高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)[2]課件

1、高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2第十一章第十一章 無無 窮窮 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義及性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義及性質(zhì) 2斂散性定義斂散性定義 3性質(zhì)性質(zhì) 必要性必要性: 線性運(yùn)算性質(zhì)線性運(yùn)算性質(zhì): 則級(jí)數(shù)收斂，否則級(jí)數(shù)發(fā)散。則級(jí)數(shù)收斂，否則級(jí)數(shù)發(fā)散。 lim0.nna 設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù) 為常數(shù)為常數(shù) 11,nnnnusv 則則 1()nnnuvs 設(shè)設(shè) ，如果，如果 存在，存在， 1nnnkSa limnnSs 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 收斂收斂 1nna 1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1nna 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)23常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)類型常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)類型 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任

2、意項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1nna 0na ( 1),0nnnnauu naR 二、判別常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的解題方法二、判別常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的解題方法 若成立，則需作進(jìn)一步的判別。若成立，則需作進(jìn)一步的判別。 判別常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)判別常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1nna 的斂散性，應(yīng)先考察是否有的斂散性，應(yīng)先考察是否有 成立。若不成立，則可判定級(jí)數(shù)發(fā)散；成立。若不成立，則可判定級(jí)數(shù)發(fā)散；lim0nna 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2此時(shí)可將常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)分為兩大類，即正項(xiàng)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)。此時(shí)可將常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)分為兩大類，即正項(xiàng)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)。 對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，可優(yōu)先考慮應(yīng)用比值法或根值法。若此對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，可優(yōu)先考慮應(yīng)用比值法或根值法

3、。若此二方法失效，則可利用比較法（或定義）作進(jìn)一步判別；二方法失效，則可利用比較法（或定義）作進(jìn)一步判別； 若不收斂，但級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，可考慮應(yīng)用萊布尼茲判若不收斂，但級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，可考慮應(yīng)用萊布尼茲判別法，若能判別級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù)條件收斂；別法，若能判別級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù)條件收斂； 對(duì)于一般的任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，則可考慮利用利用級(jí)數(shù)收斂定義、對(duì)于一般的任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，則可考慮利用利用級(jí)數(shù)收斂定義、性質(zhì)等判別。性質(zhì)等判別。 解題方法流程圖如下圖所示。解題方法流程圖如下圖所示。 對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，一般應(yīng)先考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，一般應(yīng)先考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù) 是否收斂。是否收斂。若收斂，則可判定原級(jí)數(shù)收斂，且為

4、絕對(duì)收斂；若收斂，則可判定原級(jí)數(shù)收斂，且為絕對(duì)收斂； 1nna 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2解題方法流程圖解題方法流程圖 Yes判斷判斷 的斂散性的斂散性1nna 比值法比值法根值法根值法比較法比較法 1 找正項(xiàng)收斂找正項(xiàng)收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)1nnb 找正項(xiàng)發(fā)散找正項(xiàng)發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)1nnc 用其它方用其它方法證明法證明0na lim0nna No 1|nna 1limnnnaa limnnna 1 1 ( 1)nnnau 萊布尼茲判別法萊布尼茲判別法 nnab YesNoNoNoYesNoYesNoYes 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nna 為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1nna 發(fā)散發(fā)散1nna 收斂收斂1nna 收斂收斂

5、1nna 發(fā)散發(fā)散1nna 條件收斂條件收斂1nna 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂1nna 為交錯(cuò)級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)1nna 收斂收斂1|nna 且且 lim0nnu 1,nnuu nnca 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2一、冪級(jí)數(shù)一、冪級(jí)數(shù) 1冪級(jí)數(shù)的基本概念冪級(jí)數(shù)的基本概念(1) 冪級(jí)數(shù)的定義冪級(jí)數(shù)的定義： (2) 收斂半徑：收斂半徑： 或或nnnxa 000()nnnaxx 收斂區(qū)間：收斂區(qū)間： ),(RR 存在正數(shù)存在正數(shù) (0)RR 當(dāng)當(dāng) 冪級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)冪級(jí)數(shù)收斂，當(dāng) 冪級(jí)數(shù)發(fā)散，冪級(jí)數(shù)發(fā)散，Rx |Rx |稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂域：收斂點(diǎn)的全體收斂域：收斂點(diǎn)的全

6、體 ),(RR ),RR ,(RR ,RR 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)22冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì) （1）連續(xù)性：）連續(xù)性： （2）可導(dǎo)性：）可導(dǎo)性： （3）可積性：）可積性： 0000lim( )lim()()nnxxxxnS xa xS x 0(,)xR R ),(RRx 1001( )()()nnnnnnnnnS xa xa xna x ),(RRx 1000001)( nnnnnxnxnnnxnadxxadxxa(3) 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)： ),(RRx nnnxaxS 0)(高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)23冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間（收斂域）的求法冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間（收斂域

7、）的求法求冪級(jí)數(shù)的收斂域，通常有三種基本類型，即求冪級(jí)數(shù)的收斂域，通常有三種基本類型，即 型、型、 0nnna x 型和缺冪型，還有一種特殊的非冪函數(shù)型。型和缺冪型，還有一種特殊的非冪函數(shù)型。 00()nnnaxx 對(duì)于對(duì)于 型，通過求型，通過求 ，得半徑，得半徑 ， 0nnna x 1limnnnaa 1R 然后討論然后討論 處的斂散性，從而得收斂域；處的斂散性，從而得收斂域；xR 對(duì)于缺冪型，可采用比值法，先求出收斂半徑，再討論對(duì)于缺冪型，可采用比值法，先求出收斂半徑，再討論xR 處的斂散性，從而得收斂域。處的斂散性，從而得收斂域。 解題方法流程圖如下。解題方法流程圖如下。對(duì)于對(duì)于 型，令

8、型，令 , 化為化為 型型, 可得收斂域；可得收斂域；0txx0nnna t 00()nnnaxx 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2解題方法流程圖解題方法流程圖 求冪級(jí)數(shù)收斂域求冪級(jí)數(shù)收斂域 判別冪級(jí)數(shù)類型判別冪級(jí)數(shù)類型 收斂域收斂域 收斂域收斂域 00()nnnaxx令令 0txx 0nnna t 討論討論 處的斂散性處的斂散性xR ， ，其它，其它 20nnna x 210nnna x 0()nnux 討論討論 處的斂散性處的斂散性 xR 1mR 當(dāng)當(dāng) 時(shí)收斂時(shí)收斂當(dāng)當(dāng) 時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散1|mx 1|mx 1( )lim|( )mnnnuxxux 0nnna y用比值法用比值法 令令 2yx 0nnna x

9、 1limnnnaa 1R 123高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)24冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，最常用的方法是首先對(duì)給定的求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，最常用的方法是首先對(duì)給定的冪級(jí)數(shù)進(jìn)行恒等變形，然后采用冪級(jí)數(shù)進(jìn)行恒等變形，然后采用“先求導(dǎo)后積分先求導(dǎo)后積分”或或“先先積分后求導(dǎo)積分后求導(dǎo)”等技巧，并利用與形如等技巧，并利用與形如 （或（或 等）等） 0nnx 0!nnnx冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，求出其和函數(shù)。冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，求出其和函數(shù)。解題方法流程圖如下圖所示。解題方法流程圖如下圖所示。 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2求求 的和函數(shù)的和函數(shù)0nnna x 0nnna xS x 0nnnS xa x 令令No

10、YesYesNo能直接求能直接求出和函數(shù)出和函數(shù)恒等變換恒等變換直接求和直接求和逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分Yes 10 xS xSx dx 1S xSx 10nnnSxb x 能直接求出能直接求出和函數(shù)和函數(shù) 1Sx 100 xnnnSx dxb x No 0nnna xS x YesNo能直接求出能直接求出和函數(shù)和函數(shù) 1Sx解題方法流程圖解題方法流程圖高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2二、函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)二、函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù) 1泰勒級(jí)數(shù)定義：泰勒級(jí)數(shù)定義：稱為稱為 在點(diǎn)在點(diǎn) 的泰勒級(jí)數(shù)。的泰勒級(jí)數(shù)。 nnnxxnxf)(!)(000)( )(xf0 x 2麥克勞林級(jí)數(shù)定義

11、：麥克勞林級(jí)數(shù)定義：稱為稱為 的麥克勞林級(jí)數(shù)。的麥克勞林級(jí)數(shù)。 nnnxnf 0)(!)0()(xf高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)23將函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)將函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)(冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù))直接展開法：直接展開法是通過函數(shù)求在給定點(diǎn)的各階直接展開法：直接展開法是通過函數(shù)求在給定點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)，寫出泰勒展開式。導(dǎo)數(shù)，寫出泰勒展開式。 間接展開法：間接展開法通常要先對(duì)函數(shù)間接展開法：間接展開法通常要先對(duì)函數(shù) 進(jìn)行恒等進(jìn)行恒等)(xf變形，然后利用已知展式（如函數(shù)變形，然后利用已知展式（如函數(shù) ，11x ,xesin , x(1)mx 的展開式等）或利用和的展開式等）或利用和函數(shù)的性質(zhì)（求導(dǎo)數(shù)或積分），將函數(shù)展函數(shù)

12、的性質(zhì)（求導(dǎo)數(shù)或積分），將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)。開成冪級(jí)數(shù)。 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2求求 的冪級(jí)數(shù)展開式的冪級(jí)數(shù)展開式)(xf關(guān)于關(guān)于 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)x對(duì)對(duì) 求導(dǎo)求導(dǎo))(xf對(duì)對(duì) 積分積分)(xf)()(00 xxxfxf令令0yxx )()(yxfyg0將將 展成展成 的的冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù))(ygy)()(0nf 求求( )0(0)!nnnfxn 直接展開法直接展開法間接展開式間接展開式對(duì)對(duì) 進(jìn)行恒等變形進(jìn)行恒等變形)(xf能利用已能利用已知展開式知展開式令令0( )( )xg xf x dx nnnxbxg0)(10nnnxnbxgxf)()(令令( )( )g xfx 0( )nnng xb x

13、1001nxnnxnbdxxgxf)()(寫出寫出 的的 展開式展開式)(xfYes關(guān)于關(guān)于 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù))(0 xxnnnxnfxf00!)()()(NoNo解題方法流程圖解題方法流程圖高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2幾個(gè)重要函數(shù)的麥克勞林展開式幾個(gè)重要函數(shù)的麥克勞林展開式 0!1nnxxne)( x 012)!12()1(sinnnnnxx 02)!2()1(cosnnnnxx1)1()1()1ln(1011 nxnxxnnnnnn)11( x 011nnxx)11( x 0)1(11nnnxx nxnnxxx!) 1() 1(! 2) 1(1)1 (2 )( x)( x)11( x高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)

14、2三、傅里葉級(jí)數(shù)三、傅里葉級(jí)數(shù) 1傅里葉級(jí)數(shù)的類型：傅里葉級(jí)數(shù)的類型： 且在且在（1）傅里葉級(jí)數(shù)：設(shè)）傅里葉級(jí)數(shù)：設(shè) 是以是以 為周期的函數(shù)，為周期的函數(shù)， )(xf 2上可積，稱上可積，稱 , 10)sincos(2nnnnxbnxaa為為 傅里葉級(jí)數(shù)，其中傅里葉級(jí)數(shù)，其中 )(xf ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann稱為稱為 傅里葉系數(shù)。傅里葉系數(shù)。)(xf高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2（2） 正弦級(jí)數(shù)：正弦級(jí)數(shù)： 1sinnnbnx （3） 余弦級(jí)數(shù)：余弦級(jí)數(shù)： 01cos2nnaanx 2收斂定理（狄利克雷充分條件）：收斂定

15、理（狄利克雷充分條件）： 設(shè)設(shè) 是以是以 為周期的函數(shù)，如果它滿足條件：為周期的函數(shù)，如果它滿足條件： )(xf 2在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，并且至多在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，并且至多 只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則 的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，并且：的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，并且： )(xf 當(dāng)當(dāng) 是是 的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于 ； x)(xf)(xf 當(dāng)當(dāng) 是是 的間斷點(diǎn)時(shí)，收斂于的間斷點(diǎn)時(shí)，收斂于 。 x)(xf2)0()0( xfxf高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)23如何把函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)如何把函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)把給定的函數(shù)把給定的函數(shù) 展開成傅立葉

16、級(jí)數(shù)，首先要判斷展開成傅立葉級(jí)數(shù)，首先要判斷)(xf)(xf是否為周期函數(shù)；如果是否為周期函數(shù)；如果 以以 為周期，那么在定義域?yàn)橹芷?，那么在定義域 )(xf2 (2 )l (,) 內(nèi)，可把內(nèi)，可把 展開成展開成 為周期的傅立葉級(jí)數(shù)；為周期的傅立葉級(jí)數(shù)； )(xf2 (2 )l 的特點(diǎn)（的特點(diǎn)（ 或或 ），對(duì)），對(duì) 進(jìn)行周期延拓、奇延拓進(jìn)行周期延拓、奇延拓 ,ll 0, l)(xf)(xf展開成展開成 為周期的傅立葉級(jí)數(shù)、為周期的傅立葉級(jí)數(shù)、2 (2 )l 或偶延拓，再把或偶延拓，再把 正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)，最后限制在定義域上。正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)，最后限制在定義域上。如果如果 不是以不是以 為周

17、期的函數(shù)，則要判別為周期的函數(shù)，則要判別 定義域定義域 2 (2 )l )(xf)(xf高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2將將 展開成付氏級(jí)數(shù)展開成付氏級(jí)數(shù)( )f x確定確定 在在 上的解析式上的解析式( )f x0 , ) l展成余弦級(jí)數(shù)展成余弦級(jí)數(shù)展成正弦級(jí)數(shù)展成正弦級(jí)數(shù)對(duì)對(duì) 進(jìn)行偶延拓進(jìn)行偶延拓( )f x 02( )costnn xaf xdxll 01cos2nnanxal 利用收斂定理利用收斂定理標(biāo)明成立范圍標(biāo)明成立范圍01( )cos2nnan xf xal 對(duì)對(duì) 進(jìn)行奇延拓進(jìn)行奇延拓( )f x 02( )sintnn xbf xdxll 1sinnnnxbl利用收斂定理利用收斂定理標(biāo)明成立

18、范圍標(biāo)明成立范圍1( )sinnnn xf xbl確定確定 在在 上的解析式上的解析式( )f x , l l確定確定 在在 上的解析式上的解析式( )f x(, )l l利用收斂定理利用收斂定理標(biāo)明成立范圍標(biāo)明成立范圍01( )( cossin)2nnnan xn xf xabll 對(duì)對(duì) 進(jìn)行周期延拓進(jìn)行周期延拓( )f x 1( )costntn xaf xdxll1( )sintntn xbf xdxll 01(cossin)2nnnan xn xabll 利用收斂定理利用收斂定理標(biāo)明成立范圍標(biāo)明成立范圍01( )( cossin)2nnnan xn xf xabll YesNoNo 以

19、以2l 為周期為周期( )f x解題方法流程圖解題方法流程圖 1( )costntn xaf xdxll1( )sintntn xbf xdxll 01(cossin)2nnnan xn xabll 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2三、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)典型例題三、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)典型例題 ，由定義，由定義 2231223341(1)()()()3333333nnnnnS 113nn 1limlim(1)13nnnnnSS 所以原級(jí)數(shù)收斂，且和為所以原級(jí)數(shù)收斂，且和為1。 【例【例1】判別級(jí)數(shù)】判別級(jí)數(shù) 的收斂性，并求級(jí)數(shù)的和。的收斂性，并求級(jí)數(shù)的和。1213nnn 分析：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于分析：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由

20、于12131133333nnnnnnnnnnna 因此可利用定義求。因此可利用定義求。解：解： 由于由于12131133333nnnnnnnnnnna 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)211limlimnxnxnx 01e 11lnlimlnlimxxxxxxee1lim01xxeelim10nna由級(jí)數(shù)收斂的必要條件，原級(jí)數(shù)發(fā)散。由級(jí)數(shù)收斂的必要條件，原級(jí)數(shù)發(fā)散。 【例【例2】判別級(jí)數(shù)】判別級(jí)數(shù) 的收斂性。的收斂性。111()nnnnnnn 分析：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因?yàn)榉治觯捍思?jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因?yàn)?分別求分分別求分11211()(1)nnnnnnnnnannn 子、分母的極限不為子、分母的極限不為0，由級(jí)數(shù)

21、收斂的必要條件，原級(jí)數(shù)發(fā)散。，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件，原級(jí)數(shù)發(fā)散。解：解： 因?yàn)橐驗(yàn)?1211()(1)nnnnnnnnnannn 而而212211lim(1)lim(1) nnnnnnn 型型高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)26175limlim165( )1( )77nnnnnnn 故由比較審斂法的極限形式，原級(jí)數(shù)收斂。故由比較審斂法的極限形式，原級(jí)數(shù)收斂。 【例【例3】判別級(jí)數(shù)】判別級(jí)數(shù) 的收斂性。的收斂性。1675nnnn 分析：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，根據(jù)分析：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，根據(jù) 的形式，可用的形式，可用 675nnnna 比較審斂法，也可采用比值審斂法。比較審斂法，也可采用比值審斂法。解法解法1：此級(jí)

22、數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，675nnnna 而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù) 為等比級(jí)數(shù)收斂，為等比級(jí)數(shù)收斂， 16( )7nn 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2解法解法2：由比值審斂法：由比值審斂法1111675limlim675nnnnnnnnnnaa 116(75 )lim75nnnnn 156(1( ) )67lim1571( )7nnn 故由比值審斂法知原級(jí)數(shù)收斂。故由比值審斂法知原級(jí)數(shù)收斂。高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2,由于由于 1111 2( 1)limlim32( 1)nnnnnnanan 故轉(zhuǎn)到應(yīng)用比較判別法。由于故轉(zhuǎn)到應(yīng)用比較判別法。由于 【例【例4】判別級(jí)數(shù)】判別級(jí)數(shù) 的收斂性。的收斂性。12( 1) 3n

23、nnn 而而112( 1)lim1,lim2( 1)nnnnnn 不存在不存在 ，所以，所以 不存在。不存在。 1limnnnaa 2( 1) 3nnnna 分析：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)分析：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè) 12( 1) 21 = 333nnnnnnnnnab 而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù) 收斂，從而級(jí)數(shù)收斂，從而級(jí)數(shù) 收斂；收斂； 1nnb 1nna 或?qū)⒒驅(qū)?拆成兩個(gè)級(jí)數(shù)，拆成兩個(gè)級(jí)數(shù)， 分別判定級(jí)數(shù)的收斂性。分別判定級(jí)數(shù)的收斂性。 na2( 1) 33nnnnnna 同理同理 極限也不存在，即不能應(yīng)用比值和根值判別法，極限也不存在，即不能應(yīng)用比值和根值判別法， limnnna 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2,由

24、于由于 12( 1) 33nnnnnnnab 解法解法1：設(shè)：設(shè)2( 1) (1,2,)3nnnnan 而由比值法而由比值法 11113limlim133nnxxnnnbnb 易知級(jí)數(shù)易知級(jí)數(shù) 收斂收斂,1113nnnnnb 故由級(jí)數(shù)的比較判別法知，級(jí)數(shù)故由級(jí)數(shù)的比較判別法知，級(jí)數(shù) 收斂。收斂。1nna 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2解法解法2：因?yàn)椋阂驗(yàn)?( 1)33nnnnnna 所以，分別考慮所以，分別考慮 和和 的斂散性。的斂散性。123nnn 1( 1)3nnnn 對(duì)于對(duì)于11( 1)33nnnnnnn 由比值法由比值法 11113limlim133nnxxnnnbnb 知知 收斂，所以，收斂，

25、所以， 絕對(duì)收斂；絕對(duì)收斂； 1( 1)3nnnn 1( 1)3nnnn 同理得同理得 收斂，可知原級(jí)數(shù)收斂。收斂，可知原級(jí)數(shù)收斂。 123nnn 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2111 211limlimlim1222nnnnnnnvnnvnn 12nnn 收斂，故由比較審斂法，原級(jí)數(shù)收斂。收斂，故由比較審斂法，原級(jí)數(shù)收斂?！纠纠?】判別級(jí)數(shù)】判別級(jí)數(shù) 的收斂性。的收斂性。21cos32nnnn 分析：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)分析：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 由由 的形式，利用比值的形式，利用比值2cos32nnnna 法和根值法均不合適，由于法和根值法均不合適，由于 , 可采用比較法。可采用比較法。 2cos322n

26、nnnnna 解：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，解：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)， 2cos322nnnnnna 2nnnv 令令 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2注：應(yīng)用比較法判斷一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)注：應(yīng)用比較法判斷一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 的斂散性，最關(guān)鍵的斂散性，最關(guān)鍵1nna 問題是熟練掌握一批已知正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性（如幾何級(jí)數(shù)，問題是熟練掌握一批已知正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性（如幾何級(jí)數(shù)， p 級(jí)數(shù)等），然后根據(jù)級(jí)數(shù)等），然后根據(jù) 的特點(diǎn)，進(jìn)行有針對(duì)性的放縮。的特點(diǎn)，進(jìn)行有針對(duì)性的放縮。na【例【例6】判別級(jí)數(shù)】判別級(jí)數(shù) 的收斂性。的收斂性。1!nnna nn 分析：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，分析：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)， ，由于，由于 中含有中含有!nnna n

27、un nu，可用比值審斂法。，可用比值審斂法。 ,!,nnann解：令解：令 !nnna nun 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2111(1)nnnueun 1lim0nnnnuuu 所以，原級(jí)數(shù)發(fā)散。所以，原級(jí)數(shù)發(fā)散。 由比值審斂法，當(dāng)由比值審斂法，當(dāng) 時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂；時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂； ae 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散。時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散。 ae 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 比值審斂法失效，注意到比值審斂法失效，注意到 ae 1lim1nnnuu 注：在級(jí)數(shù)一般項(xiàng)注：在級(jí)數(shù)一般項(xiàng) 中，若含有形如中，若含有形如 的因子時(shí)，的因子時(shí)， nu, !,knnn an n適于使用比值審斂法。適于使用比值審斂法。 111(1)!(1)li

28、mlim!nnnnnnnnanuna nun limlim11(1)nnnnnaaanen 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2nnn11limlimlim01ln(1)ln(1)nnnnunn故由根值審斂法，原級(jí)數(shù)收斂故由根值審斂法，原級(jí)數(shù)收斂?！纠纠?】判斷級(jí)數(shù)】判斷級(jí)數(shù) 的斂散性的斂散性. 1)1ln(1nnn分析：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)分析：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 由于由于 中中1ln(1)nnun nu解：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，解：此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)， 1ln(1)nnun 注：在級(jí)數(shù)一般項(xiàng)注：在級(jí)數(shù)一般項(xiàng) 中中,若含有若含有 次方時(shí)次方時(shí),適于使用根值適于使用根值 審斂法。審斂法。 nun含有含有 次方，可用根

29、值審斂法。次方，可用根值審斂法。n高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2【例【例8】判斷級(jí)數(shù)】判斷級(jí)數(shù) 收斂？如果收斂，是條件收斂收斂？如果收斂，是條件收斂 還是絕對(duì)收斂？還是絕對(duì)收斂？ 1( 1)lnnnnn 分析：本題中，分析：本題中， 為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，可采用萊布尼茲為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，可采用萊布尼茲定理判別法。定理判別法。( 1)lnnnann 解：此級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，因?yàn)榻猓捍思?jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，因?yàn)?, 而而 發(fā)散發(fā)散,11lnnnn 11nn 原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂. 因?yàn)橐驗(yàn)?為交錯(cuò)級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù), 由萊布尼玆定理由萊布尼玆定理1( 1)lnnnnn 由比較審斂法知由比較審斂法知 發(fā)散發(fā)散 11( 1)1l

30、nlnnnnnnnn 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)21( )10 (1)fxxx 111(1)ln(1)ln(1)nnuunnnnn 所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是條件收斂所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是條件收斂。 所以所以 在在 上單增，即上單增，即 單減單減 ，( )f x(1,)1lnxx 故當(dāng)故當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 單減，單減，1n 1lnnn lnln1limlimlim0nxxnxnxx 11limlimlnln1nnnnnnn 0 ( )ln(0)f xxxx令令高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂。即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂。 【例【例9】* 判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù) 的斂散性。的斂散性。1ln( 1) nnnn

31、分析：本題中，分析：本題中， 為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，可采用萊布為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，可采用萊布11lnnnnnan 尼茲定理判別法。尼茲定理判別法。 解：先考慮級(jí)數(shù)解：先考慮級(jí)數(shù) 的斂散性。的斂散性。 11lnnnnnan 由于當(dāng)由于當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 3n ln1,nnann 而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù) 發(fā)散，故級(jí)數(shù)發(fā)散，故級(jí)數(shù) 發(fā)散，發(fā)散， 31nn 33lnnnnnan 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2即原級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，故應(yīng)用萊布尼茲判別法判別。即原級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，故應(yīng)用萊布尼茲判別法判別。 lnlimlim0nnnnun2ln1ln( )()0 xxfxxx 從而原級(jí)數(shù)條件收斂。從而原級(jí)數(shù)條件收斂。 注：在運(yùn)用萊布尼玆定理判別注：在運(yùn)用

32、萊布尼玆定理判別 時(shí)，可引入函數(shù)，時(shí)，可引入函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判別單調(diào)性。利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判別單調(diào)性。1nnuu 因?yàn)橐驗(yàn)?,其中其中l(wèi)n( 1)( 1)nnnnnaun lnnnun 所以所以 在在 內(nèi)單調(diào)遞減，得內(nèi)單調(diào)遞減，得 ( )f x1,) 1nnuu 于是由萊布尼茲判別法可得級(jí)數(shù)于是由萊布尼茲判別法可得級(jí)數(shù) 收斂，收斂， 3ln( 1)nnnn ln( )xf xx 令令高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2證明：設(shè)級(jí)數(shù)證明：設(shè)級(jí)數(shù) 和和 的部分和分別為的部分和分別為 和和)1(11 nnnnaan 1nnan nS則則122311(2)(32)(1)2nnnnnaaaananaSna 【例【例1

33、0】 若若 , 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 收斂收斂, 證明證明0lim nnna)1(11 nnnnaan級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 收斂收斂. 1nna沒有具體表達(dá)式，只能將沒有具體表達(dá)式，只能將 看成任意項(xiàng)級(jí)數(shù)看成任意項(xiàng)級(jí)數(shù), 所以，所以，考慮級(jí)數(shù)收斂定義?？紤]級(jí)數(shù)收斂定義。 1nna分析：因?yàn)轭}設(shè)給出了級(jí)數(shù)分析：因?yàn)轭}設(shè)給出了級(jí)數(shù) 收斂收斂, 但但)1(11 nnnnaan 1nna即即 112nnnSna 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2由于級(jí)數(shù)由于級(jí)數(shù) 收斂收斂, 所以所以 存在存在, 所以要所以要)1(11 nnnnaanlimnn 111limlim(1)lim0nnnnnnnanaa 根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的定義知根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的定義知

34、 收斂收斂. 1nna證明證明 存在，只需要證明存在，只需要證明 存在即可存在即可. 根據(jù)題中根據(jù)題中1limnnna limnnS的條件的條件 ，所以，所以 ，因此，因此1lim(1)0nnna 0lim nnna高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)典型例題典型例題 【例【例1】 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑及收斂域。的收斂半徑及收斂域。 1212nnnxn解：解： nnnaa1lim 1222(1)1lim221nnnnn 12R 11(,)22x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)為時(shí)，級(jí)數(shù)為 ，該級(jí)數(shù)收斂。，該級(jí)數(shù)收斂。 21 x 1211nn當(dāng)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)為時(shí)，級(jí)數(shù)為 ，該級(jí)數(shù)收斂。，該級(jí)數(shù)收斂。21

35、 x 121)1(nnn故此冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)楣蚀藘缂?jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。 21,21 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2【例【例2】求冪級(jí)數(shù)】求冪級(jí)數(shù) 的收斂域。的收斂域。 11(2)nnxn 解：令解：令 ，原級(jí)數(shù)變?yōu)?，原?jí)數(shù)變?yōu)?tx 2nntn11 nnnaa1lim 11lim1lim nnnnnn11R 所以所以 ，即，即 時(shí)，冪級(jí)數(shù)收斂。時(shí)，冪級(jí)數(shù)收斂。121 x31 x當(dāng)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)為時(shí)，級(jí)數(shù)為 ，為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂， 1 xnnn)1(11 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)為時(shí)，級(jí)數(shù)為 ，為，為P-級(jí)數(shù)發(fā)散，級(jí)數(shù)發(fā)散， 3 x11nn 故此冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)楣蚀藘缂?jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。)3, 1 高等數(shù)學(xué)無窮

36、級(jí)數(shù)2【例【例3】求冪級(jí)數(shù)】求冪級(jí)數(shù) 的收斂域。的收斂域。 1124)1(nnnnxn解：缺少偶次冪的項(xiàng)，由比值審斂法解：缺少偶次冪的項(xiàng)，由比值審斂法 )()(lim1xuxunnn 2212112414144)1(limxxxnnxnnnnn 當(dāng)當(dāng) ，即，即 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。 1412 x2 x當(dāng)當(dāng) ，即，即 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。 1412 x2 x當(dāng)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)為時(shí)，級(jí)數(shù)為 ，為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。，為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。 2 x 11122)1(24)1(nnnnnnnn當(dāng)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)為時(shí)，級(jí)數(shù)為 ，為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。，為交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。 2 x 111122)1()2(4)1(nn

37、nnnnnn故此冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)楣蚀藘缂?jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。 2, 2 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2【例【例4】求冪級(jí)數(shù)】求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)，并求的和函數(shù)，并求 112121122)1(nnnnxn的和。的和。 11121)1(nnn解：記解：記 2112112( )( 1)21nnnnS xxn 12111( 1)(2 )21nnnxn 求導(dǎo)得求導(dǎo)得 1221( )2( 1)(2 )nnnS xx 2214x )1|2(| x積分得積分得 202( )14xS xdxx 201(2 )arctan21(2 )xdxxx )21|(| x令令 ，則，則 21 x1arctan)21( S21121121(

38、1)( )21 2nnnnn 111( 1)21nnn 111( 1)214nnn 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2【例【例5】* 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間 內(nèi)的和函數(shù)。內(nèi)的和函數(shù)。 112 nnxn( 1, 1) 分析：由于冪級(jí)數(shù)分析：由于冪級(jí)數(shù) ，通過比較級(jí)數(shù)，通過比較級(jí)數(shù) 和和 11nnxxx 112 nnxn0nnx 的一般項(xiàng)，不難發(fā)現(xiàn)，的一般項(xiàng)，不難發(fā)現(xiàn)， ，而，而 21011()xnnnnn xdxnx 1011xnnnnnxdxx ，所以應(yīng)用給定的冪級(jí)數(shù)先積分，后求導(dǎo)，所以應(yīng)用給定的冪級(jí)數(shù)先積分，后求導(dǎo)， 就可以利用就可以利用 進(jìn)行計(jì)算。進(jìn)行計(jì)算。 11nnxxx 解：令解：令

39、211( ) nnS xn x 對(duì)冪級(jí)數(shù)在區(qū)間對(duì)冪級(jí)數(shù)在區(qū)間 內(nèi)逐項(xiàng)積分，得：內(nèi)逐項(xiàng)積分，得：( 1,1) 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2121( )nnxnxxSx 其中其中 。 121( )nnSxnx 再應(yīng)用逐項(xiàng)積分的方法得：再應(yīng)用逐項(xiàng)積分的方法得：1320011( )( )1xxnnnnxSxSx dxnxdxxx 對(duì)對(duì) 求導(dǎo)得求導(dǎo)得 3( )Sx2321( )( )()1(1)xSxSxxx2110011( )( )xxnnnnSxS x dxn xdxnx 所以所以 122( )( )(1)xSxxSxx 對(duì)對(duì) 求導(dǎo)得求導(dǎo)得 1( )Sx12312( )( ) (1)(1)xxS xSxxx

40、即即 213112 ( 11) (1) nnxn xxx 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2【例【例6】將函數(shù)】將函數(shù) 展開成的展開成的 冪級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)，451)(2 xxxf2 x并指出收斂區(qū)間。并指出收斂區(qū)間。 分析：由于分析：由于 ，如果能把，如果能把 211( )54(1)(4)f xxxxx 1(1)(4)xx分解為分解為 的形式，那么就可以利用的形式，那么就可以利用14ABxx 解：對(duì)解：對(duì) 進(jìn)行恒等變形：進(jìn)行恒等變形：)(xf111( )314f xxx 已知函數(shù)已知函數(shù) ，把，把 和和 分別展開分別展開1Ax 4Bx 成成 的冪級(jí)數(shù)。的冪級(jí)數(shù)。 01(2)1(2)nnyy 2 x高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)

41、數(shù)2而而 1111(2)xx 1142(2)xx 0(2) , 21nnxx 1011( 1)(2) , 22212nnnnxx 2 12x 故故 00112( )(2)( 1) () 322nnnnnxf xx 101( 1)1(2)32nnnnx 滿足滿足 ，即，即 ，成立區(qū)間為：，成立區(qū)間為： 1|2| x13 x13 x注：函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)必須寫出收斂區(qū)間。注：函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)必須寫出收斂區(qū)間。高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2【例【例7】 將函數(shù)將函數(shù) 展開成展開成 的冪級(jí)數(shù)。的冪級(jí)數(shù)。12( )arctan12xf xx x分析：本題用直接方法展開非常繁瑣，用先積分后求導(dǎo)的分析：本題用直接方法展開

42、非常繁瑣，用先積分后求導(dǎo)的間接方法是很難間接方法是很難 把展開成把展開成 的冪級(jí)數(shù)，所以，只能用的冪級(jí)數(shù)，所以，只能用)(xfx解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?2( )14fxx 而而 222011( 1) 4141(2 )nnnnxxx 1 1(, )2 2x 對(duì)對(duì) 先求導(dǎo)再積分的間接方法展開成先求導(dǎo)再積分的間接方法展開成 的冪級(jí)數(shù)。的冪級(jí)數(shù)。 x)(xf高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2又因?yàn)橛忠驗(yàn)?，從而積分得，從而積分得(0)4f 1210( 1)4( )2421nnnnf xxn 1 1, 2 2x 因?yàn)閮缂?jí)數(shù)在因?yàn)閮缂?jí)數(shù)在 處收斂，處收斂，12x 所以所以12202( )2( 1)414nnnnfxxx 1 1(, )2 2x 所以，收斂域?yàn)樗?，收斂域?yàn)?。 1 1, 2 2x 高等數(shù)學(xué)無窮級(jí)數(shù)2【例【例8】* 將函數(shù)將函數(shù) 展開成展開成 的冪級(jí)數(shù)。的冪級(jí)數(shù)。21lnarctan)(xxxxf x分析：與上題的解題思路相同。對(duì)函數(shù)分析：與上題的解題思路相同。對(duì)函數(shù) 可采用先求可采用先求 arctan x導(dǎo)后積分的方法展開為導(dǎo)后積分的方法展開為 的冪級(jí)數(shù)。的冪級(jí)數(shù)。 x解：解： 22000arctan( 1)1xxnnndxxxdxx 11201212)1(12)1(nnnnnnnxnx(| 1)x 12122)1(21)1ln(211lnnnnnxxx(| 1)x 2121