2021年人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊6.1《分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理》同步精講（解析版）

1、6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（精講）思維導(dǎo)圖常見考法考點(diǎn)一 分類加法計(jì)數(shù)原理【例1】（2020上海浦東新華師大二附中高二期中）從集合中任意選擇三個(gè)不同的數(shù)，使得這三個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列有（ ）個(gè)A98B56C84D49【答案】A【解析】當(dāng)公差為時(shí)，數(shù)列可以是：，共13種情況.當(dāng)公差為時(shí)，數(shù)列可以是：，共11種情況.當(dāng)公差為時(shí)，數(shù)列可以是：，共9種情況.當(dāng)公差為時(shí)，數(shù)列可以是：，共7種情況.當(dāng)公差為時(shí)，數(shù)列可以是：，共5種情況.當(dāng)公差為時(shí)，數(shù)列可以是：，共3種情況.當(dāng)公差為時(shí)，數(shù)列可以是：，共1種情況.總的情況是.又因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)成公差數(shù)列有兩種情況，遞增或遞減，所以這樣的

2、等差數(shù)列共有個(gè).故選：A【解題思路】分類計(jì)數(shù)原理解題思路1.根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)2.分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)3.分類時(shí)除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏【一隅三反】1（2020重慶高二期末）完成一項(xiàng)工作，有兩種方法，有5個(gè)人只會(huì)用第一種方法，另外有4個(gè)人只會(huì)第二種方法，從這9個(gè)人中選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作，則不同的選法共有（ ）A5種B4種C9種D45種【答案】C【解析】會(huì)用第一種方法的有5個(gè)人，選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作有5種選擇；會(huì)用第二種方法的有4個(gè)人，選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作有4種選擇；兩者相加一共有9種選擇

3、，故選：C.2（2020陜西高二期末（理）李明自主創(chuàng)業(yè)種植有機(jī)蔬菜，并且為甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服務(wù)，甲、乙、丙、丁四家超市分別需要每隔天、天、天、天去配送一次已知月日李明分別去了這四家超市配送，那么整個(gè)月他不用去配送的天數(shù)是（ ）ABCD【答案】B【解析】將月剩余的30天依次編號為1，2，330，因?yàn)榧住⒁?、丙、丁四家超市分別需要每隔天、天、天、天去配送一次，且月日李明分別去了這四家超市配送，所以李明每逢編號為3的倍數(shù)的那天要去甲超市配送，每逢編號為4的倍數(shù)的那天要去乙超市配送，每逢編號為6的倍數(shù)的那天要去丙超市配送，每逢編號為7的倍數(shù)的那天要去丁超市配送，則李明去甲超市的天數(shù)編號為

4、：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天；李明去乙超市但不去甲超市的天數(shù)編號為：4、8、16、20、28，共5天；李明去丙超市但不去甲、乙超市的天數(shù)編號不存在，共0天；李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天數(shù)編號為：7、14，共2天；所以李明需要配送的天數(shù)為，所以整個(gè)月李明不用去配送的天數(shù)是.故選：B.3（2020甘肅省會(huì)寧縣第二中學(xué)高二期中（理）將編號1，2，3，4的小球放入編號為1，2，3的盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的號不能相同，則不同的放球方法有（ ）A16種B12種C9種D6種【答案】B【解析】由題意可知，這四個(gè)小球有兩個(gè)小球放在一個(gè)盒子中，當(dāng)四個(gè)小球

5、分組為如下情況時(shí)，放球方法有：當(dāng)1與2號球放在同一盒子中時(shí)，有2種不同的放法；當(dāng)1與3號球放在同一盒子中時(shí)，有2種不同的放法； 當(dāng)1與4號球放在同一盒子中時(shí)，有2種不同的放法；當(dāng)2與3號球放在同一盒子中時(shí)，有2種不同的放法；當(dāng)2與4號球放在同一盒子中時(shí)，有2種不同的放法；當(dāng)3與4號球放在同一盒子中時(shí)，有2種不同的放法；因此，不同的放球方法有12種，故選B.考點(diǎn)二 分步乘法計(jì)數(shù)原理【例2】（2020安徽合肥一中高二開學(xué)考試）某校為了慶祝新中國成立70周年舉辦文藝匯演，原節(jié)目單上有10個(gè)節(jié)目已經(jīng)排好順序，又有3個(gè)新節(jié)目需要加進(jìn)去，不改變原來節(jié)目的順序，則新節(jié)目單的排法有（ ）種A165B286C9

6、90D1716【答案】D【解析】第一步：10個(gè)節(jié)目空出11個(gè)位置，加入1個(gè)新來的節(jié)目，所以加入一個(gè)新節(jié)目有11種方法，第二步：從排好的11個(gè)節(jié)目空出的12個(gè)位置中，加入第2個(gè)新節(jié)目，有12種方法，第三步：從排好的12個(gè)節(jié)目空出的13個(gè)位置中，加入第3個(gè)新節(jié)目，有13種方法，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，加入3個(gè)新節(jié)目后的節(jié)目單的排法有（種）.故選：D【方法總結(jié)】(1)利用分步計(jì)數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事(2)分步必須滿足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連

7、續(xù)，逐步完成【一隅三反】1（2021南寧市銀海三美學(xué)校高二月考）如圖，用五種不同的顏色分別給A，B，C，D四個(gè)區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有多少種（ ）A280B180C96D60【答案】B【解析】按區(qū)域分四步：第1步，A區(qū)域有5種顏色可選；第2步，B區(qū)域有4種顏色可選；第3步，C區(qū)域有3種顏色可選；第4步，D區(qū)域也有3種顏色可選.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5433=180種不同的涂色方案. 選選：B.2（2020古丈縣第一中學(xué)高二月考）7名旅客分別從3個(gè)不同的景區(qū)中選擇一處游覽，不同選法種數(shù)是（ ）ABCD【答案】B【解析】由題意，每名旅客可選

8、擇方案有3種，因此7名旅客分別從3個(gè)不同的景區(qū)中選擇一處游覽，不同選法種數(shù)是.故選：B.3（2020湖南省長沙縣第九中學(xué)高二期末）從集合中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)，其中虛數(shù)有（ ）A10個(gè)B12個(gè)C16個(gè)D20個(gè)【答案】C【解析】a，b互不相等且為虛數(shù)，所有b只能從1，2，3，4中選一個(gè)有4種，a從剩余的4個(gè)選一個(gè)有4種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知虛數(shù)有4416（個(gè)）故選：C4（2020湖北車城高中高二月考）現(xiàn)有6種不同的顏色，給圖中的6個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有（ ）A720種B1440種C2880種D4320種【答案】D【解析】根據(jù)題意分步完成任務(wù)：第一步：完成

9、3號區(qū)域：從6種顏色中選1種涂色，有6種不同方法；第二步：完成1號區(qū)域：從除去3號區(qū)域的1種顏色后剩下的5種顏色中選1種涂色，有5種不同方法；第三步：完成4號區(qū)域：從除去3、1號區(qū)域的2種顏色后剩下的4種顏色中選1種涂色，有4種不同方法；第四步：完成2號區(qū)域：從除去3、1、4號區(qū)域的3種顏色后剩下的3種顏色中選1種涂色，有3種不同方法；第五步：完成5號區(qū)域：從除去1、2號區(qū)域的2種顏色后剩下的4種顏色中選1種涂色，有4種不同方法；第六步：完成6號區(qū)域：從除去1、2、5號區(qū)域的3種顏色后剩下的3種顏色中選1種涂色，有3種不同方法；所以不同的涂色方法：種.故選：D.考點(diǎn)三 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合運(yùn)用【例

10、3】（2021三亞華僑學(xué)校高二考試）某校高中部，高一有6個(gè)班，高二有7個(gè)班，高三有8個(gè)班，學(xué)校利用星期六組織學(xué)生到某廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)選2個(gè)班參加社會(huì)實(shí)踐，要求這2個(gè)班不同年級，有_種不同的選法【答案】【解析】選2個(gè)班參加社會(huì)實(shí)踐，這2個(gè)班不同年級，2個(gè)班為高一和高二各一個(gè)班有，2個(gè)班為高二和高三各一個(gè)班有，2個(gè)班為高三和高一各一個(gè)班有，所以不同的選法共有.故答案為：.【方法總結(jié)】兩種計(jì)數(shù)原理選擇思路分清要完成的事情是什么；分清完成該事情是分類完成還是分步完成，“類”間互相獨(dú)立，“步”間互相聯(lián)系；有無特殊條件的限制；檢驗(yàn)是否有重復(fù)或遺漏【一隅三反】1（2021北京市魯迅中學(xué)高二月考）如圖，圓形

11、花壇分為部分，現(xiàn)在這部分種植花卉，要求每部分種植種，且相鄰部分不能種植同一種花卉，現(xiàn)有種不同的花卉供選擇，則不同的種植方案共有_種（用數(shù)字作答）【答案】260【解析】根據(jù)題意：當(dāng)1，3相同時(shí)，2，4相同或不同兩類，有：種，當(dāng)1，3不相同時(shí)，2，4相同或不同兩類，有：種，所以不同的種植方案共有種，故答案為：2602（2021山西）假設(shè)今天是4月23日，某市未來六天的空氣質(zhì)量預(yù)報(bào)情況如下圖所示.該市有甲、乙、丙三人計(jì)劃在未來六天（4月24日4月29日）內(nèi)選擇一天出游，甲只選擇空氣質(zhì)量為優(yōu)的一天出游，乙不選擇周一出游，丙不選擇明天出游，且甲與乙不選擇同一天出游，則這三人出游的不同方法數(shù)為_.【答案】85【解析】若甲選擇周一出游，則三人出游的不同方法數(shù)；若甲不選擇周一出游，則三人出游的不同方法數(shù).故這三人出游的不同方法數(shù).故答案為：853（2021沙坪壩重慶八中）某學(xué)校需要把包含甲，乙，丙在內(nèi)的6名教育專家安排到高一，高二，高三三個(gè)年級去聽課，每個(gè)年級安排2名專家，已知甲必須安排到高一年級，乙和丙不能安排到同一年級，則安排方案