D115對坐標(biāo)曲面積分(4)課件

1、D115對坐標(biāo)曲面積分(4)第五節(jié)一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 三、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法三、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法四、兩類曲面積分的聯(lián)系四、兩類曲面積分的聯(lián)系對坐標(biāo)的曲面積分 第十一章 D115對坐標(biāo)曲面積分(4)一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分類雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型) D115對坐標(biāo)曲面積分(4)其方向用法向量指向方向余弦coscoscos 0 為前側(cè) 0 為右側(cè) 0 為上側(cè) 0

2、為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè) 設(shè) 為有向曲面,)(yxSSyxS)(側(cè)的規(guī)定 指定了側(cè)的曲面叫有向曲面, 表示 :其面元在 xOy 面上的投影記為,0)(yxyxS)(的面積為則規(guī)定,)(yx,)(yx,0時當(dāng)0cos時當(dāng)0cos時當(dāng)0cos類似可規(guī)定zxyzSS)( ,)(D115對坐標(biāo)曲面積分(4)二、二、 對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 1. 引例引例 設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為求單位時間流過有向曲面 的流量 . S分析分析: 若 是面積為S 的平面, 則流量法向量: 流速為常向量: ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cosnvcosv

3、S nvSnvD115對坐標(biāo)曲面積分(4)對一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代變, 近似和, 取極限” ni 10lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(iS對穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 進(jìn)行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin設(shè), 則 D115對坐標(biāo)曲面積分(4)設(shè) 為光滑的有向曲面, 在 上定義了一個意分割和在局部面元上任意取點,0limni 1zyiiiiSP)(,(xziii

4、iSQ)(,(分,yxRxzQzyPdddddd記作P, Q, R 叫做被積函數(shù)被積函數(shù); 叫做積分曲面積分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若對 的任 則稱此極限為向量場 A 在有向曲面上對坐標(biāo)的曲面積2. 定義：定義：D115對坐標(biāo)曲面積分(4)引例中, 流過有向曲面 的流體的流量為zyPddxzQdd稱為Q 在有向曲面 上對對 z, x 的曲面積分的曲面積分;yxRdd稱為R 在有向曲面 上對對 x, y 的曲面積分的曲面積分.稱為P 在有向曲面 上對對 y, z 的曲面積分的曲面積分;yx

5、RxzQzyPdddddd若記 正側(cè)正側(cè)的單位法向量為令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA 則對坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式D115對坐標(biāo)曲面積分(4)3. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 若,1kiiki 1之間無公共內(nèi)點, 則i且(2) 用 表示 的反向曲面, 則SA dSASAddiSAdyxRxzQzyPddddddSnAdSA dD115對坐標(biāo)曲面積分(4)三、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法三、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法定理定理: 設(shè)光滑曲面yxDyxyxzz),( , ),(:取上側(cè),),(zyxR是 上的連

6、續(xù)函數(shù), 則yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd證證:0limni 1yxiiiiSR)(,(yxiS )(yxi)( 取上側(cè),),(iiiz0limni 1) ,(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd)(,(yxzyxRdd),(D115對坐標(biāo)曲面積分(4) 若,),( , ),(:zyDzyzyxx則有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 若,),( , ),(:xzDxzxzyy則有xzzyxQdd),() , zxQxzD,(),(xzyxzdd(前正后負(fù))(右正左負(fù))說明說明: 如果積分曲面 取下側(cè), 則yxz

7、yxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxddD115對坐標(biāo)曲面積分(4)例例1. 計算yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中 是以原點為中心, 邊長為 a 的正立方體的整個表面的外側(cè).解解: 利用對稱性.原式y(tǒng)xxzdd)(3 的頂部 ),(:2221aaayxz取上側(cè) 的底部 ),(:2222aaayxz取下側(cè)1dd)(3yxxzyxDyxxadd)2(3yxxz2dd)(yxxayxDdd)2(yxDyxadd333axzyOD115對坐標(biāo)曲面積分(4)解解: 把 分為上下兩部分2211:yxz根據(jù)對稱性0ddyxxyz 思考思考: 下述解法是否正確:例例2. 計

8、算曲面積分,ddyxzyx其中 為球面2x外側(cè)在第一和第八卦限部分. zyx1O12yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zyD115對坐標(biāo)曲面積分(4)zyx1O12yxDyxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrrD115對坐標(biāo)曲面積分(4)上Szzyx2cosdd下Szzyx2cosdd例例3. 設(shè)S 是球面1222zyx的外側(cè) , 計算SxxzyI2cosdd2解解: 利用輪換對稱性

9、, 有Sxxzy2cosdd2SSzyxyxz22cosddcosddSzzyxI2cosdd102221cos1drrrr102221cos1d4rr1tan4yxz2cosddzzyx2cosdd,cosdd22Szzyx122222221cos1ddyxyxyxyx20d220D115對坐標(biāo)曲面積分(4)四、兩類曲面積分的聯(lián)系四、兩類曲面積分的聯(lián)系ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdcoscoscos曲面的方向用

10、法向量的方向余弦刻畫D115對坐標(biāo)曲面積分(4)令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量形式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnSSA dnAAnSnAd( A 在 n 上的投影)D115對坐標(biāo)曲面積分(4)例例4. 位于原點電量為 q 的點電荷產(chǎn)生的電場為解解:Srqd2SRqd2q4。q)(),(22233zyxrzyxrqrrqE求E 通過球面 : r = R 外側(cè)的電通量 .SE dSnEdSrrdrrq3D115對坐標(biāo)曲面積分(4)yxz111例例5. 設(shè),1:22yxz是其外法線與 z 軸正向夾成的銳角

11、, 計算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22nD115對坐標(biāo)曲面積分(4)221cosyxx例例6. 計算曲面積分其中 解解: 利用兩類曲面積分的聯(lián)系, 有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosOyxz2 原式 =)( x)(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋轉(zhuǎn)拋物面)(2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之間部分的下側(cè). )(2xz2211cosyx D115對坐標(biāo)曲面積分(4) 原式 =)( x)(2xzyxzddOyxz2)( xxyxD22241)(yx 原式 =)

12、(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入將,)(2221yxzD115對坐標(biāo)曲面積分(4)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)定義定義:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 兩類曲面積分及其聯(lián)系兩類曲面積分及其聯(lián)系xziiiiSQ),( D115對坐標(biāo)曲面積分(4)性質(zhì)性質(zhì):yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd聯(lián)系聯(lián)系:yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos思考思考:的方向有關(guān), 上述聯(lián)系公式是否矛盾

13、 ?兩類曲面積分的定義一個與 的方向無關(guān), 一個與D115對坐標(biāo)曲面積分(4)2. 常用計算公式及方法常用計算公式及方法面積分第一類 (對面積)第二類 (對坐標(biāo))二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量代入曲面方程 (方程不同時分片積分)(2) 積分元素投影第一類： 面積投影第二類： 有向投影(4) 確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面 注注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉(zhuǎn)化D115對坐標(biāo)曲面積分(4)當(dāng)yxDyxyxzz),( , ),(:時，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上側(cè)取“+”, 下側(cè)取“

14、”)類似可考慮在 yOz 面及 zOx 面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式 .D115對坐標(biāo)曲面積分(4)思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. P227 題2提示提示: 設(shè),),( ,0:yxDyxz則 取上側(cè)時,yxzyxRdd),(yxDyxyxRdd),(0 取下側(cè)時,yxzyxRdd),(yxDyxyxRdd),(02. P244 題 13. P227 題3(3)D115對坐標(biāo)曲面積分(4),),(Czyxf是平面1zyx在第四卦限部分的上側(cè) , 計算zyxzyxfIdd),(xzyzyxfdd),(2yxzzyxfdd),(提示提示: 求出 的法方向余弦,轉(zhuǎn)化成第一類曲面積分P227 題題3(3). 設(shè)作業(yè)作業(yè) P227 3 (1) ,(2) , (4) ; 4 (1), (2)SzyxId)(31Sd31yxxd3d01103121第六節(jié) D115對坐標(biāo)曲面積分(4),ddddddzyxyxzxzyI備用題備用題 求求1:222222cz