轉(zhuǎn)移出4輛，代理點(diǎn)9需轉(zhuǎn)移出6輛，代理點(diǎn)10需轉(zhuǎn)移5輛。擁有量大于需求量的代理點(diǎn)只能出多余的車輛，假

10、如轉(zhuǎn)移出的車輛多了，還要從別的代理點(diǎn)從新轉(zhuǎn)移再轉(zhuǎn)移車輛，這樣會(huì)使轉(zhuǎn)移的距離變長(zhǎng)，運(yùn)轉(zhuǎn)成本變多，因此，代理點(diǎn)要么轉(zhuǎn)進(jìn)，要么轉(zhuǎn)出，不可能某個(gè)代理點(diǎn)既轉(zhuǎn)進(jìn)又轉(zhuǎn)出的（證明見附錄1）。各代理點(diǎn)的進(jìn)與出如下圖所示：（2）公式推導(dǎo)：；(i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ; j=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) ；（i=2,5,8,9 ； j=1,3,4,6,7,10）（3）模型建立： ；（i=2,5,8,9 ； j=1,3,4,6,7,10）（3）模型求解利用Excel求出I代理點(diǎn)到J代理點(diǎn)之間的歐氏距離，結(jié)果如下圖所示各代理點(diǎn)之間的歐式距離代理點(diǎn)123456789101028.284

11、2720.5912632.310993541.4004827.4590611.180341115.13275228.28427010.1980412.806252513.9283916.5529518.0277621.9317118.68154320.5912610.19804012.1655319.7230821.213221.400931312.2065616.76305432.3109912.8062512.1655301313.3416629.1547625.0798722.4722128.160265352519.7230813025.0798740.3608731.62278243

12、6.24914641.4004813.9283921.213213.3416625.07987028.0713431.7647633.3016532.57299727.4590616.5529521.4009329.1547640.3608728.0713401727.6586312.36932811.1803418.027761325.0798731.6227831.7647617011.66195.83095291121.9317112.2065622.472212433.3016527.6586311.6619017.492861015.1327518.6815416.7630528.1

13、602636.2491432.5729912.369325.83095217.492860利用Excel篩選出各轉(zhuǎn)運(yùn)出的代理點(diǎn)m（m=2,5,8,9）到各轉(zhuǎn)運(yùn)進(jìn)的代理點(diǎn)n（n=1,3,4,6,7,10）的歐氏距離 ；結(jié)果如下表所示：代理點(diǎn)1346710運(yùn)進(jìn)的代理點(diǎn)228.2842710.1980412.8062513.9283916.5529518.6815453519.723081325.0798740.3608736.24914811.180341325.0798731.76476175.83095291112.2065622.4722133.3016527.6586317.49286運(yùn)出

14、的代理點(diǎn)其中用紅色標(biāo)注的是從代理點(diǎn)M到代理點(diǎn)N的最小距離，用黃色標(biāo)注的是從代理點(diǎn)N到代理點(diǎn)M的最小值。再結(jié)合代理點(diǎn)的轉(zhuǎn)出與轉(zhuǎn)出分布圖，分析出：當(dāng)代理點(diǎn)5轉(zhuǎn)運(yùn)出3輛汽車到代理點(diǎn)4；代理點(diǎn)9轉(zhuǎn)運(yùn)出2輛汽車到代理點(diǎn)1；代理點(diǎn)9再轉(zhuǎn)運(yùn)出4輛汽車帶代理點(diǎn)3；代理點(diǎn)8轉(zhuǎn)運(yùn)出4輛汽車到代理點(diǎn)10；代理點(diǎn)2轉(zhuǎn)運(yùn)出1輛汽車到代理點(diǎn)10；代理點(diǎn)2轉(zhuǎn)運(yùn)出5輛汽車到代理點(diǎn)6；代理點(diǎn)2轉(zhuǎn)運(yùn)出1輛汽車到代理點(diǎn)7 。運(yùn)轉(zhuǎn)成本的最小值解得： 163.761（歐元）模型二：線性規(guī)劃問題（1）問題分析：擁有量大于需求量的代理點(diǎn)只能出多余的車輛，假如轉(zhuǎn)移出的車輛多了，還要從別的代理點(diǎn)從新轉(zhuǎn)移再轉(zhuǎn)移車輛，這樣會(huì)使轉(zhuǎn)移的距離變長(zhǎng)，運(yùn)轉(zhuǎn)

15、成本變多，因此，代理點(diǎn)要么轉(zhuǎn)進(jìn)，要么轉(zhuǎn)出，不可能某個(gè)代理點(diǎn)既轉(zhuǎn)進(jìn)又轉(zhuǎn)出的（證明見附錄1）。各代理點(diǎn)的進(jìn)與出的車輛數(shù)如下圖所示：（運(yùn)進(jìn)運(yùn)出的車輛數(shù)）代理點(diǎn)1（2）3（4）4（3）6（5）7（1）10（5）運(yùn)進(jìn)的代理點(diǎn)2（7）28.2842710.1980412.8062513.9283916.5529518.681545（3）3519.723081325.0798740.3608736.249148（4）11.180341325.0798731.76476175.8309529（6）1112.2065622.4722133.3016527.6586317.49286運(yùn)出的代理點(diǎn)（2）公式推導(dǎo)與模

16、型建立：目標(biāo)函數(shù)：約束條件：（i=2,5,8,9 ； j=1,3,46,7,10）（3） 模型求解：利用Lingo求解（程序見附錄2），結(jié)果如下表所示： X21 0.000000 19.29279 X51 0.000000 25.81477 X81 0.000000 11.84225 X91 2.000000 0.000000 X23 1.000000 0.000000 X53 0.000000 9.331290 X83 0.000000 12.45535 X93 3.000000 0.000000 X24 0.000000 0.000000 X54 3.000000 0.000000 X84

17、 0.000000 21.92701 X94 0.000000 7.657440 X26 5.000000 0.000000 X56 0.000000 10.95773 X86 0.000000 27.48976 X96 0.000000 17.36474 X27 1.000000 0.000000 X57 0.000000 23.61417 X87 0.000000 10.10044 X97 0.000000 9.097160 X210 0.000000 3.197200 X510 0.000000 20.57105 X810 4.000000 0.000000 X910 1.000000

18、0.000000 X99 0.000000 0.000000運(yùn)轉(zhuǎn)成本的最小值 各個(gè)代理點(diǎn)之間調(diào)度分配汽車的方法是：當(dāng)代理點(diǎn)5轉(zhuǎn)運(yùn)出3輛汽車到代理點(diǎn)4；代理點(diǎn)9轉(zhuǎn)運(yùn)出2輛汽車到代理點(diǎn)1；代理點(diǎn)9再轉(zhuǎn)運(yùn)出4輛汽車帶代理點(diǎn)3；代理點(diǎn)9再轉(zhuǎn)運(yùn)出1輛汽車帶代理點(diǎn)10:代理點(diǎn)8轉(zhuǎn)運(yùn)出4輛汽車到代理點(diǎn)10；代理點(diǎn)2轉(zhuǎn)運(yùn)出1輛汽車到代理點(diǎn)3；代理點(diǎn)2轉(zhuǎn)運(yùn)出5輛汽車到代理點(diǎn)6；代理點(diǎn)2轉(zhuǎn)運(yùn)出1輛汽車到代理點(diǎn)7 。 模型一與模型二進(jìn)行對(duì)比：模型二的運(yùn)轉(zhuǎn)成本比較低，所以我們最后采用模型二的方法。六、模型評(píng)價(jià)（1）模型優(yōu)點(diǎn)：1、運(yùn)用了一些圖形與表格，用數(shù)形結(jié)合法來(lái)進(jìn)行分析，使模型思路更清晰，更有說(shuō)服力；2、通過(guò)利用數(shù)

19、學(xué)工具和Lingo嚴(yán)格的對(duì)模型求解，具有科學(xué)性；3、本文用的數(shù)學(xué)方法都比較簡(jiǎn)單易懂，方便方案的利用；4、合理的假設(shè)，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化； 5、運(yùn)用兩種方法進(jìn)行對(duì)比計(jì)算，優(yōu)化方案。（2）模型的缺點(diǎn)： 1、論文文字不夠嚴(yán)謹(jǐn)，有待提高； 2、方法一的最終結(jié)果是在結(jié)合分析的基礎(chǔ)上得到的，太過(guò)于理想化； 七、參考文獻(xiàn)1 歐陽(yáng)光中，朱學(xué)炎，金福林，陳傳璋，數(shù)學(xué)分析，北京：高等教育出版社，2007。2 王正東，數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，北京：科學(xué)出版社，2004。3 胡運(yùn)權(quán)，運(yùn)籌學(xué)習(xí)題，北京：清華大學(xué)出版社，2004。4 周華任，運(yùn)籌學(xué)解題指導(dǎo)，北京：清華大學(xué)出版社，2006。5 姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社，2003。6 胡運(yùn)權(quán)，運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)及其應(yīng)用，北京：高等教育出版社，20087 楊啟帆，數(shù)學(xué)建模，北京：高等教育出版社，2005年。八、附錄附錄1： 證明一個(gè)猜想：要是運(yùn)轉(zhuǎn)成本低，代理點(diǎn)只能轉(zhuǎn)進(jìn)，或轉(zhuǎn)出，不可能某個(gè)代理點(diǎn)既轉(zhuǎn)進(jìn)又轉(zhuǎn)出的。AX1X3BC X2如上圖所示：假如AB=X1，BC=X2，CA=X3，且X1X2X3；A點(diǎn)擁有的汽車輛數(shù)為5，需求量為3；B點(diǎn)擁有的汽車輛數(shù)為8，需求量為7；C點(diǎn)擁有的汽車輛數(shù)為3，需求量為6。 證明：