研究生傳熱學課第4章

1、2021-9-211第4章 Transient numerical methodNumerical method or analytical method? 22ax0,00,0wxx tt0twx123x1x2x3精確度高分析法解析解連續(xù)性微分方程求解困難2021-9-212Numerical method近似解近似解數值法數值法數值解數值解離散性離散性代數方程代數方程求解容易求解容易求各種數學問題近似解的方法和理論求各種數學問題近似解的方法和理論數值數值分析分析 數學模型數學模型實際問題實際問題計算計算 機機近似解近似解數值計算法是求解穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)數值計算法是求解穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)導熱問題的十分

2、有效的方法。導熱問題的十分有效的方法。數值傳熱學發(fā)展較快。數值傳熱學發(fā)展較快。2021-9-213分析問題分析問題數學描述：數學描述：導熱微分方程式導熱微分方程式與單值性條件與單值性條件方程離散化方程離散化連續(xù)性變?yōu)殡x散點連續(xù)性變?yōu)殡x散點微分變?yōu)榇鷶滴⒎肿優(yōu)榇鷶?聯立代數方程求解聯立代數方程求解 借助計算機編程借助計算機編程求出離散點溫度求出離散點溫度 求熱流場求熱流場討論分析結果討論分析結果Basic steps for Numerical method in heat conduction2021-9-2142、finite difference method：離散方法離散方法有限差分法（

3、FDM） 有限容積法（FVM）有限元法（FEM）邊界元法（BEM）譜分析方法（SM）數值積分變換法（ITM）格子- Boltzmann方法（LBM）控制容積有限元法(CVFEM) 。1 1、微分方程、邊界條件及初始條件的離散方法主要有：、微分方程、邊界條件及初始條件的離散方法主要有：2021-9-215區(qū)域離散化（區(qū)域離散化（for 2-D steady-state）網格線的交點為節(jié)點i,j表示x，y方向節(jié)點的序列號；x, y表示相鄰節(jié)點之間的距離；即步長；陰影面積為節(jié)點所代表的微元體，網格線網格線節(jié)點節(jié)點2021-9-216k k表示時間節(jié)點表示時間節(jié)點時間的離散化（時間的離散化（for 1

4、-D transentfor 1-D transent）時間的離散為：在時間上劃分為若干個時間間隔時間的離散為：在時間上劃分為若干個時間間隔 2021-9-2174.1 4.1 建立離散方程建立離散方程用有限差分近似微分，用有限差分近似微分，用有限差商近似微商（導數）用有限差商近似微商（導數） x dxttxx導熱偏微分方程轉化為節(jié)導熱偏微分方程轉化為節(jié)點溫度差分代數方程。點溫度差分代數方程。 2) 2)節(jié)點的選擇節(jié)點的選擇 表示表示2021-9-218兩種方法：兩種方法：泰勒級數展開法泰勒級數展開法與與控制容積熱平衡法控制容積熱平衡法。 1) 泰勒級數展開法泰勒級數展開法2342341,23

5、4,2 !3 !4 !iji ji ji ji ji jxxxttttttxxxxx2342341,234,2 !3 !4 !iji ji ji ji ji jxxxttttttxxxxx21,1,222,2( ) ( )ijiji ji jttttOxxx2. 節(jié)點溫度差分方程的建立節(jié)點溫度差分方程的建立2021-9-219同樣可得同樣可得y方向得二階偏導數方向得二階偏導數2,1,1,222,2( ) ( )i ji ji ji jttttOyyy22220ttxy1,1,1,1,22220( )( )ijiji ji ji ji jttttttxy,1,1,1,114i jijiji ji

6、 jttttt2021-9-2110一階導數的有限差分1,1,2,( ) 2( )ijiji jtttOxxx1,() ()ijijijtttOxxx,1,( ) ( )i jiji jtttOxxx2342341,234,2 !3 !4 !iji ji ji ji ji jxxxttttttxxxxx2342341,234,2 !3 !4 !iji ji ji ji ji jxxxttttttxxxxx2021-9-2111 根據節(jié)點所代表的元體在導熱過程中的能量守恒根據節(jié)點所代表的元體在導熱過程中的能量守恒來建立節(jié)點溫度差分方程。來建立節(jié)點溫度差分方程。 (1) 內部節(jié)點溫度差分方程內部節(jié)

7、點溫度差分方程LRTB01,1,iji jiji jttttyyxx,1,1,0i ji ji ji jttttxxyy x= y y2)元體熱平衡法2021-9-2112上式可整理為上式可整理為( i,j )1,f,iji ji jttyhy ttx,1,1,022i ji ji ji jttttxxyy x= y y,1,1,1,114i jijiji ji jttttt2021-9-21131,f,1,1,11022iji ji ji ji ji ji jhxtttttttthxBiBi1,1,1,f22420iji ji ji jtttBitBi t1,1,f2220iji ji jt

8、tBitBit,11,1,1,f22620i jijiji ji jttttBitBit2021-9-2114絕熱邊界節(jié)點：絕熱邊界節(jié)點：,1,11,240i ji jiji jtttt11 112 2111j jn na ta ta ta tb21 122 2222j jn na ta ta ta tb1 12 2nnnj jnn nna ta ta ta tb 2021-9-21154.2 節(jié)點溫度差分方程組的求解方法節(jié)點溫度差分方程組的求解方法 2021-9-211611 112 2111j jn na ta ta ta tb21 122 2222j jn na ta ta ta tb1

9、 12 2nnnj jnn nna ta ta ta tb 1112 211111j jn ntba ta ta ta2221 122221j jn ntba ta ta ta1 1(1)11nnnnj jn nnnntba ta tata 001,ntt111,ntt221,ntt1,kkntt1maxkkiitt1. 1. 簡單迭代法簡單迭代法2021-9-21172. 高斯高斯- -塞德爾迭代法塞德爾迭代法高斯高斯- -塞德爾迭代法塞德爾迭代法是在簡單迭代法的基礎上加是在簡單迭代法的基礎上加以改進的迭代運算方法。它與簡單迭代法的主要區(qū)別以改進的迭代運算方法。它與簡單迭代法的主要區(qū)別是在迭

10、代運算過程中是在迭代運算過程中總使用最新算出的數據總使用最新算出的數據。11000112 211111jnjntba ta ta ta21110022122221jnjntba ta ta ta1111111(1)1njnnnnjn nnntba ta tata 高斯高斯- -塞德爾迭代法比塞德爾迭代法比簡單迭代法簡單迭代法2021-9-2118 開 始 輸入 M,N,EPS,K, TTB,TLB,TRB,TBB,TI 1, it=TBB 1,Mit=TTB jt, 1=TLB jNt, 1=TRB jiT,=T I 迭代次數 I T= 0 )(411,1, 1, 1,jijijijijiji

11、jiTTTTTTTT EPSTTTjiji|, NO I T=I T+1 yes 打印jiT, 打印“I T” I TK NO Yes 停機 打印“不收斂” 圖 46 例 42 程序框圖 2021-9-2119 4.3 非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數值解法非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數值解法 非穩(wěn)態(tài)導熱數值解法的特點：非穩(wěn)態(tài)導熱數值解法的特點： 2021-9-2120以第三類邊界條件下常物性、無內熱源以第三類邊界條件下常物性、無內熱源大平壁的一維非穩(wěn)態(tài)導熱問題為例。大平壁的一維非穩(wěn)態(tài)導熱問題為例。 2. 2. 節(jié)點溫度差分方程的建立節(jié)點溫度差分方程的建立 kit4.3.1 一維非穩(wěn)態(tài)導熱的數值求解：一維非穩(wěn)態(tài)導熱的數

12、值求解： 22ttax2021-9-2121 （1 1）內部節(jié)點溫度差分方程）內部節(jié)點溫度差分方程 內部節(jié)點內部節(jié)點i所代表的控制容積在所代表的控制容積在k時刻時刻的熱平衡：的熱平衡：dU向前差分向前差分111kkkkkkiiiiiittttttAAA x cxx1kkiitt1122kkkiiitttax11122kkkkkiiiiiatttttx2aFox1111 2kkkkiiiitFottFot2021-9-21221111 2kkkkiiiitFottFot120Fo12Fo2021-9-2123向后差分向后差分111kkkkkkiiiiiittttttAAA x cxx1kkiitt1122kkkiiitttax11111122kkkkkiiiiiatttttx2aFox1kkiitt1111122kkkiiitttax2021-9-21241111112kkkkiiiiFotFottt2021-9-2125hdU向前差分向前差分1100002kkkkkkttttxAAh