數(shù)學(xué)分析函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)極限函數(shù)與和函數(shù)的性質(zhì)簡化課件

1、數(shù)學(xué)分析函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)極限函數(shù)與和函數(shù)的性質(zhì)簡化2006010710.3 10.3 極限函數(shù)與和函數(shù)的性質(zhì)極限函數(shù)與和函數(shù)的性質(zhì)數(shù)學(xué)分析函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)極限函數(shù)與和函數(shù)的性質(zhì)簡化一、連續(xù)性一、連續(xù)性定理定理1.1.一一致致且且上上連連續(xù)續(xù)在在)(,)(xfIxfnn.)(上上連連續(xù)續(xù)在在則則Ixf定理定理11),()(1xSIxunn上上一一致致收收斂斂于于在在 .)(,)(IInCxSCxu 則則若若分析：分析：)()(0 xfxf )()(0 xfxfnn )()(xfxfn ),(xf收斂于收斂于數(shù)學(xué)分析函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)極限函數(shù)與和函數(shù)的性質(zhì)簡化證明：證明：)()()()()()

2、(000 xfxfxfxfxfxfnnnn )()(0 xfxf Ix 0),( )()(limunixfxfnn ,3)()(,3)()(00 xfxfxfxfnn3)()(,)(00 xfxfxxCxfnnIn時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)又又由由 )()(0 xfxf, 0IxNnN 時(shí)時(shí) 數(shù)學(xué)分析函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)極限函數(shù)與和函數(shù)的性質(zhì)簡化例例1.1. .）一一致致收收斂斂，在在（ 12cosnnnx連連續(xù)續(xù)在在),()( xS.)(lim,cos3)(120 xSxnxxSxnnn 求求 ,3)(nnxxu .2, 2,32| )(| ,2一致收斂一致收斂在在時(shí)時(shí) nnxux,2, 2)(連連續(xù)續(xù)在在 x

3、S433)1()1()(01lim nnnxSxS數(shù)學(xué)分析函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)極限函數(shù)與和函數(shù)的性質(zhì)簡化例例2.2.內(nèi)閉一致收斂內(nèi)閉一致收斂.,), 0()(1不一致收斂不一致收斂在在 nnxnexS一一致致收收斂斂但但是是在在), .), 0()(,),)(連連續(xù)續(xù)在在任任意意性性由由連連續(xù)續(xù)在在 xSxS .不不一一致致收收斂斂在在),(ln)(2 nnnxxS).,()(, CxSM任任意意性性由由連連續(xù)續(xù)在在一一致致收收斂斂但但在在,)(,MMxSMM 數(shù)學(xué)分析函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)極限函數(shù)與和函數(shù)的性質(zhì)簡化2.2.Dini定理：定理：?)(級(jí)數(shù)一致收斂級(jí)數(shù)一致收斂連續(xù)連續(xù)xS定理定理2 2

4、： ,)(baxbaCxfn 如任意給定如任意給定 . 0)(一一致致收收斂斂于于則則xfn證明：證明：若不然，若不然， , 0)(在上不一致收斂于在上不一致收斂于xfn, 0)(遞減遞減xfn 使使和和點(diǎn)點(diǎn)列列及及子子列列, 00baxnkk 2 , 1)(0 kxfknk 有有收收斂斂子子列列kx,0limbaxxkk 不不妨妨設(shè)設(shè)知知由由 nkfnn,0)()( knknxfxfk nxfkn，再再令令令令00)(, 00)( xf矛盾！矛盾！數(shù)學(xué)分析函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)極限函數(shù)與和函數(shù)的性質(zhì)簡化定理定理22 ),(,)(xfbaCxfn且且函函數(shù)數(shù)收收斂斂于于 ,)(,單單調(diào)調(diào)若若對對任

5、任意意給給定定xfxn ).(,)(xfbaxfn上上一一致致收收斂斂于于在在則則定理定理2 2（級(jí)數(shù)形式）（級(jí)數(shù)形式）. 0)(,)(, )(1 xubaCxuxunnnn且且.,)(,)(1上上一一致致收收斂斂在在則則若若其其和和baxubaCxSnn ,baCf 數(shù)學(xué)分析函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)極限函數(shù)與和函數(shù)的性質(zhì)簡化二、逐項(xiàng)積分二、逐項(xiàng)積分1.1.函數(shù)列：函數(shù)列：定理定理3 3：極限與積分交換極限與積分交換 ),()(,xfxfbaRfuninn 且且設(shè)設(shè) babannxxfxxfd)(d)(lim且且證明：證明：略略 則則且且設(shè)設(shè)),(,xffbaCfuninn babannxxfxxf

6、d)(d)(lim推論推論,baRf 則則數(shù)學(xué)分析函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)極限函數(shù)與和函數(shù)的性質(zhì)簡化2.2.級(jí)數(shù)形式：級(jí)數(shù)形式：定理定理33, ,)( ),()(1baRxuxSxunnn 一一致致收收斂斂設(shè)設(shè) banbannnxxuxxubaRxS11d)(d)(,)(且且則則推論推論,)(,)(1baCxubaxunnn 一致收斂一致收斂在在設(shè)設(shè) 11d)(d)(nbanbannxxuxxu則則基本要求基本要求: : 一致收斂一致收斂+ +可積可積可逐項(xiàng)積分可逐項(xiàng)積分?jǐn)?shù)學(xué)分析函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)極限函數(shù)與和函數(shù)的性質(zhì)簡化例例2.2.d)(,cos)(012 xxfnnxxfn求求解解: :, 0

7、由級(jí)數(shù)在由級(jí)數(shù)在一致收斂，一般項(xiàng)連續(xù)一致收斂，一般項(xiàng)連續(xù), ,可逐項(xiàng)積分可逐項(xiàng)積分. 0dcosd)(1020 nxnnxxxf 數(shù)學(xué)分析函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)極限函數(shù)與和函數(shù)的性質(zhì)簡化三、逐項(xiàng)求導(dǎo)三、逐項(xiàng)求導(dǎo) 1.1.函數(shù)列形式：函數(shù)列形式：定理定理4 4：,baCfn 設(shè)設(shè)),(,)(xgbaxfn一一致致收收斂斂于于在在 收斂收斂)(,00 xfbaxn ),(,)(xfbaxfn上上一一致致收收斂斂于于在在則則 ),()( xgxf ,bax 且且對對.)(lim)(lim xfxfnnnn 即即數(shù)學(xué)分析函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)極限函數(shù)與和函數(shù)的性質(zhì)簡化證明：證明：,首先證一致收斂首先證一致收斂

8、 )()(xfxfnm),(2)()(100Nnmxfxfnm 據(jù)據(jù)),(12)()(2baxNnmabxfxfmn 據(jù)據(jù) 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)NnmNNN ,max21,d)()()(00 xxnnnttfxfxf xxmmmttfxfxf0d)()()(0 xxnmnmnmttftfxfxfxfxf0d)()()()()()(00.22)()(200 abxxdttftfxxnm數(shù)學(xué)分析函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)極限函數(shù)與和函數(shù)的性質(zhì)簡化)()(limxfxfnn 設(shè)設(shè)由積分換序定理：由積分換序定理：).()()()(lim00 xfxfxfxfnnn ,d)(d)(lim00 xxxxnnttgttf xx

9、ttgxfxf0d)()()(0)()( xgxf 數(shù)學(xué)分析函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)極限函數(shù)與和函數(shù)的性質(zhì)簡化定理定理44:)(1滿足條件滿足條件如如 nnxu, )(,)(1xgbaxunn上上一一致致收收斂斂于于在在 2.2.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)形式：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)形式：,baCun ,)(01處收斂處收斂至少一點(diǎn)至少一點(diǎn)xxunn ,)( ,)(baCxSbaxun 其其和和一一致致收收斂斂在在則則),()( xgxS 且且即有：即有： 11)()(nnnnxuxu數(shù)學(xué)分析函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)極限函數(shù)與和函數(shù)的性質(zhì)簡化例例3.3. )(,),(sin)(14xfnnxxfn并求并求連續(xù)導(dǎo)函數(shù)連續(xù)導(dǎo)函數(shù)上有二階上有二階在在證明證明 4sin)(nnxxun 解：解：).,( ,cos)(131 一一致致收收