一階偏微分方程教程PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1一階偏微分方程教程一階偏微分方程教程2222220, 0uuuutxxy等。等。如果方程關(guān)于未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)是線如果方程關(guān)于未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)是線性的，則稱它是性的，則稱它是線性的線性的；如果它關(guān)于所有最高階；如果它關(guān)于所有最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的，則稱它是偏導(dǎo)數(shù)是線性的，則稱它是擬線性的擬線性的。第1頁/共47頁3定解問題：定解問題：定解條件通常包括定解條件通常包括邊界條件邊界條件和和初始條初始條件件兩種。含有定解條件的方程求解問題稱為兩種。含有定解條件的方程求解問題稱為定解定解問題問題，包括初值問題（，包括初值問題（Cauchy問題）、邊值問問題）、邊值問題和混合問題。題和混

2、合問題。方程的解：方程的解：若函數(shù)若函數(shù)u連續(xù)并具有方程所涉及的連連續(xù)并具有方程所涉及的連續(xù)的各階偏導(dǎo)數(shù)，且該函數(shù)代入方程使得方程在續(xù)的各階偏導(dǎo)數(shù)，且該函數(shù)代入方程使得方程在某區(qū)域內(nèi)成為恒等式，則稱該函數(shù)為方程在該區(qū)某區(qū)域內(nèi)成為恒等式，則稱該函數(shù)為方程在該區(qū)域內(nèi)的域內(nèi)的解（古典解）解（古典解）。滿足某些特定條件的解稱。滿足某些特定條件的解稱為為特解特解，這些條件稱為，這些條件稱為定解條件定解條件。一般情況下，。一般情況下，一個具有一個具有n個自變量的個自變量的m階方程的解可以含有階方程的解可以含有m個個n-1元任意函數(shù)，這樣的解稱為元任意函數(shù)，這樣的解稱為通解通解。第2頁/共47頁4121(

3、),0niniiuF ua x xxx(1)顯然方程有平凡解顯然方程有平凡解u=常數(shù)。一般求其非平凡解。常數(shù)。一般求其非平凡解。以下以含有以下以含有3個自變量的方程為例，一般形個自變量的方程為例，一般形式為式為( , , )( , , )( , , )0uuuP x y zQ x y zR x y zxyz(2)第3頁/共47頁5常微分方程組常微分方程組( , , )( , , )( , , )dxP x y zdtdyQ x y zdtdzR x y zdt(3)稱為方程稱為方程(2)的的特征方程組特征方程組，每一條積分曲線，每一條積分曲線( ),( ),( )xtyt zt稱為方程稱為方程

4、(2)的的特征線特征線。第4頁/共47頁6若由特征方程組若由特征方程組(3)推出函數(shù)推出函數(shù) 恒為常恒為常數(shù)，則稱該函數(shù)為方程組數(shù)，則稱該函數(shù)為方程組(3)的一個的一個首次積分首次積分。( , , , )x y z t若特征方程組若特征方程組(3)的的3個獨立的首次積分為個獨立的首次積分為( , , , ), ( , , , ), ( , , , )x y z tx y z tx y z t則特征方程組則特征方程組(3)的通解為的通解為123( , , , )( , , , )( , , , )x y z tCx y z tCx y z tC第5頁/共47頁7例例1. 求解方程組求解方程組12

5、1dxdydzzxy解：解：由由12dxdz得得12xzC，因此得到一個首，因此得到一個首次次積分為積分為2xz再由再由21(1)dzdxdyzxydxzxydx 得得22xzxyC，因此得到另一個首次積分為，因此得到另一個首次積分為于是原方程的隱式通解為于是原方程的隱式通解為2xzxy1222xzCxzxyC第6頁/共47頁8由由(3)可得可得( , , )( , , )( , , )( , , )dyQ x y zdxP x y zdzR x y zdxP x y z(4)若若(4)的一個首次積分為的一個首次積分為( , , )x y z的一個首次積分。的一個首次積分。( , , )( ,

6、 , )( , , )dxdydzP x y zQ x y zR x y z于是得到方程組于是得到方程組(3)的一個等價形式：的一個等價形式：，則它也稱為，則它也稱為(3)第7頁/共47頁9對于一階齊次線性偏微分方程對于一階齊次線性偏微分方程(2)與它的特征與它的特征方程組方程組(3)或或(4)，我們有以下結(jié)論：，我們有以下結(jié)論：證明從略。證明從略。定理定理1 1：連續(xù)可微函數(shù)連續(xù)可微函數(shù) 是是(2)的解的充的解的充分必要條件是分必要條件是 是是(4)的首次積分。的首次積分。( , , )ux y z( , , )x y z定理定理2 2：如果如果 是是(4)的兩個獨立的的兩個獨立的首次積分，

7、則它們的任意連續(xù)可微函數(shù)首次積分，則它們的任意連續(xù)可微函數(shù) 是是(2)的通解。的通解。( , , ), ( , , )x y zx y z( ,)u 第8頁/共47頁10例例2. 求解方程求解方程20uuuxyzxyz解：解：特征方程組為特征方程組為2dyydxxdzzdxx 或或首次積分為首次積分為2, x yxz于是原方程的隱式通解為于是原方程的隱式通解為2dxdydzxyz 2, ux y xz，其中，其中 為任意二元連續(xù)可微函數(shù)。為任意二元連續(xù)可微函數(shù)。第9頁/共47頁110( , , )( , , )( , , )0:( , )uuuP x y zQ x y zR x y zxyzx

8、xuf y z(5)其中其中 f 為已知函數(shù)。為已知函數(shù)。例例3. 求解求解Cauchy問題問題00( , )y yuuuyzxzxyxyzuf x z第10頁/共47頁12解：解：特征方程組為特征方程組為首次積分為首次積分為2222, xyxz于是原方程的通解為于是原方程的通解為dxdydzyzxzxy2222, uxyxz，其中，其中 為任意二元連續(xù)可微函數(shù)。為任意二元連續(xù)可微函數(shù)。將該解代入初始條件，得將該解代入初始條件，得22220, ( , )xyxzf x z202222020, , xtyxyt xzsztys 令 得 令 得 第11頁/共47頁13于是于是2200, (, )t

9、 sftytys從而原從而原Cauchy問題的解為問題的解為222222222200, (, )uxyxzfxyyzyy第12頁/共47頁14( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )uuuP x y zQ x y zR x y zxyzf x y z ug x y z(6)其中其中 f , g為已知函數(shù)。為已知函數(shù)。其特征方程組為其特征方程組為dxdydzduPQRfug將前面兩個等式解出后代入最后一個條件即可求將前面兩個等式解出后代入最后一個條件即可求出三個首次積分，從而得到通解。出三個首次積分，從而得到通解。第13頁/共47頁15( , , )( , , )(

10、 , , )uua x y ub x y uc x y uxy(7)其特征方程組為其特征方程組為( , , )( , , )( , , )dxa x y udtdyb x y udtduc x y udt(8)以兩個自變量的方程為例。以兩個自變量的方程為例。設(shè)其首次積分為設(shè)其首次積分為( , , ), ( , , )x y ux y u，則，則(7)的隱式的隱式通解為通解為, 0. 第14頁/共47頁16例例4. 求解方程求解方程120uuuxyxy解：解：特征方程組為特征方程組為首次積分為首次積分為2 , 2uyuxyy于是原方程的隱式通解為于是原方程的隱式通解為121dxdyduuxy其中

11、其中 為任意二元連續(xù)可微函數(shù)。為任意二元連續(xù)可微函數(shù)。2 , 20uyuxyy第15頁/共47頁17例例5. 求解求解Cauchy問題問題10 x yuuuxyu解：解：特征方程組為特征方程組為首次積分為首次積分為2, 2yuxu于是原方程的隱式通解為于是原方程的隱式通解為11dxdyduu其中其中 為任意二元連續(xù)可微函數(shù)。為任意二元連續(xù)可微函數(shù)。2, 20yuxu將該解代入初始條件，得將該解代入初始條件，得, 20yy于是有于是有222()xuyu，解得，解得112()uxy 再由初始條件得再由初始條件得Cauchy問題的解為問題的解為112()uxy 第16頁/共47頁18考慮一個穩(wěn)定社會

12、的人口發(fā)展過程。設(shè)人口數(shù)考慮一個穩(wěn)定社會的人口發(fā)展過程。設(shè)人口數(shù)量不僅和時間量不僅和時間 t 有關(guān)，還和年齡有關(guān)，還和年齡 a 有關(guān)。若人口數(shù)有關(guān)。若人口數(shù)量很大，假設(shè)按年齡連續(xù)分布。以函數(shù)量很大，假設(shè)按年齡連續(xù)分布。以函數(shù) p(a, t) 表示表示人口在任意時刻人口在任意時刻 t 按年齡按年齡 a 的分布密度，則在時刻的分布密度，則在時刻 t，年齡在區(qū)間，年齡在區(qū)間a, a+da中的人口數(shù)量為中的人口數(shù)量為 p(a, t)da，因此在時刻因此在時刻 t 的人口總數(shù)為的人口總數(shù)為0( )( , )dN tp a ta第17頁/共47頁19若不考慮死亡，則在時刻若不考慮死亡，則在時刻 t+ t，

13、年齡在，年齡在a, a+ a中的人口數(shù)量中的人口數(shù)量 p(a, t+ t) a，應(yīng)等于在時刻，應(yīng)等于在時刻 t，年齡，年齡在區(qū)間在區(qū)間a t, a+ a t中的人口數(shù)量中的人口數(shù)量p(a t, t) a，即即( ,)(, )p a ttp at t( , )( , )0p a tp a tta( ,)( , )(, )( , )p a ttp a tp at tp a ttt令令 t0，有，有因此因此 p(a, t)應(yīng)滿足應(yīng)滿足第18頁/共47頁20但實際上必須考慮死亡的影響。設(shè)但實際上必須考慮死亡的影響。設(shè) (a)是單位時是單位時間內(nèi)年齡在間內(nèi)年齡在a, a+da中的人口死亡概率，則在時間中

14、的人口死亡概率，則在時間段段t, t+dt內(nèi)，從年齡在區(qū)間內(nèi)，從年齡在區(qū)間adt, a中的人口成長中的人口成長為年齡在區(qū)間為年齡在區(qū)間a, a+dt中的人口的過程中死亡人數(shù)中的人口的過程中死亡人數(shù)為為(d , )d( )dp at taat(d , )d( ,d )d(d , ) ( )ddp at tap a ttap at taat于是于是或或(d , )( ,d )( ) (d , )dp at tp a tta p at tt將兩端同時將兩端同時Taylor展開，并舍去高階項，有展開，并舍去高階項，有第19頁/共47頁21( , )( , )( ) ( , )p a tp a ta p

15、 a tat 這就是描述人口發(fā)展的一階雙曲型偏微分方程。這就是描述人口發(fā)展的一階雙曲型偏微分方程。(1)方程方程 (1) 對應(yīng)的初始條件為對應(yīng)的初始條件為 ，這，這里里p0(a) 表示初始人口分布密度。表示初始人口分布密度。0( ,0)( )p ap a要給出方程要給出方程 (1) 所對應(yīng)的邊界條件所對應(yīng)的邊界條件 p(0, t)，就需，就需要考慮人口的出生情況了。假設(shè)男女比例基本平衡要考慮人口的出生情況了。假設(shè)男女比例基本平衡，生育率為，生育率為 (a)，則在時間段，則在時間段t, t+dt內(nèi)出生的嬰兒內(nèi)出生的嬰兒總數(shù)為總數(shù)為0d( ) ( , )dta p a ta第20頁/共47頁22另

16、一方面，另一方面，在時間段在時間段t, t+dt內(nèi)出生的嬰兒總數(shù)內(nèi)出生的嬰兒總數(shù)應(yīng)等于時刻應(yīng)等于時刻 t+dt 在年齡區(qū)間在年齡區(qū)間0,dt中的人數(shù)中的人數(shù)p(0, t+dt)dt，即，即0(0,d )dd( ) ( , )dptttta p a ta0(0,d )( ) ( , )dptta p a ta或或令令dt0，則得到邊界條件，則得到邊界條件0(0, )( ) ( , )dpta p a ta方程方程 (1) 與初始條件、邊界條件一起便構(gòu)成了與初始條件、邊界條件一起便構(gòu)成了人口發(fā)展的偏微分方程模型：人口發(fā)展的偏微分方程模型：第21頁/共47頁2300( , )( , )( ) ( ,

17、 ), 0, 0( ,0)( ), 0(0, )( ) ( , ), 0p a tp a ta p a tatatp ap aapta p a t dat (2)同樣，可建立帶遷移的人口模型：同樣，可建立帶遷移的人口模型：00( , )( , )( ) ( , )( , ), 0, 0( ,0)( ), 0(0, )( ) ( , ), 0p a tp a ta p a tf a tatatp ap aapta p a t dat (3)其中其中 f (a, t) 為遷移率。為遷移率。第22頁/共47頁24利用特征線法結(jié)合積分變換法，可以得出模型利用特征線法結(jié)合積分變換法，可以得出模型(2)及

18、模型及模型(3)的解。的解。第23頁/共47頁25我們再考慮環(huán)境對人口的影響。設(shè)我們再考慮環(huán)境對人口的影響。設(shè)0( )( , )dN tp a ta表示表示 t 時刻的社會總?cè)丝跀?shù)?？紤]到人口的生存與時刻的社會總?cè)丝跀?shù)?？紤]到人口的生存與其總?cè)萘坑嘘P(guān)，一般可用其總?cè)萘坑嘘P(guān)，一般可用 (a, t, N(t) 表示死亡率，表示死亡率，用用 (a, t, N(t) 表示年齡為表示年齡為 a 的社會人口在的社會人口在 t 時刻平時刻平均均單位時間內(nèi)的平均生育率，即生育率。我們再考單位時間內(nèi)的平均生育率，即生育率。我們再考慮人口遷移因素，設(shè)慮人口遷移因素，設(shè) f (a, t) 表示表示 t 時刻年齡為時

19、刻年齡為 a 的的社會人口在單位時間、單位年齡內(nèi)的遷移人數(shù)，則社會人口在單位時間、單位年齡內(nèi)的遷移人數(shù)，則有更一般的非線性人口發(fā)展系統(tǒng)：有更一般的非線性人口發(fā)展系統(tǒng)：第24頁/共47頁26000( , )( , )( , ,( ) ( , )( , ), 0, 0( ,0)( ), 0(0, )( , ,( ) ( , ), 0( )( , )d , 0p a tp a ta t N tp a tf a tatatp ap aapta t N tp a t datN tp a tat (4)第25頁/共47頁27精神病藥物研究需測定新藥的效果，例如治療精神病藥物研究需測定新藥的效果，例如治療帕

20、金森癥的多巴胺的腦部注射效果。為了精確估計帕金森癥的多巴胺的腦部注射效果。為了精確估計藥物影響的腦部區(qū)域，我們必須估計注射后藥物在藥物影響的腦部區(qū)域，我們必須估計注射后藥物在空間的分布形狀和尺寸?？臻g的分布形狀和尺寸。研究的數(shù)據(jù)包括研究的數(shù)據(jù)包括50根圓柱組織樣本中每一根所根圓柱組織樣本中每一根所含藥物的測量值含藥物的測量值(見表見表1、表、表2及圖及圖1)。每一圓柱的長。每一圓柱的長度為度為0.76mm，直徑為，直徑為0.66mm。這些平行圓柱的中。這些平行圓柱的中心位于心位于1mm0.76mm1mm的網(wǎng)格點上。因此，的網(wǎng)格點上。因此，圓圓第26頁/共47頁28表表1 后方垂直截面后方垂直截

21、面16444213204141884807022 14411 5158 3522091 23027 28353 13138 681789 21260 20921 11731 727213130337651715 453表表2 前方垂直截面前方垂直截面163324432243166712405560981048 2322137 15531 19742 4785 330444 11431 14960 3182 30129420611036258188柱在底面相互接觸，柱在底面相互接觸，側(cè)面互不接觸。側(cè)面互不接觸。注：一個計量單位注：一個計量單位表示表示4.7531013 mol/l 的多巴胺，表中

22、的數(shù)的多巴胺，表中的數(shù)字如字如28353表示中間后表示中間后部圓柱含有部圓柱含有28353個單個單位的藥物。位的藥物。試估計藥物在它影試估計藥物在它影響區(qū)域中的分布。響區(qū)域中的分布。第27頁/共47頁29圖圖1 藥物含量分布圖藥物含量分布圖第28頁/共47頁30 忽略樣本組織中多巴胺的原始含量；忽略樣本組織中多巴胺的原始含量； 假設(shè)樣本組織的大小與其余腦組織的大小相比可假設(shè)樣本組織的大小與其余腦組織的大小相比可以忽略，且樣本組織不靠近腦邊界；以忽略，且樣本組織不靠近腦邊界； 假設(shè)大腦是均勻的，擴散和衰減決定了多巴胺在假設(shè)大腦是均勻的，擴散和衰減決定了多巴胺在大腦中遷移過程，忽略對流過程的影響；

23、大腦中遷移過程，忽略對流過程的影響； 假設(shè)僅進行一次多巴胺注射，注射位于原點；假設(shè)僅進行一次多巴胺注射，注射位于原點； 假設(shè)注射和取樣之間有較長時間間隔，可以忽略假設(shè)注射和取樣之間有較長時間間隔，可以忽略注射過程和各個柱體取樣時間的差別。注射過程和各個柱體取樣時間的差別。第29頁/共47頁31在假設(shè)中，我們認為分子擴散和成分衰減是主在假設(shè)中，我們認為分子擴散和成分衰減是主要的遷移方式。成分的衰減顯然可看作是與多巴胺要的遷移方式。成分的衰減顯然可看作是與多巴胺的含量密度的含量密度(濃度濃度) C(x, y, z, t)(劑量單位劑量單位/mm3)成正比成正比的。設(shè)該比例系數(shù)的。設(shè)該比例系數(shù)(即成

24、分衰減系數(shù)即成分衰減系數(shù))為為 k。下面來考。下面來考慮分子的擴散。慮分子的擴散。先考慮物質(zhì)僅沿先考慮物質(zhì)僅沿 x 軸方向的擴散。如圖軸方向的擴散。如圖2，垂直，垂直于于 x 軸任作柱體，截面為軸任作柱體，截面為 A。圖圖2第30頁/共47頁32一方面，該柱體中物質(zhì)擴散時一方面，該柱體中物質(zhì)擴散時位于區(qū)間段位于區(qū)間段x, x+ x的的物質(zhì)物質(zhì)在時間段在時間段t, t+dt內(nèi)內(nèi)的增量為的增量為Cmt A xt 1( , )xC x tmEA tx 另一方面，擴散理論中的涅恩斯特實驗定律告另一方面，擴散理論中的涅恩斯特實驗定律告訴我們，在時間訴我們，在時間 t內(nèi)，物質(zhì)沿內(nèi)，物質(zhì)沿 x 軸正向流過軸

25、正向流過 x 處截處截面面(面積為面積為A)的質(zhì)量為的質(zhì)量為(其中其中 Ex 0 稱為稱為 x 方向的擴散方向的擴散系數(shù)系數(shù))：第31頁/共47頁332(, )xC xx tmEA tx 同理，在時間同理，在時間 t內(nèi)，物質(zhì)沿內(nèi)，物質(zhì)沿 x 軸正向流過軸正向流過 x+ x 處截面的質(zhì)量為：處截面的質(zhì)量為：12(, )( , )( , )xxC xx tC x tmmmEA txxC x tA x tExx 于是在時間于是在時間 t內(nèi)，流入微元體內(nèi)，流入微元體x, x+ x內(nèi)的物內(nèi)的物質(zhì)質(zhì)量為：質(zhì)質(zhì)量為：第32頁/共47頁34xCCEtxx顯然顯然mm ，即，即由于大腦是均勻的，顯然沿各方向的擴

26、散是一由于大腦是均勻的，顯然沿各方向的擴散是一致的，且擴散系數(shù)致的，且擴散系數(shù) Ex(Ey, Ez) 均為常數(shù)，再考慮到均為常數(shù)，再考慮到成分的衰減，應(yīng)有成分的衰減，應(yīng)有yxzCCCCEkCEEytxyzxz(5)第33頁/共47頁35又設(shè)又設(shè) t=0 時瞬時點源的劑量為時瞬時點源的劑量為M，則，則( , , ,0)( , , )C x y zMx y z其中其中, ( , , )(0,0,0)( , , )0, x y zx y z其它( , , )1 (0,0,0)x y z dv(6)(6)(6)式為方程式為方程(5)的初始條件。的初始條件。(5)(6)即構(gòu)成了用藥問即構(gòu)成了用藥問題的方

27、程模型。利用積分變換法可求得其解。題的方程模型。利用積分變換法可求得其解。第34頁/共47頁3601( )cossin2kkkak xk xf xabll若若 f(x) 在在-l, l分段連續(xù)可導(dǎo)分段連續(xù)可導(dǎo)(逐段光滑逐段光滑)，則，則 f(x) 在在(-l, l)可以展開為可以展開為Fourier級數(shù)：級數(shù)：其中其中1( )cosd (0,1,)lklkafkll1( )sind (1,2,)lklkbfkll第35頁/共47頁37()1( )( )2ixf xdfed將系數(shù)代入，并設(shè)將系數(shù)代入，并設(shè) f(x) 在在( , )內(nèi)絕對可積內(nèi)絕對可積，則整理可得，則整理可得令令( )( )i x

28、gf x edx則則1( )( )2i xf xged稱稱 g( ) 為為 f(x) 的傅里葉變換，記為的傅里葉變換，記為Ff；稱；稱f(x)為為g( ) 的傅里葉逆變換，記為的傅里葉逆變換，記為F1f。第36頁/共47頁38性質(zhì)性質(zhì)11212FffF fF f性質(zhì)性質(zhì)21212* F ffF f F f性質(zhì)性質(zhì)312121*2F f fF fF f性質(zhì)性質(zhì)4( ) , lim( )0 xF fxi F ff x其中其中定義卷積其中定義卷積1212*()( )fff xfd性質(zhì)性質(zhì)5( ) dFixf xF fd第37頁/共47頁39例例 求解定解問題求解定解問題2( ,0)( )txxua

29、uu xx關(guān)于關(guān)于x進行傅里葉變換，記進行傅里葉變換，記Fu=U，F(xiàn) = ，則，則有有其解為其解為22( , )( )atUte 22( ,0)( )tUaUU 第38頁/共47頁40于是原問題的解為于是原問題的解為2222111( , ) ( )( )*atatu x tFUFexFe而而故故222222222214121(cossin)211cos22atati xatxata tFeeedexix dexdeat2222()4411( , )( )*( )22xxa ta tu x txeedatat 第39頁/共47頁412, 0, 0(0, )( , )0, 0( ,0)( ), ( ,0)( ), 0ttxxtua uxl tutu l ttu xxu xxxl下面來求解定解問題：下面來求解定解問題：( 1) (2 )( 3)第40頁/共47頁422( )( )( ) ( )X x T ta Xx T t作具有分離變量形式的試解作具有分離變量形式的試解 u(x, t)=X(x)T(t)，代入方程代入方程(1