山西省太原市2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期階段性(期中)考試試題(含解析)

1、山西省太原市 2020 屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期階段性(期中)考試試題(含解析)一、選擇題(本大題共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分，在每出的小題給四個選項(xiàng)中， 只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將其字母代碼填入下表相應(yīng)位置)1. 已知集合 M=, N=，貝U MU N=A. (0,1 ) B. (-f1)U( 2, +s)C. (- 1,0 ) D. (-f,- 2 )U (- 1, +f)【答案】 B【解析】【分析】解出集合M N,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.【詳解】M=x| 1 v x v 1, N=x|x v 0,或 x 2; MU N=x|x v 1,或 x 2= ( f, 1)U( 2,

2、 +f).故選： B【點(diǎn)睛】考查絕對值不等式和一元二次不等式的解法，描述法的定義，以及并集的運(yùn)算2. 函數(shù)的定義域是 ( )A. ( 0,1 ) B. C. D. 0,1【答案】 C【解析】【分析】求函數(shù)定義域只需保證函數(shù)各部分有意義即可【詳解】由解得0 v x w 1,所以函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?0, 1.故選： C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域的求法,一般說來給出的函數(shù)要保證函數(shù)解析式有意義3. 給定函數(shù)：；，其中在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)序號是()A. B. C. D. 【答案】 B解析】視頻4. 已知等比數(shù)列中，+=,-=，則=A. - B. C. - 4 D. 4【答案】A【解析】【分析】

3、利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公比，由此能求出結(jié)果.【詳解】t等比數(shù)列an中，ai+a2=，ai - a3=，解得，3.a 4=1X(-)=-.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求第4項(xiàng)的方法，也考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.5. 巳知函數(shù)，貝U =A. - B. 2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意先求出log 23的范圍為(1, 2),然后結(jié)合函數(shù)的解析式可得f (log 23) =f (1+log 23)【詳解】由題意可得：1 0 ,0 ,0B.0 ,0C. 0 ,0D.0, 0 ,0,當(dāng)x=0時，f (0) =b,結(jié)合函數(shù)圖象得b 0,由此利用排除

4、法能求出結(jié)果.【詳解】T函數(shù)f (X)=, X=- c時，函數(shù)值不存在，結(jié)合函數(shù)圖象得c0,排除B和D;當(dāng) x=0 時, f ( 0) =,結(jié)合函數(shù)圖象得 b 0,排除 C故選： A【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判判斷和函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，同時也考查化歸與 轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題9. 已知+1 ()在(0, +s)內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，則在-1,1上的值域?yàn)锳. - 4,0 B. - 4,1 C. - 1,3 D. , 12【答案】 B【解析】【分析】f ( x) =2x (3x- a), x ( 0, +)，當(dāng) a 0, f (0) =1,f (x)在(0, +8)上沒有零點(diǎn)；當(dāng) a0 時，f

5、 ( x) =2x (3x- a) 0 的解為 x, f (x) 在(0,)上遞減，在(，+8)遞增，由 f (x)只有一個零點(diǎn)，解得 a=3，從而f (x) =2x3- 3x2+1, f ( x) =6x (x - 1), x - 1, 1，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出 f (x )在-1, 1上的值 域即可【詳解】t函數(shù)f (x) =2x3- ax2+1 (a只)在(0, +8)內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)， f ( x) =2x (3x- a), x( 0, +8), 當(dāng) aW0 時，f( x) =2x (3x - a) 0,函數(shù)f (乂)在(0, +8)上單調(diào)遞增，f (0) =1,f (x)在(0, +

6、8)上沒有零點(diǎn)，舍去； 當(dāng) a 0 時，f( x) =2x (3x - a) 0 的解為 x, f ( x)在(0,)上遞減，在(，+8)遞增，又f (x )只有一個零點(diǎn)， f() =- +1=0,解得 a=3,32f (x) =2x - 3x+1, f ( x) =6x (x - 1), x - 1, 1,f ( x ) 0 的解集為(-1, 0),f (x)在(-1 , 0) 上遞增，在(0, 1) 上遞減，f(- 1) =- 4，f(0) =1，f(1) =0， f( x) min=f(- 1) =- 4, f(x) max=f (0) =1,故函數(shù)的值域是 - 4, 1 ,故選： B【

7、點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)行分類討論求最值,再求出值域,同時也考查邏輯思維能力和綜合應(yīng)用能力，是中檔題10. 巳知集合P= , Q=，將PUQ的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列，記為數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和，則使得 1000成立的的最大值為A. 9 B. 32 C. 35 D. 61【答案】 C【解析】【分析】數(shù)列an的前n項(xiàng)依次為：1, 2 , 3 , 22 , 5 , 7 , 23,利用分組成等差數(shù)列和等比數(shù)列的 前 n 項(xiàng)和公式求解 .【詳解】數(shù)列an的前n項(xiàng)依次為：1, 2, 3, 22, 5, 7, 23,利用列舉法可得：當(dāng)n=35時，PUQ中的所有元素從小到大依次排

8、列，構(gòu)成一個數(shù)列 an,所以數(shù)列an的前 35 項(xiàng)分別 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25,， 69， 2， 4， 8， 16， 32， 64Sn=29+ +=29+=9671000所以 n 的最大值 35.故選： C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、分組求和方法 考查了推 理能力與計算能力，屬于中檔題.11. 已知是定義在 R上的奇函數(shù)，且滿足，=1 ,數(shù)列滿足=-1,(),其中是數(shù)列的前n項(xiàng)和 則 =A. - 2 B. - 1 C. 0 D. 1【答案】 A【解析】【分析】推導(dǎo)出 Sn=2an+n 從而 an=

9、Sn- Sn-1=2an+n- 2an-1-( n- 1 ) 得 a n- 1是首項(xiàng)為- 2 公差為 2 的等比數(shù)列，求出a5= 31 ,a6=- 63 ,由f (2 x)=f(x),f (1)=1 ,得f (x)關(guān)于直線T=4，x=1對稱，由函數(shù)f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，得到函數(shù)f (x)是一個周期函數(shù)，且由此能求出 f ( a5) +f ( a6 )【詳解】數(shù)列an滿足ai=- 1, (n N+),其中S是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，/S n=2an+n,an=Sn Sn- i=2an+ n 2an -1 _ ( n 1),整理，得 =2，a i - 1= - 2, an- 1是首項(xiàng)為-2,

10、公差為2的等比數(shù)列，/an- 1= - 2x2 1 ,/a n=1 - 2x2 1.a 5=1 2X2 = 31, = 63 ,f( 2- x) =f(x), f(- 1) =1,/ f ( x )關(guān)于直線 x=1 對稱，又函數(shù)f (x)是定義在R上的奇函數(shù)函數(shù)f (x)是一個周期函數(shù)，且 T=4,/ f ( a5) +f( a6) =f (- 31 ) +f(- 63)=f( 32- 31) +f(64- 63) =f(1) +f(1) =- f(- 1)- f(- 1) =- 1- 1=- 2. 故選： A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值的求法,考查等比數(shù)列、函數(shù)的奇偶性和周期性等基礎(chǔ)知識,考 查

11、運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.12. 已知定義在(0,+ a)上的可導(dǎo)函數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是A. B. C. 【答案】 A【解析】【分析】根據(jù)條件構(gòu)造新函數(shù) g (x) =xf (x),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與選項(xiàng)即可得到結(jié)論【詳解】xf ( x) = (x- 1) f (x), f ( x) +xf ( x) =xf (x)設(shè) g( x ) =xf ( x ),則 g( x) =f ( x) +xf ( x),即 g( x) =g (x),則 g( x) =ex，則 g(x)=xf (x) =ex，則 f (x) =, (XM0),函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f ( x)=,由f

12、 ( x) 0得x 1，此時函數(shù)單調(diào)遞增，由f( x)v 0得Ov x V 1，此時函數(shù)單調(diào)遞減，即當(dāng)x=1時，函數(shù)f (x)取得極小值，所以 故選： A【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，根據(jù)條件構(gòu)造新函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的 單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大二填空題(本大題共 4小題，每小題 5分，共 20分，把答案填在題中橫線上)13. 已知集合 A= - 1, 0, 1 , B=，若 AH B=0，貝U B=;【答案】 0,3【解析】【分析】根據(jù)AH B=0可得出O B,進(jìn)而求出 m=O,解方程x2 - 3x=0即可求出集合 B.【詳解】 AH B=0 ; O B；.

13、m=0 B=0, 3.故答案為： 0 , 3 .【點(diǎn)睛】考查描述法、列舉法的定義,元素與集合的關(guān)系,交集的定義及運(yùn)算14. 已知函數(shù)在 =0 處的切線經(jīng)過點(diǎn) (1, - 1) ,則實(shí)數(shù) =；【答案】 -3【解析】【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f( 0),再求出f (0),求出切線方程，然后求解a即可;【詳解 I： y= ( ax+1) ex, f ( x) = (ax+a+1) ex, f( 0) =a+1，又 f ( 0) =1,切線方程為：y - 1= ( a+1) (x - 0)函數(shù)y= (ax+1) ex在x=0處的切線經(jīng)過點(diǎn)(1, - 1),可得：-1 -仁a+1，解得a=-3.故

14、答案為：-3.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上的某點(diǎn)處的切線方程，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法， 是中檔題15. 在數(shù)列 中， =1 ， = ()，記為數(shù)列 的前 n 和項(xiàng)，若 =，則=；【答案】 49【解析】【分析】由條件可得=，運(yùn)用數(shù)列恒等式：an=ai?，化簡可得 an=，可得=2 (),由裂項(xiàng)相消求和可 得所求和S,解方程可得n的值.【詳解】數(shù)列an中，ai=1, an=an-1 (n2),可得 =，即有an=ai?=1? ? ? = ，可得 =2()，則 Sn=2(1- +- +-)=2( 1-)，由 Sn=,即有 2 ( i )=,解得 n=49.故答案為： 49. 【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)

15、列的通項(xiàng)公式和求和，注意運(yùn)用數(shù)列恒等式和裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.16. 已知函數(shù) =，若對于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ；【答案】 (0,i)【解析】【分析】由題意設(shè)g ( x) =ex e-x- 2x , x R,貝U g (x)是定義域R上的奇函數(shù)，且為增函數(shù)；問題 等價于g (x2+a) g (- 2ax)恒成立，得出x2+a- 2ax，利用判別式0恒成立， g ( x)是定義域R上的增函數(shù)；不等式f (x2+a) +f (2ax) 2恒成立，2化為 g( x2+a) +g( 2ax) +2 2 恒成立，22即 g (x +a) g (2ax) =g (

16、2ax)恒成立，.x +a 2ax 恒成立，即 x2+2ax+a 0 恒成立； =4a 2 4av0,解得0 v a v 1,.實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0, 1).故答案為： (0， 1) 【點(diǎn)睛】本題考查了利用新構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)判定新函數(shù)的單調(diào)性和利用奇偶性來解決問題， 也考查了不等式恒成立應(yīng)用問題，是中檔題三、解答題(本大題共4小題,共40分.解答需寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17. 已知集合 A= ， B=| ；求An b；(2) 若 =，求函數(shù)的值域 .【答案】 (1)1,2) (2)【解析】【分析】(1) 分別求出集合A,B,由此能求出An B. (2)由An B=x|1xv 2

17、 , f(x)= ()乂+在1 ,2) 上是減函數(shù)，能求出函數(shù)f (x )的值域.【詳解】(1)：集合 A=x|1 v 2=x|1 xv 4, B=y|y=log 2x, x A=y|0 0,且al(1) 判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論 ; 若關(guān)于的不等式w |在-1,1上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】 (1) 偶函數(shù) (2)【解析】【分析】(1)函數(shù)f (x)是定義域 R上的偶函數(shù)，用定義法證明即可；(2)由f (x)是R上的偶函 數(shù)，問題等價于f ( x)Wx在0 , 1上恒成立；討論x=0和xM0時，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)函數(shù)f (x) =x (-)是定義域 R上的偶函數(shù)

18、，證明如下：任取 x R,貝U f (- x) = - x (-) =x (-), f ( x) - f (- x) =x (-)- x (-) =x (- 1) =0, f (- x) =f (x), f (x)是偶函數(shù)；(2)由(1)知f (x)是R上的偶函數(shù)，不等式 f (x) 1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍是,1)U( 1, +8).【點(diǎn)睛】本題考查了用定義法判斷函數(shù)的奇偶性問題和利用偶函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的范圍問題, 再轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題,進(jìn)行分類討論,是中檔題.20. 已知函數(shù) =,；(1) 討論的單調(diào)性 ; 若不等式在(0,1)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】( 1 )見解析( 2

19、)【解析】【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)后，按 aw0, 0v av, a=, a分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系 即可求單調(diào)區(qū)間(2)由(1 )的單調(diào)性分類求 f (x)的最小值，用最小值使不等式成立代替 恒成立.【詳解】(1)： f ( x) =ax2+ (1 - 2a) x - 2lnx , x 0,-f( x)=, 當(dāng) a0 時，令 f ( x) v 0,得 0 v xv 2 ;令 f ( x) 0，得 x2 ； 當(dāng) av 0 時，令 f ( x) =0,得 x=-或 x=2 ；(I)當(dāng)- 2，即-時，令 f ( x)v 0,得 0v x v 2 或 x -；令 f ( x) 0,得

20、2 v xv-；(n)當(dāng)-=2時，即a=-時，貝U f ( x) v 0恒成立；(川)當(dāng)-v 2 時，即 av-時，令 f( x) v 0,得 0 v x v-或 x 2； 令 f( x) 0, 得-v xv 2；綜上所述：當(dāng)a0時，f （x）在（0, 2）上遞減，在（2, +1 上遞增；當(dāng)-時，f （乂）在（0, 2）和（-，+R）上遞減，在（2,-）上遞增；當(dāng)a=-時，f （x ）在（0, +1上遞減；當(dāng)av-時，f （乂）在（0,-）和（2, +R）上遞減，在（-,2）上遞增.（2）由（1）得當(dāng)a-時，f （乂）在（0, 1 ）上遞減， f （ 1） =1 - a，.-;當(dāng)av-時，（I

21、）當(dāng)-w 1,即aw - 1時，f （x）在（0,-）上遞減，在（-,1 ）上遞增， f （-）=2- +2ln （- a）2- , aw- 1 符合題意；（H）當(dāng)- 1，即-1 v av-時，f （x ）在（0, 1 ）上遞增，- f （ 1） =1 - a ,.- 1 v a v-符合題意；綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-g,-.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷,先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),用二次函數(shù)開口和根的大小討論導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，注意要對a進(jìn)行分類討論，最后求最值,屬于中檔題.第 II 卷（ 選做題共 30 分）一、選擇題 （本大題共 2 小題,每小題 5 分, 滿分

22、 10 分,在每小題給出的四個選項(xiàng)中 , 只有一項(xiàng) 是符合題目要求的,請將其字母代碼填入下表相應(yīng)位置 ）21. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,1）,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 , 則點(diǎn) P 的極坐標(biāo)為A. （1 , ） B. （, ） C. （cosl , sin1） D. （cos1, sin1）【答案】 B【解析】【分析】推導(dǎo)出p =, tan 0 =1,從而 0 =，由此能求出點(diǎn) P的極坐標(biāo).【詳解】在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1, 1）,p =,tan 0 =1, .0 =.點(diǎn) P 的極坐標(biāo)為(, ).故選： B【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的極坐

23、標(biāo)的求法，直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化等基礎(chǔ)知識， 考查數(shù)形結(jié) 合思想，是基礎(chǔ)題22. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，若直線y=x與曲線（是參數(shù)，,有公共點(diǎn)，則下列說法正確的 是A. 0 t C. = D. =【答案】 B【解析】【分析】將曲線的參數(shù)方程代入直線y=x的方程，并化簡得，結(jié)合條件t 0,，于是得到0 ，于是得出答案【詳解】將代入 y=x 得 2+tcos 0 =tsin 0, 即卩 t （sin 0- cos 0）=2，所以，因?yàn)閠 0,且t，所以0.故選： B【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化,考查對公式的應(yīng)用與轉(zhuǎn)化能力,屬于中等題二、填空題 （本大題共 2 小題, 每小題

24、5 分, 滿分 10 分）23. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線：（是參數(shù)），曲線：（是參數(shù)），若曲線與相交于 A,B兩個不同點(diǎn),則 |AB|= ；【答案】【解析】【分析】首先把方程轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步利用方程組，根據(jù)一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系求出A、B的坐標(biāo)，在求出|AB|的長.【詳解】曲線 C1：（t 是參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：x- y- 1=0，曲線 C2：（0 是參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為： ，建立方程組：得至：23x2- 4x=0 ，解得：x=0 或所以：A( 0，- 1 )， B()，所以：|AB|= .故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間

25、的轉(zhuǎn)換，一元二次方程根和系數(shù) 關(guān)系的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型24. 在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,),點(diǎn)Q是曲線=2上的動點(diǎn)，則|PQ|的最大值為 ;【答案】 2【解析】【分析】直接利用方程之間的轉(zhuǎn)換，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出結(jié)果【詳解】點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)為 P( 0， 1 )，曲線 p 2 (1+s in 20) =2,轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為： ，貝點(diǎn)P (0,1 )至( 0,- 1)的距離最大.最大距離為 2故答案為: 2.【點(diǎn)睛】本題考查直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換,兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用.三、解答題 (本大題共 1 小題, 滿分 10分,

26、解答需寫出文字說明、證明過程或演算步驟 )25. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線：=0( a0)，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O 為極點(diǎn) ,x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系；(1) 求曲線,的極坐標(biāo)方程 ;已知極坐標(biāo)方程為=的直線與曲線，分別相交于P, Q兩點(diǎn)(均異于原點(diǎn) O),若|PQ|= - 1,求實(shí)數(shù) a 的值；【答案】 (1) (2)2【解析】【分析】( 1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系， 把參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.(2)利用(1) 的結(jié)論，進(jìn)一步利用極徑求出參數(shù)的值22【詳解】(1)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線G: x - 2ax+y =0 ( a0),轉(zhuǎn)換為

27、極坐標(biāo)方程為：P2=2ap cos 0,即：p =2acos0.曲線C2的參數(shù)方程為(a 為參數(shù))，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：x2+(y- 1) 2=1，轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為：P =2cos 0.(2)已知極坐標(biāo)方程為0 =的直線與曲線 G, C分別相交于P, Q兩點(diǎn)，由，得到： P()， Q()，由于： |PQ|=2 - 1 ,所以：,解得： a=2. 【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換,極徑的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力.選修45不等式選講一、選擇題 (本大題共 2 小題,每小題 5 分, 滿分 10 分,在每小題給出的四個選項(xiàng)中 , 只有一項(xiàng) 是符合題目要求的,請將其字母代碼填入下表相應(yīng)位置 )26. 不等式的解集為A. (0,1 ) B. (-a,0)U( 1 , +s)C. (- 1,0 ) D. (-a, - 1 )U( 1 , +a)【答