高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義課件

1、高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義1高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義2前言前言 在第二章中討論了求已知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的問題在第二章中討論了求已知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的問題,在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域 中中,還常常遇到相反的問題還常常遇到相反的問題.即即已知一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)已知一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù),如何求這個函數(shù)如何求這個函數(shù)? 如如:一質(zhì)點作非勻速直線運動的規(guī)律為一質(zhì)點作非勻速直線運動的規(guī)律為s=s(t),則在時刻則在時刻t的速度的速度v v 反之反之,若已知質(zhì)點運動的速度為若已知質(zhì)點運動的速度為v(t),如何求如何求質(zhì)點的運動規(guī)律質(zhì)點的運動規(guī)律s=s(t)? 這在數(shù)學(xué)上歸結(jié)為這在數(shù)學(xué)上歸結(jié)為求導(dǎo)運算的逆運算求導(dǎo)運算的逆運算,稱之

2、稱之為不定積分法為不定積分法.)()(tStV 高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義3例 S(t)是v(t)的原函數(shù) xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù). )0(1ln xxxxln是是x1在在區(qū)區(qū)間間), 0(內(nèi)內(nèi)的的原原函函數(shù)數(shù).定義定義Definition ：一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念 Concept of Concept of antiderivative and indefinite integralantiderivative and indefinite integral高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義4原函數(shù)存在原函數(shù)存在定理定理 theorem簡

3、言之：簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問題：問題： (1) 原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？例 xxcossin xCxcossin （ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C使使Ix ，都都有有)()(xfxF . .(2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義5關(guān)于原函數(shù)的說明：關(guān)于原函數(shù)的說明：（1）若）若 ，則對于任意常數(shù)，則對于任意常數(shù) ，)()(xfxF CCxF )(都是都是)(xf的原函數(shù)的原函數(shù).（2）若）若 和和 都是都是 的原數(shù)，的原數(shù)，)(xF)(xG)(xf則則CxGxF )()(（C 為某個常數(shù)）為某個常數(shù)）證證P

4、roof )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（C 為某個常數(shù)）為某個常數(shù)）若若F(x)是是f(x) 的一個原函數(shù)，則的一個原函數(shù)，則F(x)+c就是就是f(x)的全體原函數(shù)的全體原函數(shù). (c為任意常數(shù)為任意常數(shù))高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義6任意常數(shù)任意常數(shù)積分號積分號被積函數(shù)被積函數(shù)不定積分的定義：不定積分的定義：Definition of indefinite integral ：CxFdxxf )()(被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量函函數(shù)數(shù))(xf的的帶帶有有任任意意稱稱為為)(xf在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)的的高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義7例例 Ex

5、ample Example 1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例 Example Example 2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義8例例 Example 3Example 3 設(shè)曲線通過點（設(shè)曲線通過點（1，2），且其上），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍，求任一點處的切線斜率等于這點橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程此曲線方程.解解 solution設(shè)曲線方程為設(shè)曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的的一一個個原原函函數(shù)數(shù).,22

6、 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲線通過點（由曲線通過點（1，2）, 1 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義9設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)為為F(x),則則y=F(x)的的 圖圖形形稱稱為為)(xf的的積積分分曲曲線線. 顯然，求不定積分得到一積分曲線族顯然，求不定積分得到一積分曲線族. Y=F(x)+C的圖形是的圖形是f(x)的全部積分曲線所構(gòu)的全部積分曲線所構(gòu)成的積分曲線族成的積分曲線族. 積分曲線族里所有積分曲線在點積分曲線族里所有積分曲線在點x處的切線處的切線彼此平行，斜率均為彼此平行，斜率均為f(x). )()(xfCxF如下圖如下

7、圖高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義10 xyoxy=F(x)高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義11( )( ),df x dxf xdx ( )( ),df x dxf x dx ( )( ),F x dxF xC ( )( ).dF xF xC 結(jié)論：結(jié)論： 微分運算與求不定積分的運算是微分運算與求不定積分的運算是的的.由不定積分的定義，可知由不定積分的定義，可知如初等數(shù)學(xué)中如初等數(shù)學(xué)中:(0)nnxx x()()nnxx xoxaxa loglog(0)axax x 與與與與arcsin(sinx)=x (x為為弧度），sin(arcsinx)=x(x為實數(shù)）乘方與開方互逆乘方與開方互逆指數(shù)與對數(shù)互逆指

8、數(shù)與對數(shù)互逆高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義12實例實例 xx 11.11Cxdxx 啟示啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論結(jié)論既然積分運算和微分運算是互逆的，既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.)1( 二、二、 基本積分表基本積分表 Fundamental integral tableFundamental integral table 高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義13基本積分表基本積分表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3( Cxxdx說明：說明： , 0 x

9、,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx簡寫為簡寫為.ln CxxdxCxdxx 21 cxdxcxdxx 112，0dx C高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義14 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(cos;xC xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csccot;xC (或或-arccotx+C)(或或-arccosx+C)高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義15 xdxxtansec)10(;secCx xdxxco

10、tcsc)11(csc;xC dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdxsinh)14(;coshCx xdxcosh)15(;sinhCx 高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義16例例 ExampleExample 4 4 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根據(jù)積分公式（根據(jù)積分公式（2）Cxdxx 11 高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義17 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf證證Proof dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的

11、情況）（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）三、三、 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) Properties Properties of indefinite integralof indefinite integral 高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義18 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k例例Example Example 5 5 求積分求積分解解Solution .)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C （性質(zhì)（性質(zhì)（1）（）（2）稱為線性性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)與積分都具有）稱為線性性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)與積

12、分都具有線性運算性質(zhì)線性運算性質(zhì),但但sin(x+y) sinx+siny,ln(x+y) lnx+lny都是非線性運算）都是非線性運算） 高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義19例例 Example 6Example 6 求積分求積分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx 高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義20例例 Example 7Example 7 求積分求積分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1C

13、xx 例例 Example 8dxxx 241dxxx 24111dxxx)111(22 cxxx arctan33高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義21例例9.dxxxx)1)(1( dxxxx)11(23 dxxxdxdxdxx 231cxxxx 2552212221例例10.dxxx 33)1(dxxxxx 332331dxxxxx)33(38353231 cxxxx 311383532113895923cxxxx )111835321(33232高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義22例例11.dxxxx dxx 814121dxx 87cx 815158例例12.dxxxex)2cos3( cxxex

14、 ln2sin3例例13.dxexx2)2( dxeexxxx 22)(22)2( dxeexxx 2)2(24ceeeexxx 22ln)()2ln()2(24ln4ceexxxx 22ln122ln2421高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義23例例14xdx 2tandxx)1(sec2 cxx tan例例15dxxx 22cossin1dxxxxx 2222cossincossindxxdxx 22sin1cos1cxx cottan例例16dxxx 2sincos122dxxxx )cos1(21)cos1)(cos1( dxx)cos1(2cxx )sin(2（檢驗結(jié)果是否正確，只要把結(jié)果求

15、導(dǎo)，看它是否（檢驗結(jié)果是否正確，只要把結(jié)果求導(dǎo)，看它是否等于被積函數(shù)即可。）等于被積函數(shù)即可。）高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義24例例 Example Example 17 求積分求積分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 說明說明Directions ：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表恒等變形，才能使用基本積分表.高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義25例例 Example 18Example 18 已知一曲線已知一曲線)(xfy 在點在點)(,(xfx處的切線斜率為處的切線斜率

16、為xxsinsec2 ， 且此曲， 且此曲線與線與y軸的交點為軸的交點為)5 , 0(，求此曲線的方程，求此曲線的方程. 解解Solution ,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx , 5)0( y, 6 C所求曲線方程為所求曲線方程為. 6costan xxy高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義26基本積分表基本積分表 (1)不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念原函數(shù)的概念)()(xfxF 不定積分的概念不定積分的概念 CxFdxxf)()(求微分與求積分的互逆關(guān)系求微分與求積分的互逆關(guān)系四、四、 小結(jié)小結(jié) Brief summaryBrief summa

17、ry高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義27思考題思考題Consideration question符號函數(shù)符號函數(shù)Sign function 0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf在在 內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？),( 高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義28思考題解答思考題解答 Solution to consideration question不存在不存在.假設(shè)有原函數(shù)假設(shè)有原函數(shù))(xF 0,0,0,)(xCxxCxCxxF但但)(xF在在0 x處處不不可可微微，故假設(shè)錯誤故假設(shè)錯誤所以所以 在在 內(nèi)不存在內(nèi)不存在原函數(shù)原函數(shù) .),( )(xf結(jié)論結(jié)論每一個含有每一個含

18、有第一類間斷點第一類間斷點的函數(shù)都的函數(shù)都沒有原函數(shù)沒有原函數(shù).高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義29練習(xí)題練習(xí)題Exercises 高等數(shù)學(xué)41不定積分的定義306 6、 dxxx_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；7 7、 xxdx2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；8 8、 dxxx)23(2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；9 9、 dxxx) 1)(1(3_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；1 10 0、 dxxx2)1 (= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二、求求下下列列不不定定積積分分： 1 1. . dxxx221 2 2. .