第四章 平面問(wèn)題的極坐標(biāo)解答

1、 在求解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，無(wú)論選取什么形式的坐標(biāo)系都不會(huì)影響問(wèn)題本質(zhì)的描述，但卻涉及到解決問(wèn)題的難易程度。 在平面問(wèn)題中，對(duì)于圓環(huán)、楔形、扇形之類(lèi)的物體，用極坐標(biāo)比用直角坐標(biāo)方便得多。這時(shí)，物體的邊界線與坐標(biāo)線重合，邊界條件的形式最為簡(jiǎn)單。 在極坐標(biāo)系中，平面內(nèi)任一點(diǎn)的位置由徑向坐標(biāo)r和環(huán)向坐標(biāo)表示。在平面上r不變的曲線稱(chēng)為坐標(biāo)曲線，它是以原點(diǎn)為圓心的圓；平面上不變的曲線稱(chēng)為r坐標(biāo)曲線，它是過(guò)O點(diǎn)的直線。 在極坐標(biāo)中， 由于兩切線相互垂直，所以極坐標(biāo)是一種正交曲線坐標(biāo)。 過(guò)這一點(diǎn)沿r和增加的方向引兩條坐標(biāo)曲線的切線矢量，就構(gòu)成了該點(diǎn)的一個(gè)局部標(biāo)架。 隨點(diǎn)的位置不同局部標(biāo)架的方向?qū)l(fā)生變化。圖4-

2、1 在極坐標(biāo)系中，應(yīng)力分量、應(yīng)變分量、位移分量和外力分量的定義、記號(hào)和正負(fù)號(hào)都是參照局部標(biāo)架來(lái)定義和規(guī)定的。比如r 面上的正應(yīng)力，用 表示，稱(chēng)為徑向正應(yīng)力，其上剪應(yīng)力用 表示。 面上的正應(yīng)力，用 表示，稱(chēng)為環(huán)向（或切向）正應(yīng)力，其上剪應(yīng)力表示為 . rrr圖4-24-1 4-1 極坐標(biāo)中的基本方程與邊界條件極坐標(biāo)中的基本方程與邊界條件 1. 平衡微分方程平衡微分方程 根據(jù)極坐標(biāo)的特點(diǎn)，用兩個(gè)同心圓柱面和兩個(gè)徑向平面從彈性體中截出一個(gè)扇形微單元體PABC。 由于單元體尺寸很小，可以認(rèn)為各微面上的應(yīng)力是均勻分布的。按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，在兩個(gè)弧面上，由于有位置dr的變化，其上相應(yīng)的正應(yīng)力和剪應(yīng)力的變化量

3、為 和 ; rrrdrrrd同樣兩個(gè)徑向平面由于位置差d，其上正應(yīng)力和剪應(yīng)力的變化分別為 和 ; ddr微元體的體力: )(FFr、2dsind)d(dd)d)(rrrrdrrrrr2dcosd)(2dsindrdrrr0dd2dcosdrrFrrr下面研究微元體的平衡，將微元體上所受的力向微元體中心的徑向方向投影，得徑向平衡方程： 將微元體上的作用力向中心的切向方向投影，得切向平衡方程： d)d)(d(2dcosd2dcosd)d(rrrrrrrr2dsind2dsind)d(drrrrrrr0ddrrF將微元體上的作用力對(duì)中心取矩得:rr剪應(yīng)力互等仍然成立. 由于d是個(gè)小量，故有 和 22

4、sindd12cosd簡(jiǎn)化以后，除以 ，再略去高階小量，得:rrdd02101FrrrFrrrrrrrrr這就是平面問(wèn)題極坐標(biāo)下的平衡微分方程。 2. 幾何方程幾何方程 r下面考察過(guò)物體內(nèi)一點(diǎn)P的兩個(gè)正交線元)dd(rPBrPA和的變形。 和 分別表示線元PA和PB的相對(duì)伸長(zhǎng)，即徑向和切向正應(yīng)變， 表示該兩個(gè)正交線元直角的變化，即剪應(yīng)變。 ruur、分別表示P點(diǎn)的徑向和環(huán)向位移。假定正交線元PA、PB的變形分兩步完成： 第1步：只有徑向位移，而沒(méi)有環(huán)向位移（圖4-4(a)）。 這時(shí)，徑向線元PA移到PA，環(huán)向線元PB移到PB。；rudrruurrdrruuP點(diǎn)的位移為B點(diǎn)的位移為A點(diǎn)的位移為徑

5、向線元PA的正應(yīng)變：PAPPAAPAPAAPr)1 (rururruurrrrd)d(環(huán)向線元PB的正應(yīng)變:rurrurPBPBBPrrddd)()1 (直角的變化（剪應(yīng)變）: rrrrrurruuuPBPPBB1d)d()1(第2步：只有環(huán)向位移，而沒(méi)有徑向位移（圖4-4(b)）。 AP BP 徑向線元PA移到 ，環(huán)向線元PB 移到 。uP點(diǎn)的位移： A點(diǎn)的位移： rruudB點(diǎn)的位移： duu徑向線元PA的正應(yīng)變： 0)2( PAPAAPr環(huán)向線元PB的正應(yīng)變： PBPPBBPBPBBP )2(urruuu1d)d(直角的改變量（剪應(yīng)變）：rrrrruuCPCAAArd)d()d()2(

6、rururrurrrruud)d()d(將（3）（5）三式與（6）（8）三式分別疊加，得物體的任一點(diǎn)P的應(yīng)變： ruruururrururrrrr11這就是極坐標(biāo)平面問(wèn)題幾何方程。 3. 本構(gòu)方程本構(gòu)方程 由于極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)都是正交坐標(biāo)，只是通過(guò)同一點(diǎn)的兩組坐標(biāo)架相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度，而材料又是各向同性的，與方向無(wú)關(guān)。所以，只須將直角坐標(biāo)下本構(gòu)方程中的x、y用r、替換即得極坐標(biāo)下的本構(gòu)方程如下：rrrrrEEE)1 (2),(1),(1rrrrrEEE)1 (2),(1),(122或者 4. 邊界條件邊界條件 力的邊界條件： TmlTmlrrrr這里的外法線方向余弦（l, m）是對(duì)局部標(biāo)架定義

7、的， rTT、 表示沿r和方向的給定面力分量。 位移邊界條件： rruu uu4-2 4-2 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù) 相容方程相容方程已知在直角坐標(biāo)中的相容方程為 022（常體力），式中拉普拉斯算子 22222yx同樣，在極坐標(biāo)系中，也可得到類(lèi)似的應(yīng)力函數(shù)表示的控制方程，為了導(dǎo)出極坐標(biāo)下的相容方程，最簡(jiǎn)單的辦法是對(duì)算子進(jìn)行變換。直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系如下： sincosryrx或arctg(y/x)22yxr 將r 和 分別對(duì)x、y 求偏導(dǎo)數(shù)：rrxxxyyrryxyxyxryyxyyrrxyxxxrcos111sin11sin2cos2222222222222根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的

8、鏈?zhǔn)椒▌t，并引用（2）式得rryyrryrrxxrrxcossinsincos由此，對(duì)坐標(biāo)x、y的二階偏導(dǎo)為：222222222222222222222222222222222222cossin sincoscossinsincoscossin1cos1cossin21cos1cossin2sin1sin1cossin21sin1cossin2cos)1sin)(cos1sin(cos)(rrrrrrryxrrrrrrryrrrrrrrrrrrxxx22x22y將 和 相加得： 22222222211rrrryx代入在常體力下的相容方程，于是得極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程 ：0)11(22

9、2222rrrr) ,(r式中 ，為應(yīng)力函數(shù)。 應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量之間的關(guān)系，可按下述方法導(dǎo)出。 我們注意到，當(dāng) 時(shí)，x、y 軸分別與r、 軸重合，此時(shí)應(yīng)力分量 分別與應(yīng)力分量 對(duì)應(yīng) 0 xyyx、rr、)1()()()()(11)()(0202202202220220rryxrxrrryxyryxr 用極坐標(biāo)按應(yīng)力函數(shù)法求解常體力平面問(wèn)題，就是尋求滿足邊界條件的微分方程（4-7）的解。求出應(yīng)力函數(shù)以后，代入（4-8）式可得問(wèn)題的應(yīng)力解，在多連體中，這些應(yīng)力分量還要滿足位移單值的附加條件。 4-3 4-3 應(yīng)力軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題及其相應(yīng)的位移應(yīng)力軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題及其相應(yīng)的位移 在工程中，常常會(huì)遇到結(jié)構(gòu)的形狀

10、和所承受的外力不隨極角變化的問(wèn)題。例如火炮炮筒、高壓容器、氣缸、旋轉(zhuǎn)圓盤(pán)等。在這類(lèi)問(wèn)題中，由于結(jié)構(gòu)及受力均對(duì)稱(chēng)于它的中心軸(z)，故其應(yīng)力只與r有關(guān)，與極角無(wú)關(guān)，由于對(duì)稱(chēng)性，只有正應(yīng)力，而剪應(yīng)力為零，稱(chēng)此類(lèi)問(wèn)題為平面軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題。對(duì)于象曲桿純彎曲這類(lèi)問(wèn)題，其應(yīng)力也具有這種特點(diǎn)(與無(wú)關(guān))，但結(jié)構(gòu)不具有對(duì)稱(chēng)性，稱(chēng)為應(yīng)力軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題。由應(yīng)力分布的上述特點(diǎn)，可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)形式為： )(r0)1)(1(2222drdrdrddrdrdrd相容方程： 02222333444drdrdrdrdrdrdrdr展開(kāi)上式得： 這是一個(gè)變系數(shù)歐拉方程，其通解為DCrrBrrA22lnln式中，A、B、C、D是待定系數(shù)。

11、將代入式（4-8），得應(yīng)力分量：02)ln23(2)ln21 (12222rrCrBrAdrdCrBrAdrdr位移分量： 將（4-9）式代入本構(gòu)方程（4-3）得應(yīng)變分量為 0)1 (2ln)1 (2)3()1 (1)1 (2ln)1 (2)31 ()1(122rrCrBBrAECrBBrAE幾何方程： rurrurrur101ruruurr積分可得位移分量： )()1 (2) 1(ln)1 (2)31 ()1 (1fCrrBrBrrAEdrurr（2） 將（4-10）的第2式及（2）式代入幾何方程 的第二式：)(4fEBrurur積分得：)()(4rgdfEBru將式（2）和式（3）代入幾何

12、方程第三式： （3） dfddfdrrdgrrg)()()()(若要上式恒定成立，只可能是兩邊都等于某個(gè)常數(shù)F，于是有 FdfddfFdrrdgrrg)()()()(（4） 由上式解得： FHrrg)(將（4（b）兩邊對(duì)求導(dǎo)，方程變?yōu)椋?0)()(22fdfdsincos)(KIf其解： 則由式（4(b)）得： cossind)(KIFf軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力相應(yīng)的位移分量： 1 (1)2(1)ln(1)2(1)cossin4cossinrAuBrrBrErCrIKBruHrKIE（4-11） 式中，A、B、C、H、K、I為待定系數(shù)，由邊界條件和約束條件確定。式（4-9）表明，待定系數(shù)H、K、I與應(yīng)力無(wú)關(guān)

13、，它們代表剛體位移。sincossincosIKHruKIur對(duì)應(yīng)于無(wú)應(yīng)力狀態(tài)的位移為：（8） 下面討論待定系數(shù)H、K、I的物理意義。首先，從圖4-5的投影關(guān)系中可以得到，直角坐標(biāo)下的位移與極坐標(biāo)下位移的關(guān)系為： cossinsincosuuvuuurr（4-12） 將（8）代入（4-12）得cossinHrKvHrIu可見(jiàn)，I、K 分別是物體沿x 和y 方向的剛體平移，H 的意義可參見(jiàn)圖4-6，它代表繞對(duì)稱(chēng)軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。一般地，與軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力相對(duì)應(yīng)的位移不是軸對(duì)稱(chēng)位移。但如果物體的幾何形狀、載荷和約束是軸對(duì)稱(chēng)的，則必為軸對(duì)稱(chēng)位移，即 )(ruurr0u則由（4-11）式，有 0IKHB代入（4

14、-9）式得應(yīng)力：222 , 2 , 0rrACrACr 位移： 0)1 (2)1 (1uCrrAEur 如果物體是實(shí)心的，由于中心處的應(yīng)力不可能是無(wú)限大，故 0A此時(shí)，應(yīng)力分量為： Cr2此式表明，具有軸對(duì)稱(chēng)幾何和載荷作用的實(shí)心物體，其應(yīng)力場(chǎng)為均勻應(yīng)力場(chǎng)。 4-4 4-4 圓環(huán)或圓筒問(wèn)題圓環(huán)或圓筒問(wèn)題 1 受內(nèi)、外壓作用的圓環(huán)或圓筒受內(nèi)、外壓作用的圓環(huán)或圓筒圓環(huán)或厚壁圓筒，內(nèi)半徑為a，外半徑為b，內(nèi)部受均壓 外部受均壓 ，求應(yīng)力分量。 aqbq圖4-7由于結(jié)構(gòu)和載荷的對(duì)稱(chēng)性，其應(yīng)力解為： 解：222 ,2 ,0rrACrACr邊界條件： 0)( )(0)( )(brrbbrrarraarrqq

15、其中邊界條件： 0)(brarr已自動(dòng)滿足 由其余二式得：baqCbAqCaA2 ,222解之得： 2222)(abqqbaAab)(22222abbqaqCba應(yīng)力分量： 222222222222222211,1111,110rababrbarrqqbaabbarrqqbaab 2 . 圓筒受內(nèi)壓，外邊界給定位移約束圓筒受內(nèi)壓，外邊界給定位移約束圓筒內(nèi)半徑為a，外半徑為b，受內(nèi)壓q作用，外邊界固定。這是一個(gè)混合邊值問(wèn)題。邊界條件： 解:0)( 0)(0)( )(brbrrarrarruuq圖4-8顯然， 0)(arr0)(bru已自然滿足 將（4-13）第一式和（4-14）第一式分別代入其余

16、兩式，并注意到在平面應(yīng)變問(wèn)題中 1 ,12EE02)1)(21 (122CbEbAEqCaA由此可解得： 2222222)21 (2 , q )21 ()21 (abqaCabbaA應(yīng)力分量： 0)21 ()21 ()21 ()21 (222222222222rrabrbrqaabrbrqa位移分量：0)()21()21)(1 (2222urrbabEqaur3 . 彈性接觸問(wèn)題彈性接觸問(wèn)題 設(shè)一圓筒，其內(nèi)徑為a，外徑為b，埋在無(wú)限大彈性體中，內(nèi)部受均壓q，求應(yīng)力分量. 設(shè)圓筒上的應(yīng)力分量： 解：rr、位移分量： uur、彈性常數(shù)： 、E無(wú)限大彈性體中的應(yīng)力分量： rr、圖4-9位移分量： u

17、ur、彈性常數(shù)： 11、E對(duì)兩個(gè)結(jié)構(gòu)，應(yīng)力和位移均為軸對(duì)稱(chēng)，于是可采用公式（4-13）和（4-14）。但由于彈性常數(shù)不同，上式中，兩個(gè)結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的待定系數(shù)也不同，對(duì)于圓筒設(shè)其為A、C；對(duì)于無(wú)限大彈性體，設(shè)其為。 CA、圓筒應(yīng)力：CrACrAr2 ,222無(wú)限大彈性體應(yīng)力： CrACrAr2 ,222現(xiàn)在利用邊界條件和接觸條件來(lái)確定這4個(gè)待定未知數(shù)。（4） （5） （）圓筒： qarr)(對(duì)于無(wú)限大體，按照圣維南原理，圓孔內(nèi)壁（r=b）所受的內(nèi)壓是平衡力系，在 r應(yīng)力應(yīng)為零，即 0)(rr0)(r由此得 0C（）對(duì)于無(wú)限大體邊界條件和接觸條件：（6）22ACqa （7） （）接觸條件： brrbr

18、r)()(將式（4）和（5）代入上式，得222bACbA（8） brrbrruu)()(由（4-14）的第1式，并注意到（7）式，圓筒和無(wú)限大彈性體的徑向位移為CrrAEur)11 (2)11 (12rAEur)11 ()1 (11121代入連續(xù)條件，經(jīng)整理得 bAEbACbE111)21 (21（9） 由方程（6）（8）（9）可求出A、C、A， 圓筒及無(wú)限大彈性體的應(yīng)力分量和位移分量： 222222221 (1 2 ) (1),1 (1 2 ) (1)1 (1 2 ) (1)1 (1 2 ) (1)0rrbnnrqbnnabnnrqbnna 無(wú)限大彈性體： 0)1 ()21 (1 )1 (2

19、2222rrnabnrbnq)1 ()1 (11EEn式中1n當(dāng)時(shí)，應(yīng)力分布大致如圖4-9所示。 這個(gè)問(wèn)題是一個(gè)最簡(jiǎn)單的彈性接觸問(wèn)題。在接觸問(wèn)題中，通常都假定各彈性體在接觸面上保持“完全接觸”，即，既不互相脫離也不互相滑動(dòng)。應(yīng)力方面的接觸條件是：兩彈性體在接觸面上的正應(yīng)力相等，剪應(yīng)力也相等；位移方向的接觸條件是：兩彈性體在接觸面上的法向位移相等，切向位移也相等。 4-5 4-5 曲梁的純彎曲曲梁的純彎曲狹長(zhǎng)矩形截面的圓弧形曲梁，內(nèi)半徑為a，外半徑為b，兩端受有大小相同，方向相反的力矩M作用，如圖4-10所示。 力的平衡條件可知，梁的所有各徑向截面上的彎矩相同，因而可認(rèn)為各截面上的應(yīng)力分布也相同

20、，即曲梁的純彎曲是一個(gè)應(yīng)力軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題。解:由于其幾何結(jié)構(gòu)不滿足軸對(duì)稱(chēng)條件，故應(yīng)力分量和位移分量應(yīng)采用關(guān)系式（4-9）和（4-11）。其中待定常數(shù)A、B、C通過(guò)邊界條件來(lái)確定，在曲線邊 0)( , 0)(0)( , 0)(brrbrrarrarr0)(,barr顯然 條件能自然滿足。 將式（4-9(a)）代入其余兩個(gè)條件，得 02)ln21 (2CaBaA02)ln21 (2CbBbA()上端面 d , 0d , 0 babarMrTrrTT邊界條件:（3） （2） 注意到該面為負(fù)面，其應(yīng)力邊界條件為：babarrMMdrrdrT 0 00)()(0)(0)(0r由于 故（4(a)）式自然滿足。

21、下面討論邊界條件（4(b)）。 （4） 22 ,1drddrdrr在軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)力問(wèn)題中，應(yīng)力分量： 由此，（4(b)）式左邊積分可以改寫(xiě)為barbabardrddrdrd000 22)()()(arrbrrab00)()(（5） 2)ln21 (2)ln21 (22CaBaAaCbBbAb顯然，如果（2）、（3）式能夠滿足，則上式為零，即邊界條件（4(b)）也得到滿足，故下面不必考慮。 將（5（b）式代入邊界條件（4(c)）積分后，得 MabCaabbabBbaA)()lnln()(ln222222（6） 由式（2）、（3）、（6）式解得)lnln(2)()(2 ln422222222aabba

22、bNMCabNMBabbaNMA（7） 222222)(ln4)(abbaabN其中 應(yīng)力沿徑向截面的分布規(guī)律大致如圖4-11所示。 將所得到的A、B、C代入式（4-11）中，即可求得曲梁受純彎曲時(shí)的位移分量，其中待定系數(shù)H、K、I由約束條件來(lái)確定。假設(shè)梁在上端面的中點(diǎn)，即在 2 , 00barr0)()()(000000rrrrrrrruuu0000001(1)(1)2(1)ln2(1)HKAIBrBrrErCr應(yīng)用式（4-11）可定出積分常數(shù) 將（7）和（8）式代入（4-11），即可得到位移分量。其中環(huán)向位移sin4IEBru（8） （4-20 下面考察一個(gè)例子: 設(shè)開(kāi)口圓環(huán)， 其開(kāi)口為的

23、微小角度，如圖4-12所示。現(xiàn)將兩端用焊接方法接合起來(lái),試求焊接后圓環(huán)內(nèi)的應(yīng)力。圖4-12 此結(jié)構(gòu)的的受力情況，相當(dāng)于在某外力作用下產(chǎn)生的位移使其剛好閉合，即應(yīng)滿足位移連續(xù)條件：解：Ruuuurr0220（9） ru條件自動(dòng)滿足，而由式（4-20）可得REBR24解得 8EB 將B代回（7（b）式得到將缺口用焊接方式強(qiáng)行焊合時(shí)在環(huán)內(nèi)引起的內(nèi)力矩M，進(jìn)一步代入式（4-19）就求得其中的應(yīng)力分量，即圓環(huán)的裝配應(yīng)力。 4-6 4-6 含小圓孔平板的拉伸含小圓孔平板的拉伸考慮一個(gè)內(nèi)部有一圓孔的平板，圓孔的半徑為a，相比較于平板的長(zhǎng)和寬是一個(gè)小量，即相對(duì)于圓孔，平板可看作無(wú)限大，平板兩端受有均勻拉力q，

24、如圖4-13所示。 圖4-13解：在該問(wèn)題中，外邊界是直線邊界，內(nèi)邊界為圓曲線邊界，這樣直接求解，有一定困難。通過(guò)下述分析，我們可以將其轉(zhuǎn)換為圓環(huán)問(wèn)題，在極坐標(biāo)下求解。 與無(wú)孔板比較，由于圓曲線內(nèi)邊界僅是該問(wèn)題的很小一部分邊界，由圣維南原理可知，在離邊界足夠遠(yuǎn)的地方，應(yīng)力將不受該段邊界條件的影響。由此，可在平板上取一與圓孔同心半徑為b的大圓，ba。這時(shí)，大圓上每一點(diǎn)應(yīng)力分量由受單向均勻拉伸的無(wú)孔板應(yīng)力場(chǎng)確定，即大圓邊界上有 qx0y0 xy由應(yīng)力坐標(biāo)變換公式： )sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222xyxyrxyyxxyyxr可得到用極

25、坐標(biāo)表示的形式2sin22cos222cos22qqqqqrr()cos222rr bqq()sin2rr bq 將外載荷分為如下兩組： 0 , 2TqTr2sin2 ,2cos2qTqTr （1） （2） 原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下新問(wèn)題，在外邊界上： 顯然，第一組面力所對(duì)應(yīng)的問(wèn)題是圓環(huán)外邊界受均勻拉力的問(wèn)題，由（4-15）式，該問(wèn)題的解答是。 22221(1), 21 (1), 2 0rraqraqr 第二組面力所對(duì)應(yīng)的問(wèn)題較為復(fù)雜，可從其所受面力分析入手。在外邊界上邊界條件為： 2sin2)(2cos2)(qqbrrbrr在內(nèi)邊界上，無(wú)外力作用，邊界條件為：0)( , 0)( arrarr（4（a

26、） （4（b） 由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系： 2222211,1()rrrrrrr r （4-8） 可以看出，要滿足外邊界條件（4(a)），則應(yīng)力函數(shù) 中應(yīng)當(dāng)含有 因子。而從內(nèi)邊界到外邊界 和 都是變化的，即 與r有關(guān)， 是r 的函數(shù)，由此可假設(shè)，應(yīng)力函數(shù)： 2cosrr、rr2cos)(rf必須滿足相容方程，則： 0)(9)(9)(2)(2cos32223344drrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd（5） 這是歐拉型常微分方程，求解可得 224)(rDCBrArrf2cos)(224rDCBrAr（6） 將應(yīng)力函數(shù)（6）代入（4-8）得應(yīng)力分量： 2sin)6226(2cos)621

27、2(2cos)642(4224242rDrCBArrDBArrDrCBrr代入邊界條件（4）得方程：（7） 264242qbDbCB26226422qbDbCBAb064242aDaCB06226422aDaCBAa 由此解得： 4 ,21 ,4 , 042qaDqaCqBA在求解過(guò)程中，應(yīng)用了 0ba將系數(shù)A、B、C、D代回（7）式得 2sin)321 (212cos)31 (212cos)341 (214422444422raraqraqraraqrr（8） （4-21） 根據(jù)疊加原理，將與兩組面力相對(duì)應(yīng)的兩組解答（3）和（8）相加，即得到問(wèn)題的解答： 2sin)321 (212cos)3

28、1 ()1(212cos)341 ()1(2144224422442222raraqraraqrararaqrrrrrr環(huán)向應(yīng)力分量的分布特點(diǎn)： )23211 ()(4422232 raraq或) 13(21)(22220 raraq或沿孔邊周向： )2cos21 ()(qar由以上分析可見(jiàn)，最大環(huán)向應(yīng)力發(fā)生在孔的邊最大環(huán)向應(yīng)力發(fā)生在孔的邊緣處，其值為緣處，其值為3q，隨著距孔邊距離的增大，隨著距孔邊距離的增大，環(huán)向應(yīng)力迅速衰減至無(wú)孔狀態(tài)時(shí)的應(yīng)力環(huán)向應(yīng)力迅速衰減至無(wú)孔狀態(tài)時(shí)的應(yīng)力q，這一現(xiàn)象即是孔邊應(yīng)力集中現(xiàn)象。這一現(xiàn)象即是孔邊應(yīng)力集中現(xiàn)象。 孔邊應(yīng)力集中現(xiàn)象是一種局部現(xiàn)象，在約5倍于孔邊距離

29、時(shí)，該處的應(yīng)力已不受孔的影響，這也從數(shù)值上驗(yàn)證了圣維南原理。 利用上述結(jié)果，通過(guò)疊加原理，可以得到等值或不等值拉壓、純剪切、孔邊均勻壓力等含小孔平板的應(yīng)力解答。 4-7 4-7 楔形體在楔頂或楔面受力楔形體在楔頂或楔面受力1. 頂端受集中力頂端受集中力P的問(wèn)題的問(wèn)題(圖4-15) 取圖示坐標(biāo)系，P是任意集中力，它與楔體中心線夾角為，楔頂角為。 下面采用半逆解法求解 用量綱分析方法來(lái)尋求問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)。描述問(wèn)題的物理、幾何參數(shù)有P、r、 ，其中，P是單位厚度上的力(由平面問(wèn)題的載荷特性)，量綱是力長(zhǎng)度-1，、為無(wú)量綱量，r的量綱是長(zhǎng)度。顯然，應(yīng)力分量的表達(dá)式是由P、r、 構(gòu)成，而應(yīng)力的量綱是力長(zhǎng)

30、度-2),(FrP故從量綱上看，應(yīng)力分量在形式上應(yīng)為其中，F(xiàn) 為無(wú)量綱函數(shù)。我們注意到應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系（4-8），應(yīng)力函數(shù) 在r 的冪次上應(yīng)比應(yīng)力分量高兩次，即)(),(2rfrFrP由上式，可以假設(shè))(rf（1） 代入相容方程得： 0)11(222222rrrr（2） 0)()(2)(2244fdfddfd化簡(jiǎn)后得： 這是一個(gè)常系數(shù)常微分方程，其解為)sincos(sincos)(DCBAf)sincos( sincosDCrBrAr于是： （3） 0)1(0)sincos(21122222rrrCDrrrrrr由此，得各應(yīng)力分量：邊界條件: ()側(cè)面邊界 0)(, 0)(22r已自

31、動(dòng)滿足 在頂端，受一集中力作用，應(yīng)力很大，要超過(guò)彈性極限，因此必須考慮O點(diǎn)附近以外的區(qū)域。為此，取以楔頂為圓心，r為半徑的扇形體，如圖4-15（b）所示，由該扇形塊的平衡得出由力的邊界條件轉(zhuǎn)換而來(lái)的平衡條件：()平衡條件：0sin sin :0cos cos :2 2 2 2 PdryPdrxrr方向平衡條件方向平衡條件r將 代入上式: 2 2 22 2 20sin)sincossin(20cos)cossincos(2PdCDPdCDsinsinPCsincosPD求解后，可得 應(yīng)力分量 0, 0)sinsinsinsincoscos(2rrrP這個(gè)解答稱(chēng)為密切爾解答。2. 楔塊頂端受一集中

32、力偶楔塊頂端受一集中力偶M的問(wèn)題的問(wèn)題（圖4-16）。 從量綱的角度，應(yīng)力的形式應(yīng)為)(2、FrM應(yīng)力函數(shù)在r 的冪次上比應(yīng)力高兩次，故有形式: )() ,(22frFrM由此，可假設(shè)應(yīng)力函數(shù): )(f圖4-16將上式代入相容方程得:0)()11(222222frrrr化簡(jiǎn)可得0)(4)(2244dfddfd求解可得: DCBAf2sin2cos)(（6） 該問(wèn)題是一個(gè)反對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，即 是關(guān)于的奇函數(shù)， 是關(guān)于的偶函數(shù)，由應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系可知， 應(yīng)是的奇函數(shù)，故 、rrA = 0 D = 0 應(yīng)力分量: 22222222cos2)1(02sin411rCBrrrrBrrrrr（7） 式中

33、待定系數(shù)B、C由邊界條件確定。()左右兩邊界上: 0)( , 0)(22r（8） 顯然，第一式已自動(dòng)滿足。由第二式得: cos2BC（9） ()由扇形體的力矩平衡02 2 Mrdraar（10） 此即集中力矩M轉(zhuǎn)化以后的邊界條件。 將表達(dá)式（7(c)）代入上式，積分后得 )cos(sin2MBcossincosMC將B，C代回式（7），即得英格立斯解答： 22)cos(sin)cos2(cos0 ,)cos(sin2sin2rMrMrr3. 楔形體側(cè)邊受均布荷載的問(wèn)題楔形體側(cè)邊受均布荷載的問(wèn)題（圖4-17） 兩個(gè)側(cè)面受均布剪力q，本問(wèn)題同上面兩問(wèn)題求解思路一樣。由于q的量綱是力長(zhǎng)度-2 ，故從

34、量綱分析和應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量關(guān)系可知，應(yīng)力和應(yīng)力函數(shù)有如下形式： 應(yīng)力分量： ) ,(qF應(yīng)力函數(shù)： )( ),(22frrqF可設(shè) )(2fr（11） 圖4-17代入相容方程并化簡(jiǎn)，可得 0)(4)(2244dfddfd求解可得 DCBAf2sin2cos)()2sin2cos(2DCBAr（12） 應(yīng)力分量為 CBADCBADCBArr2cos22sin2222sin22cos2222sin22cos2邊界條件： qr22)(0)(qr22)(0)(（14） 將應(yīng)力表達(dá)式代入上面邊界條件，可求解得到A、B、C、D四個(gè)待定常數(shù)，代回應(yīng)力表達(dá)式（13），即可得到應(yīng)力解答sin2sin)ctgs

35、in2cos()ctgsin2cos(qqqrr4. 半平面體邊界上受法向壓力半平面體邊界上受法向壓力 , 0對(duì)于楔頂受集中力P的問(wèn)題，令 則問(wèn)題就變?yōu)橐粋€(gè)半平面體受法向集中荷載問(wèn)題，這就是著名的符拉芒（Flamant）問(wèn)題，如圖（4-18）所示. 則應(yīng)力分量為： 0, 0cos2rrrP（4-25） 圖4-18利用坐標(biāo)變換式（見(jiàn)5-1（5-3）式或者習(xí)題（4-2），可得直角坐標(biāo)系下的分量形式 :222222222223)(2)(2)(2yxyxPyxxyPyxxPxyyx（4-25） 進(jìn)一步，利用上面的解答，通過(guò)積分，可得到半平面體在邊界上受任意法向分布力的解答。 如圖4-19所示，在半平面體區(qū)間AB段上有一法向分布力荷載 )(yq考察在AB段上任取一微荷載：qddP 借助于集中力解答（4-25），通過(guò)坐標(biāo)平移，可得到在dP作用下任一點(diǎn)M(x, y)的應(yīng)力為圖4-19222222222223)()(2)()(2)(2yxyxqddyxyxqddyxxqddxyyx對(duì)上式積分，即可求得該問(wèn)題應(yīng)力解答 abxyabyabxdyxyqxdyxyqxdyxqx - 2222 - 2222 - 2223)()(2)()(2)(2（4-26） 4-8 4-