常微分方程課后答案(第三版)

1、習題1.21=2xy,并滿足初始條件：x=0,y=1的特解。解：=2xdx 兩邊積分有：ln|y|=x+cy=e+e=cex另外y=0也是原方程的解，c=0時，y=0原方程的通解為y= cex,x=0 y=1時 c=1特解為y= e.2. ydx+(x+1)dy=0 并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解。 解：ydx=-(x+1)dy dy=-dx兩邊積分: -=-ln|x+1|+ln|c| y=另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1時 c=e特解：y=3= 解：原方程為：=dy=dx 兩邊積分：x(1+x)(1+y)=cx4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程

2、為： dy=-dx兩邊積分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。5（y+x）dy+(x-y)dx=0推薦精選 解：原方程為： =-令=u 則=u+x 代入有：-du=dxln(u+1)x=c-2arctgu即 ln(y+x)=c-2arctg.6. x-y+=0 解：原方程為： =+-則令=u =u+ x du=sgnx dxarcsin=sgnx ln|x|+c7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程為：=兩邊積分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny= 另外y=0也是原方程的解，而c=0時，y=0.所以原方程的通解為sinycosx=c.8

3、 +=0 解：原方程為：=e2 e-3e=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程為：=ln推薦精選令=u ,則=u+ xu+ x=ulnuln(lnu-1)=-ln|cx|1+ln=cy.10. =e 解：原方程為：=eee=ce11 =(x+y) 解：令x+y=u,則=-1-1=udu=dxarctgu=x+carctg(x+y)=x+c12. =解：令x+y=u,則=-1 -1= u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.13. =解: 原方程為：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(

4、y-y)-dx+x=c xy-y+y-x-x=c14: =推薦精選解：原方程為：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(y+2y)-d(x+5x)=0 y+4y+x+10x-2xy=c.15: =(x+1) +(4y+1) +8xy 解：原方程為：=（x+4y）+3令x+4y=u 則=-=u+3=4 u+13u=tg(6x+c)-1tg(6x+c)=(x+4y+1).16:證明方程=f(xy),經(jīng)變換xy=u可化為變量分離方程，并由此求下列方程：1） y(1+xy)dx=xdy2） = 證明： 令xy=u,則x+y= 則=-，有：

5、 =f(u)+1 du=dx 所以原方程可化為變量分離方程。1） 令xy=u 則=- (1)原方程可化為：=1+（xy） (2)將1代入2式有：-=(1+u)推薦精選u=+cx17.求一曲線，使它的切線坐標軸間的部分初切點分成相等的部分。解：設（x +y ）為所求曲線上任意一點，則切線方程為：y=y(x- x )+ y 則與x軸，y軸交點分別為： x= x - y= y - x y 則 x=2 x = x - 所以 xy=c18.求曲線上任意一點切線與該點的向徑夾角為0的曲線方程，其中 = 。解：由題意得：y= dy= dx ln|y|=ln|xc| y=cx. = 則y=tgx 所以 c=1 y=x.19.證明曲線上的切線的斜率與切點的橫坐標成正比的