E壓桿穩(wěn)定PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1E壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定 細(xì)長(zhǎng)松木直桿的承載能力并不取決軸向壓縮的抗壓剛度，而是與 受壓時(shí)變彎 有關(guān)。：要提高壓桿的承載能力，就應(yīng)該提高壓桿的剛度。：1，壓桿在制作時(shí)其軸線存在初曲率；2，作用在壓桿上的外力作用線不可能毫無偏差的與桿 的軸線相重合；3，壓桿的材料不可避免地存在不均勻性。第第2頁頁/共共64頁頁第1頁/共64頁11-1 壓桿穩(wěn)定性的概念（1）壓桿的穩(wěn)定性壓桿保持其直線平衡狀態(tài)的能力。（2）喪失穩(wěn)定 壓桿不能保持直線平衡狀態(tài)而發(fā)生的破壞。（簡(jiǎn)稱失穩(wěn)） 1、概念：第第3頁頁/共共64頁頁第2頁/共64頁2、為什么要研究壓桿的穩(wěn)定性問題？實(shí)例實(shí)例1 1：加拿大魁北克大橋：加拿大魁北克

2、大橋第第4頁頁/共共64頁頁第3頁/共64頁實(shí)例2：腳手架失穩(wěn)壓桿穩(wěn)定性問題尤為重要！壓桿穩(wěn)定性問題尤為重要！第第5頁頁/共共64頁頁第4頁/共64頁3、研究壓桿的穩(wěn)定性問題，關(guān)鍵是什么呢？：桿由均貭材料制成，軸線為直線，外力的作用線與壓桿軸線重合。（不存在壓桿彎曲的初始因素） 假想地在桿在分析中心受壓直桿時(shí)，當(dāng)壓桿承受軸向壓力后，上施加一微小的橫向力，使桿發(fā)生彎曲變形，然后撤去橫向力。：第第6頁頁/共共64頁頁第5頁/共64頁第第7頁頁/共共64頁頁第6頁/共64頁crPP 穩(wěn)定平衡狀態(tài) crPP 臨界平衡狀態(tài) crPP 不穩(wěn)定平衡狀態(tài) 關(guān)鍵確定壓桿的臨界力 壓桿 平衡狀態(tài)（2）彈性壓桿的穩(wěn)

3、定性 第第8頁頁/共共64頁頁第7頁/共64頁 不加橫向干擾力時(shí)，壓桿處于直線形式的平衡；加一微小橫向干擾力并將它撤掉后，壓桿在臨界力的作用下，可保持在微彎狀態(tài)的平衡。臨界狀態(tài)實(shí)質(zhì)上是一種 狀態(tài)。壓桿處于不的狀態(tài)時(shí)，就稱為喪失穩(wěn)定性（失穩(wěn)）。受壓構(gòu)件承受的壓力必須小于臨界力受壓構(gòu)件承受的壓力必須小于臨界力 F Fcr cr 。臨界狀態(tài)特點(diǎn)：第第9頁頁/共共64頁頁第8頁/共64頁 中心壓桿的臨界荷載中心壓桿的臨界荷載 F Fcrcr ，就是能保持微彎狀態(tài)的荷載。，就是能保持微彎狀態(tài)的荷載。 因此，在理論分析中首先要找出每一具體情況下桿的因此，在理論分析中首先要找出每一具體情況下桿的撓曲撓曲線微

4、分方程線微分方程，而方程成立時(shí)的荷載就是所求的臨界荷載，而方程成立時(shí)的荷載就是所求的臨界荷載 。112 細(xì)長(zhǎng)中心壓桿的臨界荷載 此類細(xì)長(zhǎng)的受壓桿當(dāng)此類細(xì)長(zhǎng)的受壓桿當(dāng) F F 達(dá)到達(dá)到 FCr 時(shí)，材料仍處于彈性時(shí)，材料仍處于彈性階段，這問題稱為階段，這問題稱為彈性穩(wěn)定彈性穩(wěn)定問題。問題。 當(dāng) F 達(dá)到 FCr 時(shí)，壓桿的特點(diǎn)是：既可保持直線形式的平衡；又可保持微彎形式的平衡。第第10頁頁/共共64頁頁第9頁/共64頁xyFcrlzy xw任意截面的彎矩方程為任意截面的彎矩方程為cr( )F ()M xw 撓曲線的近似微分方程（線彈性，小變形，且不計(jì)剪切對(duì)變形的影響）zcrEI( )F ()wM

5、 xw EIFwEIFwzcrzcr 令令kEIFzcr2一、一端固定另一端自由，長(zhǎng)為l 的細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界荷載 。第第11頁頁/共共64頁頁第10頁/共64頁xyFcrlzy xwEIFwEIFwzcrzcr kEIFzcr2kwkw22 方程的解為方程的解為kxBkxAwcossinA，B，k 均為待定的量均為待定的量壓桿的兩個(gè)獨(dú)立的邊界條件壓桿的兩個(gè)獨(dú)立的邊界條件0, 00, 0wxwx第第12頁頁/共共64頁頁第11頁/共64頁xyFcrlzy xwkEIFzcr2kwkw22 kxBkxAwcossin壓桿的兩個(gè)獨(dú)立的邊界條件壓桿的兩個(gè)獨(dú)立的邊界條件0, 00, 0wxwx將邊界條件代

6、入方程得將邊界條件代入方程得BA, 0方程變?yōu)榉匠套優(yōu)?cos1 (kxw第第13頁頁/共共64頁頁第12頁/共64頁xyFcrlzy xwkEIFzcr2)cos1 (kxw當(dāng)此方程成立時(shí)應(yīng)有當(dāng)此方程成立時(shí)應(yīng)有wx=l從而從而)cos1 (kl0coskl,25,23,2kl)2(22lEIFzcr第第14頁頁/共共64頁頁第13頁/共64頁xyFcrlzy xw)2(22lEIFzcr該式為該式為一端固定，一端自由一端固定，一端自由壓壓桿桿的臨界荷載的計(jì)算公式。的臨界荷載的計(jì)算公式。式中，Iz 是桿在 Fcr 作用下微彎時(shí)橫截面對(duì)于形心主慣性軸 z 的慣性矩。第第15頁頁/共共64頁頁第1

7、4頁/共64頁Fcrxylzy xw)2(22lEIFzcrxylzy第第16頁頁/共共64頁頁第15頁/共64頁xylzy在在 “偶然偶然” 因素下，桿將在因素下，桿將在 xz 平面內(nèi)彎曲，平面內(nèi)彎曲，F(xiàn)cr 計(jì)算公式中的計(jì)算公式中的慣性矩應(yīng)為慣性矩應(yīng)為Iy。)2(22lEIFycr第第17頁頁/共共64頁頁第16頁/共64頁二、兩端為鉸支（球形鉸支），長(zhǎng)為l 的 細(xì)長(zhǎng) 壓桿。FcrwxMFcr)(mxmwxwolFcrFcrmmxwBwFCr第第18頁頁/共共64頁頁第17頁/共64頁壓桿任一壓桿任一 x 截面沿截面沿 y 方向的方向的位移為位移為 w = f (x)該截面的彎矩為該截面的

8、彎矩為wFxMcr)(桿的撓曲線近似微分方程為桿的撓曲線近似微分方程為wFxMEIwcr)(wFxMcr)(mmxwBw第第19頁頁/共共64頁頁第18頁/共64頁其中其中 I 為壓桿橫截面的為壓桿橫截面的最小形心主慣性矩。最小形心主慣性矩。令令kEIFcr2則有二階常系數(shù)線性微分方程則有二階常系數(shù)線性微分方程wFxMEIwcr)(02wkwwFxMcr)(mmxwBw第第20頁頁/共共64頁頁第19頁/共64頁kEIFcr2其通解為其通解為kxCkxCwcossin21C1 ， C2 兩個(gè)待定常數(shù)由該撓兩個(gè)待定常數(shù)由該撓曲線的兩個(gè)邊界條件確定。曲線的兩個(gè)邊界條件確定。02wkwmxmwxwo

9、lFcrFcr第第21頁頁/共共64頁頁第20頁/共64頁邊界條件：ox 0wlx mxmwxwolFcrFcrkxCkxCwcossin210w將將 x = 0，w = 0 代入通解代入通解得得C2 = 0其通解為kxCwsin1第第22頁頁/共共64頁頁第21頁/共64頁mxmwxwolFcrFcr將將 x = l，w = 0 代入通解得代入通解得kxCwsin10sin1klC01C因因所以所以0sinkl), 2 , 1 , 0(nnlk 第第23頁頁/共共64頁頁第22頁/共64頁), 2 , 1 , 0(nnlk kEIFcr2lnk2222 ), 2, 1 , 0(222nlEI

10、nFCr n 0，否則，否則 FCr=0 。取 n = 1mxmwxwolFcrFcr第第24頁頁/共共64頁頁第23頁/共64頁mxmyxyolFcrFcrlEIFCr22 上式為兩端鉸支上式為兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)細(xì)長(zhǎng)壓桿的壓桿的臨界力計(jì)算公式（歐拉公式）臨界力計(jì)算公式（歐拉公式）第第25頁頁/共共64頁頁第24頁/共64頁（1）兩端絞支）兩端絞支lEIFcr22 （2）一端固定另絞支端）一端固定另絞支端AFcrlBcl 7 . 0)7 . 0(22lEIFcr C 為拐點(diǎn)為拐點(diǎn)三、其它支承情況下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力第第26頁頁/共共64頁頁第25頁/共64頁P(yáng)crABlcDl 50.（3）一端固定一端

11、可上下移動(dòng)）一端固定一端可上下移動(dòng))5 . 0(22lEIFcr C，D 為拐點(diǎn)為拐點(diǎn)( 兩端固定 )第第27頁頁/共共64頁頁第26頁/共64頁lPcr（4）一端固定另端自由）一端固定另端自由l2)2(22lEIFcr 第第28頁頁/共共64頁頁第27頁/共64頁（5）一端嵌固另一端可水平移動(dòng)但不能轉(zhuǎn)動(dòng)）一端嵌固另一端可水平移動(dòng)但不能轉(zhuǎn)動(dòng)0.5llFcrCC是反彎點(diǎn)是反彎點(diǎn)lEIFcr22 第第29頁頁/共共64頁頁第28頁/共64頁兩端絞支兩端絞支一端固定另絞支端一端固定另絞支端)5 . 0(22lEIFcr )7 . 0(22lEIFcr 一端固定另端自由一端固定另端自由)2(22lEI

12、Fcr lEIFcr22 表表111 各種支承情況下等截面細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力公式各種支承情況下等截面細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力公式 支承情況臨界力的歐拉公式長(zhǎng)度因數(shù)長(zhǎng)度因數(shù) 一端嵌固另一端可水平移動(dòng)但不能轉(zhuǎn)動(dòng)lEIFcr22 一端固定一端可上下移動(dòng)一端固定一端可上下移動(dòng)第第30頁頁/共共64頁頁第29頁/共64頁兩端絞支兩端絞支一端固定另端絞支一端固定另端絞支兩端固定兩端固定一端固定另端自由一端固定另端自由支承情況臨界力的歐拉公式長(zhǎng)度因數(shù)長(zhǎng)度因數(shù) 一端嵌固另一端可水平移動(dòng)但不能轉(zhuǎn)動(dòng)歐拉公式 的統(tǒng)一形式)(22lEIFcr 為長(zhǎng)度因數(shù) = 1 = 0.7 = 0.5 = 2 = 1)5 . 0(22lEIF

13、cr )7 . 0(22lEIFcr )2(22lEIFcr lEIFcr22 lEIFcr22 第第31頁頁/共共64頁頁第30頁/共64頁討論討論)(22lEIFcr 為長(zhǎng)度系數(shù)為長(zhǎng)度系數(shù) l 為相當(dāng)長(zhǎng)度為相當(dāng)長(zhǎng)度（1）相當(dāng)長(zhǎng)度 l 的物理意義(a) 壓桿失穩(wěn)時(shí)，撓曲線上兩拐點(diǎn)間的長(zhǎng)度就是壓桿的壓桿失穩(wěn)時(shí)，撓曲線上兩拐點(diǎn)間的長(zhǎng)度就是壓桿的相當(dāng)相當(dāng)長(zhǎng)度長(zhǎng)度 l 。(b) l 是各種支承條件下，細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)時(shí)，撓曲線中相當(dāng)于半波正弦曲線的一段長(zhǎng)度第第32頁頁/共共64頁頁第31頁/共64頁（2）橫截面對(duì)某一形心主慣性軸的慣性矩）橫截面對(duì)某一形心主慣性軸的慣性矩 I(a) 若桿端在各個(gè)方向的約束

14、情況相同（球形絞等），則 I應(yīng)取最小的形心主慣性矩。)(22lEIFcr 為長(zhǎng)度系數(shù)為長(zhǎng)度系數(shù) l 為相當(dāng)長(zhǎng)度為相當(dāng)長(zhǎng)度第第33頁頁/共共64頁頁第32頁/共64頁zy取取 Iy ，Iz 中小的一個(gè)計(jì)算臨界力。中小的一個(gè)計(jì)算臨界力。xba123baIy123abIz第第34頁頁/共共64頁頁第33頁/共64頁(b) 若桿端在各個(gè)方向的約束情況不同（柱形絞），應(yīng)分別計(jì)算桿在不同方向失穩(wěn)時(shí)的臨界力。I 為其相應(yīng)的對(duì)中性軸的慣性矩。)(22lEIFcr 為長(zhǎng)度系數(shù)為長(zhǎng)度系數(shù) l 為相當(dāng)長(zhǎng)度為相當(dāng)長(zhǎng)度第第35頁頁/共共64頁頁第34頁/共64頁zy分別用分別用 Iy ，Iz 計(jì)算出兩個(gè)臨界力。最后取小

15、的一個(gè)作為壓計(jì)算出兩個(gè)臨界力。最后取小的一個(gè)作為壓桿的臨界力。桿的臨界力。x)()(22lEIFyyCry)()(22lEIFzzCrz第第36頁頁/共共64頁頁第35頁/共64頁例題例題： 由由A3鋼加工成的工字型截面桿，兩端為柱形鉸。鋼加工成的工字型截面桿，兩端為柱形鉸。在在xy平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，桿端約束情況接近于兩端絞支，平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，桿端約束情況接近于兩端絞支， z = 1，長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為 l1 。在。在xz平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，桿端約束情況接近于兩端固平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，桿端約束情況接近于兩端固定定 y = 0.6 ，長(zhǎng)度為，長(zhǎng)度為 l2 。求。求 Pcr。zy22126624第第37頁頁/共共64頁頁

16、第36頁/共64頁zy22126624解：解：在在 xy平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，z 為中性軸為中性軸)(6221212241212133 Iz)(1562222 )()(lIElIEPzzcrz11122221 第第38頁頁/共共64頁頁第37頁/共64頁在在 xz平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，y 為中性軸為中性軸).()(lIElIEPyycry226022222 2261212122412133 )(Iy,minPPPcrcrcr21 zy22126624第第39頁頁/共共64頁頁第38頁/共64頁一、歐拉公式的適用范圍一、歐拉公式的適用范圍1、 壓桿的臨界應(yīng)力公式壓桿的臨界應(yīng)力公式 （

17、臨界應(yīng)力歐拉公式）（臨界應(yīng)力歐拉公式）壓桿受臨界荷載 Fcr 作用而仍在直線平衡形態(tài)下維持不穩(wěn)定的平衡時(shí)，橫截面上的壓應(yīng)力可按 = F/A 計(jì)算。113 歐拉公式的適用范圍 臨界應(yīng)力總圖第第40頁頁/共共64頁頁第39頁/共64頁按各種支承情況下壓桿臨界荷載的歐拉公式算出壓桿橫截面按各種支承情況下壓桿臨界荷載的歐拉公式算出壓桿橫截面上的應(yīng)力為：上的應(yīng)力為：AlEIAFcrcr)(22 AIi 為壓桿橫截面對(duì)中性軸的慣性半徑。為壓桿橫截面對(duì)中性軸的慣性半徑。2222222crcrFEIEEiAlAll i第第41頁頁/共共64頁頁第40頁/共64頁il )/(22ilEAFcrcr 稱為壓桿的柔

18、度（長(zhǎng)細(xì)比）。集中地反映了壓桿的長(zhǎng)度，桿端約束，截面尺寸和形狀對(duì)臨界應(yīng)力的影響。第第42頁頁/共共64頁頁第41頁/共64頁22Ecr 越大，相應(yīng)的越大，相應(yīng)的 cr 越小，壓桿越容易失穩(wěn)。越小，壓桿越容易失穩(wěn)。crcrFA第第43頁頁/共共64頁頁第42頁/共64頁2、 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍只有在只有在 cr P 的的范圍內(nèi)，才可以用歐拉公式范圍內(nèi)，才可以用歐拉公式計(jì)算壓桿的計(jì)算壓桿的臨界荷載臨界荷載 Fcr（或臨界應(yīng)力（或臨界應(yīng)力 cr ）。）。PcrE22或或PPPEE2第第44頁頁/共共64頁頁第43頁/共64頁 當(dāng)當(dāng) P（大柔度壓桿或細(xì)長(zhǎng)壓桿）時(shí)，才能應(yīng)用（大柔度壓桿

19、或細(xì)長(zhǎng)壓桿）時(shí)，才能應(yīng)用 歐拉公式。歐拉公式。P 的大小取決于壓桿的力學(xué)性能。例如，對(duì)于Q235鋼，可取 E=206MPa，P=200MPa，得100PPEPPPEE2 PPE 第第45頁頁/共共64頁頁第44頁/共64頁右圖稱為歐拉臨界應(yīng)力曲線。實(shí)線部分是歐拉公式適用范圍的曲線，虛線部分無意義。22Ecr cr)(il OPP22Ecr 第第46頁頁/共共64頁頁第45頁/共64頁當(dāng)當(dāng) P（大柔度壓桿或細(xì)長(zhǎng)壓桿）時(shí)，才能應(yīng)用歐拉公式，（大柔度壓桿或細(xì)長(zhǎng)壓桿）時(shí)，才能應(yīng)用歐拉公式，是按理想中心受壓桿得到的。事實(shí)上對(duì)于是按理想中心受壓桿得到的。事實(shí)上對(duì)于 比比 P大得不太多的大得不太多的實(shí)際壓桿

20、，由于有偶然偏心和型鋼在軋制時(shí)產(chǎn)生的殘余應(yīng)力實(shí)際壓桿，由于有偶然偏心和型鋼在軋制時(shí)產(chǎn)生的殘余應(yīng)力等，就會(huì)在彎壓組合下因彈塑性變形喪失承載能力。因此歐等，就會(huì)在彎壓組合下因彈塑性變形喪失承載能力。因此歐拉公式已不適用。拉公式已不適用。PPPEE2 PPE 有的鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中，對(duì)于由有的鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中，對(duì)于由 Q215，Q235 和和 16Mn 鋼制鋼制作的壓桿，根據(jù)實(shí)驗(yàn)資料規(guī)定，對(duì)于作的壓桿，根據(jù)實(shí)驗(yàn)資料規(guī)定，對(duì)于 c ，不是不是 P 的的壓桿才能用壓桿才能用歐拉公式歐拉公式求臨界應(yīng)力。求臨界應(yīng)力。20.57csE第第47頁頁/共共64頁頁第46頁/共64頁 當(dāng)當(dāng) c 時(shí)，臨界應(yīng)力的計(jì)算是采

21、用拋物線型的半經(jīng)驗(yàn)公時(shí)，臨界應(yīng)力的計(jì)算是采用拋物線型的半經(jīng)驗(yàn)公式。式。21crsc對(duì)于由 Q215，Q235 和 16Mn 鋼制作的壓桿，式中 取為 0.43。第第48頁頁/共共64頁頁第47頁/共64頁二、臨界應(yīng)力總圖二、臨界應(yīng)力總圖0.57 scrPcP22Ecr 雙曲線雙曲線拋物線21crsc第第49頁頁/共共64頁頁第48頁/共64頁例題例題 ：圖示各桿均為圓形截面細(xì)長(zhǎng)壓桿。已知各桿的材：圖示各桿均為圓形截面細(xì)長(zhǎng)壓桿。已知各桿的材料及直徑相等。問哪個(gè)桿先失穩(wěn)。料及直徑相等。問哪個(gè)桿先失穩(wěn)。daPAP1. 6acP1.3aB第第50頁頁/共共64頁頁第49頁/共64頁桿桿B： =1al3

22、1. 桿桿C： =0.7aal1216170. 桿桿A： = 2al2 解：解：A桿先失穩(wěn)桿先失穩(wěn))(22lEIFcr daPAP1. 6acP1.3aB第第51頁頁/共共64頁頁第50頁/共64頁例題例題 ：截面為圓形，直徑為：截面為圓形，直徑為 d 兩端固定的兩端固定的 細(xì)長(zhǎng)壓桿細(xì)長(zhǎng)壓桿 和截和截面為正方形，邊長(zhǎng)為面為正方形，邊長(zhǎng)為 d 兩端鉸支的兩端鉸支的 細(xì)長(zhǎng)壓桿細(xì)長(zhǎng)壓桿，材料及柔度，材料及柔度都相同，求兩桿的長(zhǎng)度之比及臨界力之比。都相同，求兩桿的長(zhǎng)度之比及臨界力之比。解：解：圓形截面桿：圓形截面桿：441641241dddAIi dldlil24501111 .)(第第52頁頁/共共

23、64頁頁第51頁/共64頁12121242dddAIi 正方形截面桿：正方形截面桿：dldlil321212222 )(由由 1 = 2 得得dldl21322 所以所以321 lldldlil24501111 .)(第第53頁頁/共共64頁頁第52頁/共64頁ldEldEEcr124222222121221121321 llEE21 dl211 dl 3222 1222222222212CrcrldEE4412221221121 ddAAAAPPcrcrcrcr第第54頁頁/共共64頁頁第53頁/共64頁例題例題：AB，AC兩桿均為圓截面桿，其直徑兩桿均為圓截面桿，其直徑 D=0.08m，E=200GPa， P=200MPa，容許應(yīng)力容許應(yīng)力 =160MPa。由穩(wěn)定條件求此結(jié)構(gòu)的極限荷載由穩(wěn)定條件求此結(jié)構(gòu)的極限荷載Pmax600300ABCP4m第第55頁頁/共共64頁頁第54頁/共64頁APNABNAC解：解：2PNAB23PNAC2 3ABlm2AClm由平衡方程由平衡方程計(jì)算出計(jì)算出600300ABCP4m第第56頁頁/共共64頁頁第55頁/共64頁99PPEPABABil173PACACil100兩桿都可用歐拉公式。兩桿都可用歐拉公式。mDi02. 04APNABNAC600300ABCP4第第57頁頁/共共64頁頁第56頁/