一次不等式組與平面區(qū)域

1、二元一次不等式(組)與平面區(qū)域問題問題在平面直角坐標(biāo)系中，在平面直角坐標(biāo)系中，直線直線x+y-1=0 x+y-1=0將平面將平面分成幾部分呢？分成幾部分呢？不等式不等式x+y-1x+y-10 0對應(yīng)平面內(nèi)哪部分的點呢？對應(yīng)平面內(nèi)哪部分的點呢？0 xy11x+y-1=0想一想一想？想？右上方點右上方點左下方點左下方點區(qū)域內(nèi)的點區(qū)域內(nèi)的點x+y-1x+y-1值值的正負(fù)的正負(fù)代入點的坐標(biāo)代入點的坐標(biāo)（1,1）（2,0）（0,0）（2,1）（-1,1）（-1,0）（-1,-1）（2,2）直線上的點的坐標(biāo)滿足直線上的點的坐標(biāo)滿足x+y-1=0 x+y-1=0，那么直，那么直線兩側(cè)的點的坐標(biāo)代入線兩側(cè)的點

2、的坐標(biāo)代入x+y-1x+y-1中，也等于中，也等于0 0嗎嗎? ?先完成下表，再觀察有何規(guī)律呢？先完成下表，再觀察有何規(guī)律呢？探索規(guī)律探索規(guī)律0 xy11x+y-1=0同側(cè)同號，異側(cè)異號同側(cè)同號，異側(cè)異號正正負(fù)負(fù)1 1、點集、點集(x,y)|x+y-10(x,y)|x+y-10 表示表示直線直線x x + +y y1=01=0 右上方右上方的平面區(qū)域的平面區(qū)域；2 2、點集、點集(x,y)|x+y-10(x,y)|x+y-1 0 0表示直線表示直線A Ax x+B+By y+C+C=0=0某一側(cè)某一側(cè)所有點組成的所有點組成的平面區(qū)域，我們把直線畫成平面區(qū)域，我們把直線畫成虛線虛線, ,以表示區(qū)

3、域以表示區(qū)域不包含不包含邊界邊界; ;不等式不等式 A Ax x+B+By y+C+C0 0表示的平面區(qū)域表示的平面區(qū)域包括包括邊界，邊界，把邊界把邊界畫成畫成實線。實線。1、由于直線同側(cè)的點的坐標(biāo)代入由于直線同側(cè)的點的坐標(biāo)代入Ax+By+CAx+By+C中，所得中，所得實數(shù)符號相同，所以只需在直線的某一側(cè)取一個實數(shù)符號相同，所以只需在直線的某一側(cè)取一個特殊點代入特殊點代入Ax+By+CAx+By+C中，從所得結(jié)果的中，從所得結(jié)果的正負(fù)正負(fù)即可即可判斷判斷Ax+By+CAx+By+C00表示哪一側(cè)的區(qū)域。表示哪一側(cè)的區(qū)域。2、方法總結(jié)：方法總結(jié)：畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的步驟：畫二元一次

4、不等式表示的平面區(qū)域的步驟：1 1、線定界（注意邊界的虛實）、線定界（注意邊界的虛實）2 2、點定域（代入特殊點驗證）、點定域（代入特殊點驗證） 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)C0C0時常把原點作為特殊點。時常把原點作為特殊點。x+4y4x+4y4x-y-40 x-y-40 x-y-40 x-y-40典例精析典例精析題型一：畫二元一次不等式表示的區(qū)域題型一：畫二元一次不等式表示的區(qū)域例例1 1、畫出、畫出 x+4y4 x+4y4 表示的平面區(qū)域表示的平面區(qū)域x+4y=4x+4y=4x+4y4x+4y4x +4y4（2 2）x-y-40 x-y-40 x-y-40o ox xy yx-y-4=0 x-y-

5、4=0例例2 2、畫出不等式組、畫出不等式組表示的平面區(qū)域。表示的平面區(qū)域。 題型二：畫二元一次不等式組表示的區(qū)域題型二：畫二元一次不等式組表示的區(qū)域由于所求平面區(qū)域的點的坐由于所求平面區(qū)域的點的坐標(biāo)需同時滿足兩個不等式，標(biāo)需同時滿足兩個不等式，因此二元一次不等式組表示因此二元一次不等式組表示的區(qū)域是各個不等式表示的的區(qū)域是各個不等式表示的區(qū)域的區(qū)域的交集交集，即，即公共部分公共部分。分析分析：畫二元一次不等式組表畫二元一次不等式組表示的平面區(qū)域的步驟：示的平面區(qū)域的步驟：2.2.點定域點定域3.3.交定區(qū)交定區(qū)1.1.線定界線定界x-y+5x-y+50 0 x+yx+y0 0 x x3 3x

6、 xo oy y4 4- -5 55 5x-y+5=0 x-y+5=0 x+yx+y=0=0 x=3 x=3 跟蹤練習(xí)跟蹤練習(xí)如圖如圖, ,表示滿足不等式表示滿足不等式(x-y)(x+2y-2)(x-y)(x+2y-2)0 0的點的點( (x,yx,y) )所在區(qū)域應(yīng)為：所在區(qū)域應(yīng)為：( )( )By12O(C)y12O(D)y12O(A)y12O(B)(0,1)(-4,-1)(2,-1)xy題型三：根據(jù)平面區(qū)域?qū)懗龆淮尾坏仁剑ńM）題型三：根據(jù)平面區(qū)域?qū)懗龆淮尾坏仁剑ńM）例例3、寫出表示下面區(qū)域、寫出表示下面區(qū)域的二元一次不等式組的二元一次不等式組解析：邊界直線方程為解析：邊界直線方程

7、為 x+y-1=0 x+y-1=0 代入原點（代入原點（0 0，0)0) 得得0+0-10+0-10 0 即所求不等式為即所求不等式為 x+y-10 x+y-10典例精析典例精析題型三：根據(jù)平面區(qū)域?qū)懗龆淮尾坏仁剑ńM）題型三：根據(jù)平面區(qū)域?qū)懗龆淮尾坏仁剑ńM）例例3 3、寫出表示下面區(qū)域的二元一次不等式、寫出表示下面區(qū)域的二元一次不等式x xy y-2-2o o1 11 1-1-1x-2y+2x-2y+20 0y-1y-1綠色區(qū)域綠色區(qū)域藍(lán)色區(qū)域藍(lán)色區(qū)域x-2y+2x-2y+20 0y-1y-1x+y-10 x+y-10 x+y-10 x+y-10紫色區(qū)域紫色區(qū)域黃色區(qū)域黃色區(qū)域根據(jù)平面

8、區(qū)域?qū)懗龆淮胃鶕?jù)平面區(qū)域?qū)懗龆淮尾坏仁剑ńM）的不等式（組）的步驟：步驟：方法總結(jié)方法總結(jié)求邊界直線的方程求邊界直線的方程代入?yún)^(qū)域內(nèi)的點定號代入?yún)^(qū)域內(nèi)的點定號寫出不等式（組）寫出不等式（組）題型五：綜合應(yīng)用題型五：綜合應(yīng)用解析：解析： 由于在異側(cè)，則（由于在異側(cè)，則（1 1，2 2）和（）和（1 1，1 1）代入代入3x-y+m 3x-y+m 所得數(shù)值所得數(shù)值異號異號，則有（則有（3-2+m3-2+m）（）（3-1+m3-1+m） 0 0所以（所以（m+1m+1）(m+2) 0(m+2) 0即：即：-2m-1-2m-1試確定試確定m m的范圍，使點（的范圍，使點（1 1，2 2）和）和（

9、1 1，1 1）在）在3x-y+m=03x-y+m=0的的異側(cè)異側(cè)。例例4 4、變式變式: :若在若在同側(cè)同側(cè)，m m的范圍又是什么呢？的范圍又是什么呢？解析解析：由于在同側(cè)，則（由于在同側(cè)，則（1 1，2 2）和（）和（1 1，1 1）代入代入3x-y+m 3x-y+m 所得數(shù)值所得數(shù)值同號同號，則有（則有（3-2+m3-2+m）（）（3-1+m3-1+m） 0 0所以（所以（m+1m+1）(m+2)(m+2) 0 0即：即：m -2m -2或或m m-1-1題型四：綜合應(yīng)用題型四：綜合應(yīng)用求二元一次不等式組求二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域的面積所表示的平面區(qū)域的面積例例5 5、 x-y+

10、50 y2 0 x22 2x xo oy y-5-55 5D DC CB BA Ax-y+5=0 x-y+5=0 x=2x=2y=2y=22 2如圖，平面區(qū)域為直角梯形如圖，平面區(qū)域為直角梯形, ,易得易得A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5)A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5)所以所以AD=3,AB=2,BC=5AD=3,AB=2,BC=5故所求區(qū)域的面積為故所求區(qū)域的面積為S=S=解析：解析：825321題型四：綜合應(yīng)用題型四：綜合應(yīng)用若二元一次不等式組若二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是一個三角形，所表示的平面區(qū)域是一個三角形，求求a a的取值范圍的取值

11、范圍變式：變式： x-y+50 ya 0 x2變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練題型四：綜合應(yīng)用題型四：綜合應(yīng)用若二元一次不等式組若二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是一個三角形，所表示的平面區(qū)域是一個三角形，求求a a的取值范圍的取值范圍變式：變式： x-y+50 ya 0 x22 2x xo oy y5 5D DC Cx-y+5=0 x-y+5=0 x=2x=2-5-5y=y=ay=y=ay=y=ay=y=5y=y=77 7數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想答案答案:5a5a 7 7 某工廠用某工廠用A A、B B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品, ,每生產(chǎn)一件每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用甲產(chǎn)品使用4 4個

12、個A A配件耗時配件耗時1h,1h, 每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4 4個個B B配配件耗時件耗時2h,2h,該廠每天最多可從配件廠獲得該廠每天最多可從配件廠獲得1616個個A A配件和配件和1212個個B B配配件件, ,按每天工作按每天工作8 8小時計算小時計算, ,該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么? ?把有關(guān)數(shù)據(jù)列表表示如下把有關(guān)數(shù)據(jù)列表表示如下: :821所需時間所需時間1240B種配件種配件1604A種配件種配件資源限額資源限額 乙產(chǎn)品乙產(chǎn)品 (1件件)甲產(chǎn)品甲產(chǎn)品 (1件件)資資 源源消消 耗耗 量量產(chǎn)品產(chǎn)品設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)設(shè)甲、乙兩

13、種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x x、y y件件. .oxy246824280 xy4x 3y 28,416,412,0,0.xyxyxy 設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x x、y y件件, ,由己知由己知條件可得二元一次不等式組：條件可得二元一次不等式組：oxy24682428,416,412,0,0.xyxyxy 設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x x、y y件件, ,由己知由己知條件可得二元一次不等式組：條件可得二元一次不等式組：280 xy4x 3y oxy246824280 xy4x 3y 若生產(chǎn)若生產(chǎn)一一件甲產(chǎn)品獲利件甲產(chǎn)品獲利2 2萬元萬元, ,生產(chǎn)生產(chǎn)一一件乙

14、產(chǎn)品件乙產(chǎn)品獲利獲利3 3萬元萬元, ,采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大? ? 設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品 件，乙產(chǎn)品件，乙產(chǎn)品 件時，工廠獲得件時，工廠獲得的利潤為的利潤為 ，則，則 .xyz23zxy230 xy MABN線性約線性約束條件束條件線性目線性目標(biāo)函數(shù)標(biāo)函數(shù)28,416,412,0,0.xyxyxy 23zxy 在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題, ,統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃問題. . 不等組（不等組（1 1）是一組對變量）是一組對變量 的約束條件，這組約束條的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于

15、件都是關(guān)于 的一次不等式，的一次不等式，所以又稱為所以又稱為線性約束條件線性約束條件. .、x y、x y 函數(shù)函數(shù) 稱為目標(biāo)函稱為目標(biāo)函數(shù)數(shù), ,又因這里的又因這里的 是是關(guān)于變量關(guān)于變量 的一次解析式的一次解析式, ,所以又稱為所以又稱為線性目標(biāo)函數(shù)線性目標(biāo)函數(shù). .23zxy 23zxy 、x y可行域可行域可行解可行解最優(yōu)解最優(yōu)解oxy246824280 xy4x 3y 230 xy M 由所有可行解組由所有可行解組成的集合叫做成的集合叫做可行域可行域. . 使目標(biāo)函數(shù)取得使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可最大值或最小值的可行解叫做線性規(guī)劃問行解叫做線性規(guī)劃問題的題的最優(yōu)解最優(yōu)解. .

16、滿足線性約束條滿足線性約束條件的解件的解 叫做叫做可行解可行解. .( ,)x y 求求z=2x-yz=2x-y最大值與最小值最大值與最小值 。設(shè)設(shè)x,y滿足約束條件：滿足約束條件：作可行域（如圖）因此z在A（2，-1）處取得最大值，即Zmax=22+1=5；在B（-1，-1）處取得最小值，即Zmin=2（-1）-（-1）=-1。由z=2x-y得y=2x-z,因此平行移動直線y=2x，若直線截距-z取得最大值，則z取得最小值；截距-z取得最小值，則z取得最大值.綜上,z最大值為5；z最小值為-1.舉一反三舉一反三x-y0 x+y-1 0y -1解：y=-1x-y=0 x+y=1(-1,-1)x

17、y011A AB BC（2，-1）y=2x280 xy4x 3y Moxy246824N28 ,41 6 ,41 2 ,0 ,0 .xyxyxy 在線性約束條件在線性約束條件 下，下，求（求（1 1）目標(biāo)函數(shù)）目標(biāo)函數(shù) 的最大值；的最大值； （2 2）目標(biāo)函數(shù)）目標(biāo)函數(shù) 的最大值和最小值的最大值和最小值. .2zxy zxy 20 xy 0 xy AB 求求z=-z=-x-yx-y最大值與最小值最大值與最小值 。設(shè)設(shè)x,y滿足約束條件：滿足約束條件：作可行域（如圖）因此z在B（-1，-1）處截距-z取得最小值，z取得最大值即Zmax=2；在邊界AC處取得截距-z最大值，z取得最小值即Zmin=-2-（-1）=-1。由z=-x-y得y=-x-z,因此平行移動直線y=-x，若直線截距-z取得最大值，則z取得最小值；截距-z取得最小值，則z取得最大值.變式演練變式演練x-y0 x+y-1 0y -1解：y=-1x