第七章16固定收入證券和股票定價(jià)與靈敏度測(cè)量

1、第七章：固定收入證券定價(jià)與靈敏度測(cè)量l固定收入證券的概念是指在特定時(shí)間支付預(yù)定現(xiàn)金流的金融資產(chǎn)，也稱為固定收入債券，包括政府、企業(yè)債券或共同基金債券等。l基于債券的固定現(xiàn)金流支付特征，可以將債券概念推廣居民存款 ， 相當(dāng)于銀行向居民發(fā)行債券，即把存折可以理解為債券l1、基于到期收益率的固定收入證券的定價(jià)到期收益率是債券未來現(xiàn)金流的折現(xiàn)值等于債券實(shí)際價(jià)格時(shí)的回報(bào)率，也就是債券的內(nèi)部收益率。內(nèi)部收益率一般是和債券的息票率不相等，只有債券在到期日時(shí)支付本金，且當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格等于面值才相等。定價(jià)公式：其中，T為到期日內(nèi)的支付現(xiàn)金流的次數(shù)；C1CT表示在到期日內(nèi)不同時(shí)期支付的現(xiàn)金流；R為到期收益率，即內(nèi)部收

2、益率。此式有普遍意義，適用息票債券，適用零息債券定價(jià)，還適用償債基金計(jì)算。TTRCRCRCP)1 (.)1 ()1 (221R的確定：從市場(chǎng)當(dāng)中找出與該債券具有相同期限相同性質(zhì)的債券（通常使用平價(jià)收益?zhèn)?，以它們的到期收益率作為定價(jià)基本標(biāo)準(zhǔn)。平價(jià)收益?zhèn)傅氖窍⑵甭式咏谑找媛实膫?。這種定價(jià)方法采用的是常數(shù)收益率，或者說對(duì)不同時(shí)期的現(xiàn)金流折現(xiàn)都采用一樣的折現(xiàn)率，實(shí)際上是認(rèn)為利率是變的，而實(shí)際中利率是在波動(dòng)變化的。利率是具有期限結(jié)構(gòu)的，這種定價(jià)還與利率期限結(jié)構(gòu)相矛盾，因此，這種定價(jià)不是很準(zhǔn)確。下面，我們來具體解釋利率的期限結(jié)構(gòu)。4l債券的到期收益率與到期時(shí)間之間的關(guān)系，稱為利率的期限結(jié)構(gòu)，具

3、體就是表現(xiàn)為收益率曲線的形狀l理論上，任何形狀都可以：上翹、下垂、平坦l實(shí)際中，一般是上翹的l對(duì)收益率曲線的形狀解釋主要如下有四種理論5l（1）、預(yù)期理論：該理論認(rèn)為長(zhǎng)期債券的平均年收益率應(yīng)是期限內(nèi)預(yù)期短期利率的幾何平均。例如，期限為兩年期的即期利率可以視為1年期即期利率和預(yù)期的下一年的1年期利率的幾何平均。l按理性預(yù)期理論，預(yù)期的未來的短期即期利率等于收益率曲線隱含的遠(yuǎn)期利率。（即期利率就是現(xiàn)在時(shí)刻知道的利率，遠(yuǎn)期利率就是未來某個(gè)時(shí)間的利率）6(1+0.10)*(1+r第2)=(1+0.105)2(1+0.105)2*(1+r第3)=(1+0.108)37l（2）、流動(dòng)性偏好理論：長(zhǎng)期債券流

4、動(dòng)性低，利率風(fēng)險(xiǎn)高，因此收益率應(yīng)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行補(bǔ)償，所以要高于短期債券的收益率。l流動(dòng)性偏好理論是預(yù)期理論的擴(kuò)充，它表明長(zhǎng)期利率是預(yù)期短期利率與流動(dòng)性補(bǔ)償之和。（銀行利率）8l（3）、市場(chǎng)分割理論：該理論認(rèn)為短期、中期和長(zhǎng)期利率之間沒有什么關(guān)系，不同的機(jī)構(gòu)投資于不同期限的債券，并不轉(zhuǎn)換期限。短期利率由短期債券市場(chǎng)的供求關(guān)系來決定，中期利率由中期債券市場(chǎng)的供求關(guān)系來決定。l（4）、基于隨機(jī)過程的利率期限結(jié)構(gòu)理論。將收益率看成服從某隨機(jī)過程。9（1）基本原理：根據(jù)利率期限結(jié)構(gòu)理論，將債券未來時(shí)刻產(chǎn)生的現(xiàn)金流分別采用不同的、分別與相關(guān)市場(chǎng)利率相對(duì)應(yīng)的折現(xiàn)因子進(jìn)行折現(xiàn)，最后加總得出債券的市場(chǎng)價(jià)值(也稱為債

5、券的分解）。這種方法考慮了利率的期限結(jié)構(gòu)因素和市場(chǎng)利率的變化情況，從而可以得出對(duì)債券價(jià)格更精確有效的估計(jì)。定價(jià)公式為：其中：T ,C同前。Rt表示各個(gè)時(shí)期的折現(xiàn)率，就是隨時(shí)間和期限變化的即期利率TTTRCRCRCP)1 (.)1 ()1 (2221110A 傳統(tǒng)方法：用平價(jià)收益率曲線表示，即用息票率等于或接近它的到期收益率的不同期限債券的收益率構(gòu)造收益曲線。B 零息債券收益率方法：面值為PF，T時(shí)到期的，價(jià)格為P的零息債券收益率為RT,它就是目前T這么長(zhǎng)時(shí)間的即期利率息票債券定價(jià)為：TTFRPP)1 ( TTFTTTRPRCRCRCP)1 ()1 (.)1 ()1 (2221111C 利率期限

6、結(jié)構(gòu)的建模利用市場(chǎng)上現(xiàn)存的各種期限的未清償附息債券的價(jià)格-收益特性估計(jì)即期利率曲線，稱為利率期限結(jié)構(gòu)的建模，包括逐步升級(jí)法和計(jì)量經(jīng)濟(jì)方法逐步升級(jí)法：例假設(shè)已知三個(gè)債券，其中兩個(gè)分別為1年期和兩年期、價(jià)格均為100的零息債券，收益率分別為4%和5%，所以即期利率也是4%和5%。第三個(gè)債券為3年期、息票率為5%的債券，其目前市場(chǎng)價(jià)為98.5。根據(jù)這三個(gè)債券的價(jià)格-收益信息，可用逐步升級(jí)的方法估計(jì)3年的即期利率x： 重復(fù)類似過程可得4年期及所有期望期限的即期利率%6 . 55 .98)1 (10505. 1504. 1532xxP解得12重復(fù)類似過程可得4年期及所有期望期限的即期利率，但逐步升級(jí)方法

7、只能估計(jì)出有限個(gè)期限的離散即期利率，實(shí)際中常常需要構(gòu)造出連續(xù)的即期利率曲線，對(duì)此，人們引入了計(jì)量經(jīng)濟(jì)方法。計(jì)量經(jīng)濟(jì)方法：第一步：給出一個(gè)用于計(jì)算未來1元現(xiàn)值的貼現(xiàn)公式，（即折現(xiàn)函數(shù)），其一般形式為泰勒展開，建立三因子模型第二步，根據(jù)以上貼現(xiàn)方程計(jì)算樣本債券的理論價(jià)格。例如，如果一個(gè)債券在tn(n=1,N)時(shí)刻分別支付cn的現(xiàn)金，根據(jù)這些現(xiàn)金流的現(xiàn)值估計(jì)出債券的ttRtD)1 ()(332211)(tatatatD13理論價(jià)格為按三因子模型展開可得下面形式線性方程如上例中債券1：債券2：債券3：這就得到了關(guān)于參數(shù)a1 a2 a3的線性方程組。若有更多可知債券，得到更多方程，則解出最小二乘解。第三

8、步，從D(t)解出Rt)(1nNnntDcP)()()()(3322110cfacfacfacfP)1 (104100321aaa)2221 (10510033221aaa)3331 (105)2221 (5)1 (55 .983322133221321aaaaaaaaattRtD)1 ()(14l（一）平均期限(average life)和久期(duration)l因?yàn)殚L(zhǎng)期債券的價(jià)格比短期債券更易受到利率變動(dòng)的影響，所以，債券到期前的時(shí)間長(zhǎng)度可被視為衡量風(fēng)險(xiǎn)的合理尺度。如，尚有5年到期的債券比尚有2年到期的債券面臨的利率風(fēng)險(xiǎn)要大。l由于某些債券在一段時(shí)期內(nèi)分期償還本金，而不是在某個(gè)單獨(dú)確定的

9、到期日償還，在劃分債券風(fēng)險(xiǎn)類別時(shí)經(jīng)常使用平均期限的概念，而不是距離到期日還有多長(zhǎng)時(shí)間。l平均期限是收回資金的加權(quán)平均時(shí)間。計(jì)算方法是：將每一筆償還的本金乘以得到它的時(shí)間長(zhǎng)度，加總后除以本金總和。l缺陷：沒有量化隨利率變動(dòng)發(fā)生的價(jià)格變動(dòng)。nttnttCtCt11l1938年Frederick Macaulay提出了久期的概念。 Macaulay久期用數(shù)學(xué)方法估計(jì)債券價(jià)格對(duì)期收益變動(dòng)的敏感性，按收到債券現(xiàn)金流的加權(quán)平均時(shí)間計(jì)算，利息和本金的支付作為權(quán)重。l我們知道，取常數(shù)收益率時(shí)，債券的定價(jià)是：lMacaulay久期定義為：ntttrCP1)1(ntttntnttttttrCPrCtrCD111)

10、1 (1)1 ()1 (nttwtD1l從上面的公式可以看出，久期實(shí)際上是一個(gè)加權(quán)平均的時(shí)間長(zhǎng)度。l對(duì)于零息債券來說，對(duì)t=1,2,n-1，都有 Ct=0, 從而D=n，即債券的久期就是債券的到期期限。l對(duì)于持有期間有現(xiàn)金流發(fā)生的債券來說，其久期都短于到期期限。即：Dn l影響久期的因素分析：從公式可以看出，影響久期的因素主要有債券的：期限長(zhǎng)短n,其它條件不變時(shí)，n越大，D越大息票率（影響Ct)越高，D越小到期收益率r,越大，D越小在其他因素不變的情況下，期限越長(zhǎng)，或息票利率越低，或到期收益率越低，債券的久期越長(zhǎng)。ntttntnttttttrCPrCtrCD111)1 (1)1 ()1 ( 久

11、期的重要性質(zhì)可加性：一個(gè)債券組合的久期是組合內(nèi)各個(gè)債券的久期的加權(quán)和，權(quán)重等于該種債券在組合中所占的比例。即： 若組合的價(jià)值為V=Vj，第j個(gè)債券的久期是Dj，則整個(gè)組合的久期為： D= jDj ，其中j=Vj/V。 21rDPtrCdrdPnttt1)1 (11下面，我們將用久期來表示債券對(duì)利率的靈敏度由于：ntttrCP1)1 (ntttntnttttttrCPrCtrCD111)1 (1)1 ()1 (l對(duì)上式再進(jìn)行改寫，得：l從上式可以看出，如果市場(chǎng)利率發(fā)生變化r ，則可以估算出價(jià)格的變化P。l負(fù)號(hào)表示利率變化方向與債券價(jià)格變化的方向相反。lr很小時(shí)，忽略不計(jì)，D就是債券價(jià)格利率敏感性

12、的一階測(cè)量11d PDPd rr rdrDPdP1更精確一些，可用調(diào)整久期，其定義如下：drDPdPrDDmodmod1drdPP1l（P/P=-Dmod* r）說明當(dāng)市場(chǎng)利率發(fā)生變化時(shí)，債券價(jià)格變化的百分率是調(diào)整久期與利率變化的乘積。例如，如果某債券的調(diào)整久期為5，利率1%的變動(dòng)將引起證券價(jià)格5%的變動(dòng)。也就是說，債券價(jià)格變化的百分率與久期和利率變化成比例。因此，久期，尤其是調(diào)整久期，是衡量債券對(duì)利率風(fēng)險(xiǎn)暴露的有效工具。久期相等的債券面臨的利率風(fēng)險(xiǎn)是一樣的，即利率變動(dòng)給久期相同的債券帶來相同的價(jià)格變化率。債券的久期越大，該債券對(duì)利率越敏感。l久期提供了對(duì)債券價(jià)格利率敏感性的測(cè)量，在利率風(fēng)險(xiǎn)的

13、管理中有十分重要的作用，但亦存在其局限性。體現(xiàn)在：l第一、久期計(jì)算中，對(duì)所有現(xiàn)金流采用了一個(gè)折現(xiàn)率，也就是表示利率期限結(jié)構(gòu)一條水平線，即在某一時(shí)點(diǎn)，不同期限的債券的利率水平是相同的，與實(shí)際不大符合。l第二、利用久期管理利率風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，考慮不同時(shí)點(diǎn)的收益率曲線的變化只是曲線的平移。l第三，采用久期的方法對(duì)債券價(jià)格利率風(fēng)險(xiǎn)的敏感性進(jìn)行測(cè)量實(shí)際上只考慮了價(jià)格和收益率變化之間的線性關(guān)系。而市場(chǎng)實(shí)際情況表明這種關(guān)系經(jīng)常是非線性的。實(shí)線：實(shí)際價(jià)格變化虛線：久期近似值到期收益率的變化%債券價(jià)格的百分比變化8%l從前頁的圖我們可以看到，近似久期（虛線）總是低于債券的價(jià)值，當(dāng)收益率下降時(shí)，它低估債券價(jià)格的增長(zhǎng)程度，

14、當(dāng)收益率上升時(shí)，它高估債券價(jià)格的下跌程度。這是由于真實(shí)價(jià)格變化與收益變化關(guān)系曲線的曲率決定的。曲線的形狀，如價(jià)格-收益率關(guān)系的形狀是凸的l（二）凸性l久期只是刻畫了債券（或其它資產(chǎn)）的價(jià)值對(duì)利率變化的敏感性的一階測(cè)量，因此，只有在利率發(fā)生微小變化的情況下才是有效的。當(dāng)利率發(fā)生較大變動(dòng)時(shí)，就要考慮2階敏感性的度量。這就是涉及到凸性的概念。l其中，為誤差項(xiàng)102220(1)()()()()1()2()ntttrrCPrd P rrP rrP rrdrdP rrrdr 22m od1( )( )()21()2PPrrPrrPDrCrP l上式右邊第一項(xiàng)是基于久期的近似價(jià)格變化百分比，第二項(xiàng)即為凸性，

15、即：l凸性l凸性與收益率變化平方( r)2的乘積表示由凸性造成的近似價(jià)格變化。221 d PCP drl我們?cè)倏紤]等式：lP/P=-Dmod*r+1/2凸性*(r)2l其中，第二項(xiàng)是由于凸性引起的。由于凸性大于零，因此第二項(xiàng)總是大于0，說明當(dāng)收益率變動(dòng)時(shí)總是低估債券的新價(jià)值。把凸性考慮進(jìn)來可以讓我們對(duì)債券價(jià)格變化的估計(jì)更加精確。lP=PD+ PClP171書上例子31 凸性也具有可加性：一個(gè)債券組合的久期是組合內(nèi)各個(gè)債券的凸性的加權(quán)和，權(quán)重等于該種債券在組合中所占的比例。即： 若組合的價(jià)值為V=Vj，第j個(gè)債券的久期是Cj，則整個(gè)組合的久期為： C= jCj ，其中j=Vj/V。 32到期收益

16、率的變化%債券價(jià)格變化的百分比ABrr1r2現(xiàn)金流說明T現(xiàn)金流金額折現(xiàn)率折現(xiàn)值久期1年的票息151.05 4.761905 0.0476192年的票息251.1025 4.535147 0.0907033年的票息351.157625 4.319188 0.1295764年的票息451.215506 4.1135120.164545年的票息551.276282 3.917631 0.195882本金51001.276282 78.35259 3.91762999.99997 4.545949說明：收益率5，面值100合計(jì)久期的計(jì)算D/(1+r)4.55/1.054.33調(diào)整久期34現(xiàn)金流說明T現(xiàn)金流金額折現(xiàn)率折現(xiàn)值t(t+1)折現(xiàn)值1年的票息151.05 4.7619059.5238095242年的票息251.10