教學目的及基本要求正確掌握并理解數(shù)列函數(shù)極限的概ppt課件

1、寧 德 師 專 數(shù) 學 系http:/ 教學目的及根本要求教學目的及根本要求: 1.正確掌握并了解數(shù)列，函數(shù)極限的概念正確掌握并了解數(shù)列，函數(shù)極限的概念.收斂數(shù)收斂數(shù)列的列的 性質性質.第二章 極限與延續(xù)2.1 極限 2.可以運用 言語處置數(shù)列極限的一些 問題。 3.會運用四那么運算定理證明 重點與難點：數(shù)列。函數(shù)極限的概念。 課時：4學時,N寧 德 師 專 數(shù) 學 系http:/ 2.1.1 數(shù)列極限數(shù)列極限 普通地普通地, 我們把按一定順序陳列的無窮多個數(shù)我們把按一定順序陳列的無窮多個數(shù)稱為一稱為一個數(shù)列個數(shù)列. 例如例如 (1) (2) (3) (4)1,2 ,3,n1111,23n11

2、,1,1,1,1,n ,aaaa 都是數(shù)列都是數(shù)列. 通常也把數(shù)列寫成通常也把數(shù)列寫成12,nxxx寧 德 師 專 數(shù) 學 系http:/ 數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項. 第第n項項 叫做數(shù)列的通叫做數(shù)列的通項或普通項項或普通項. 因此因此, 數(shù)列可用通項簡記為數(shù)列可用通項簡記為 .nxnx上述數(shù)列上述數(shù)列(1)(4)的通項分別為的通項分別為 對于數(shù)列對于數(shù)列, 我們主要關注的是當它的項數(shù)我們主要關注的是當它的項數(shù) 無限增大時它的無限增大時它的變化趨勢變化趨勢. 例如例如,當當 無限增大時無限增大時, 數(shù)列數(shù)列(1)中的數(shù)也隨著無限中的數(shù)也隨著無限增大增大; 數(shù)列數(shù)

3、列(2)卻變得越來越小而接近于卻變得越來越小而接近于0; 數(shù)列數(shù)列(3)在在1與與-1之之間交替取值間交替取值; 數(shù)列數(shù)列(4)不隨變化而恒為不隨變化而恒為 . 為此為此, 我們引入數(shù)我們引入數(shù)列收斂的定義列收斂的定義.1,1,nnxnannna定義定義1 假設當假設當 時時, 數(shù)列數(shù)列 無限接近于一個常數(shù)無限接近于一個常數(shù) , n nx寧 德 師 專 數(shù) 學 系http:/ 那么稱數(shù)列那么稱數(shù)列 為收斂數(shù)列為收斂數(shù)列, 稱為稱為 時的極限時的極限, 記記為為 . 不收斂的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列不收斂的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列.nxn limnnx 顯然顯然, 這個定義是非常粗糙的這個定義是非常粗糙的, 由

4、于沒有闡明由于沒有闡明 時時與常數(shù)與常數(shù)A無限接近的準確含義是什么無限接近的準確含義是什么. 通俗地講通俗地講, 所謂所謂“ 時時 與常數(shù)與常數(shù)A無限接近指的是當項數(shù)無限接近指的是當項數(shù) 充分充分大大時時, 與常數(shù)與常數(shù)A的間隔無限小的間隔無限小,也就是也就是 的值可以小于的值可以小于任何指定的正數(shù)任何指定的正數(shù).n n nxnnxnx 寧 德 師 專 數(shù) 學 系http:/ 例如例如, 對于數(shù)列對于數(shù)列 , 假設我們指定它與假設我們指定它與0的間隔小于的間隔小于 , 那么只需那么只需 時就有時就有 ,假設指定它與假設指定它與0的的距距離小于離小于 ,那么只需那么只需 就有就有 , 1n110

5、10n 11010nxn1100100n 10100nx 同理同理, 假設指定它與假設指定它與0的間隔小于的間隔小于 , 那么只需那么只需 , 就就有有 , 110k10kn 1010nkx 因此因此, 時與常數(shù)時與常數(shù)A無限接近的準確含義就是無限接近的準確含義就是: 對對于于無論多么小的正數(shù)無論多么小的正數(shù) ,可以選擇一個充分大的自然數(shù)可以選擇一個充分大的自然數(shù)N,使得從使得從N以后數(shù)列的一切項，都滿足以后數(shù)列的一切項，都滿足n 0寧 德 師 專 數(shù) 學 系http:/ nx 于是我們重新給出數(shù)列收斂的準確定義于是我們重新給出數(shù)列收斂的準確定義.定義定義2 當當 時時,有有l(wèi)im0,nnx

6、nNnx 例例1：證明：證明 .分析：對于分析：對于 要使得要使得 ，只須，只須 即即可滿足要求可滿足要求.證證: , 當當 時時,有有1lim1nnn0,111nnn1n10, N nN111nnn寧 德 師 專 數(shù) 學 系http:/ 故故1lim1nnn收斂數(shù)列收斂數(shù)列 有如下簡單性質有如下簡單性質:(i) 的極限是獨一的的極限是獨一的.(ii) 為有界數(shù)列為有界數(shù)列,即即 ,對于一切對于一切 均均 有有 .推論推論: 無界數(shù)列一定發(fā)散無界數(shù)列一定發(fā)散nxnxnx0MnnxM注注: 數(shù)列收斂一定有界數(shù)列收斂一定有界, 但反之有界數(shù)列不一定收斂但反之有界數(shù)列不一定收斂. 例如例如 是有界數(shù)

7、列是有界數(shù)列,可它卻是發(fā)散的可它卻是發(fā)散的. 即數(shù)列有界是收即數(shù)列有界是收 斂的必要條件而非充分條件斂的必要條件而非充分條件. ( 1)n寧 德 師 專 數(shù) 學 系http:/ 2.1.2 函數(shù)極限函數(shù)極限1.自變量趨于無窮大時的極限自變量趨于無窮大時的極限 由于數(shù)列可看作是定義在自然數(shù)集上的特殊由于數(shù)列可看作是定義在自然數(shù)集上的特殊函數(shù)函數(shù) 從而可仿照數(shù)列極限定義給出函數(shù)從而可仿照數(shù)列極限定義給出函數(shù) 當當 時的極限定義時的極限定義. ( )nf nx( )f xx 定義定義3假設對于假設對于 , 當當 有有 ,那么稱那么稱A為為 時時 的極限的極限, 記為記為 (或或 0,0MxM( )f

8、 xAx ( )f xlim( )xf xA( ),f xA x 在上述定義中在上述定義中,假設只當假設只當 (或或 )時時, 有有 xMxM 寧 德 師 專 數(shù) 學 系http:/ 有有 , 那么稱那么稱A為為 (或或 )時的時的極極限限.( )f xAx x 例例3 證明證明 .分析分析: , 要使要使 . 只須只須 即可即可.證證: ,當當 時有時有 , 故故 .212lim33xxx0 21231333xxxx1x10, MxM212133xxx212lim33xxx寧 德 師 專 數(shù) 學 系http:/ 2.自變量趨于有限值時的極限自變量趨于有限值時的極限定義定義4 假設對于假設對于

9、 ,當當 時有時有 , 那么稱那么稱A為為 時時 的極限的極限, 記為記為0,0 00 xx( )f xA0 xx( )f x00lim( )( )xxf xAxxf xA或，）注注: 1) 定義中定義中 闡明闡明 時時 的極限與的極限與 在在 有無定義及有無定義及 為何值無關為何值無關. 2) 是隨是隨 而確定的正數(shù)而確定的正數(shù), 通常情況是通常情況是 越小越小, 那么那么 也越小也越小.00 xx0 xx( )f x( )f x0 x0()f x寧 德 師 專 數(shù) 學 系http:/ 3.左左(右右)極限極限 當自變量當自變量 只從只從 的左的左(右右)側單邊趨向于側單邊趨向于 時的極限時

10、的極限稱為稱為 時的左時的左(右右)極限極限. x0 x0 x0 xx左極限左極限:.)(,0,0bxfaxa恒有時使當右極限右極限:.)(,0,0bxfaxa恒有時使當.)0()(lim)(0bafbxfaxax或記作.)0()(lim)(0bafbxfaxax或記作寧 德 師 專 數(shù) 學 系http:/ lim( )lim( )lim( ).xaxaxaf xbf xf xb根據(jù)定義容易證明根據(jù)定義容易證明:例例4 討論討論 , 當當 時的極限時的極限.21,1( ),1xxf xxx1x 解解: 當當 時時, 當當 時時, 因此因此 , 故故 不存在不存在.1x 11lim( )lim(

11、1)2xxf xx1x 211lim( )lim1xxf xx11lim( )lim( )xxf xf x1lim( )xf x寧 德 師 專 數(shù) 學 系http:/ 2.1.3 極限的運算法那么極限的運算法那么四那么運算：假設函數(shù) 與 在 都存在極限，那么函數(shù) ， ， 也存在極限，且 (1) (2) (3) (4)( )f x( )g xa( )( )f xg x( ) ( )f x g x( )( )f xg x( ( )0)g x lim( )( )lim ( ) lim ( )xaxaxaf xg xf xg xlim ( ) ( )lim ( )lim ( )xaxaxaf x g

12、xf xg xlim ( )( )lim,lim ( )0( )lim ( )xaxaxaxaf xf xg xg xg x其中l(wèi)im( )lim( )xaxac f xcf x寧 德 師 專 數(shù) 學 系http:/ 例例5 求求 . 解解: 2231lim23nnnn222231131limlim3232nnnnnnnn2231lim(1)3lim(2)nnnnn22311limlim1322limnnnnnn例六例六 求求 . 解解: 原式原式 2226lim()22xxxx222(2)22limlim(2)(1)13xxxxxx寧 德 師 專 數(shù) 學 系http:/ 教學目的及根本要求：

13、教學目的及根本要求： 1.深化了解函數(shù)延續(xù)、函數(shù)左右極限、區(qū)間上函數(shù)延續(xù)、深化了解函數(shù)延續(xù)、函數(shù)左右極限、區(qū)間上函數(shù)延續(xù)、 延續(xù)點及其分類等概念。延續(xù)點及其分類等概念。 2.對普通的函數(shù)，特別是初等函數(shù)可以討論其延續(xù)點并且對普通的函數(shù)，特別是初等函數(shù)可以討論其延續(xù)點并且 分類。分類。2.2 函數(shù)的延續(xù)性重點與難點：函數(shù)延續(xù)的定義，延續(xù)點的判別及分類。重點與難點：函數(shù)延續(xù)的定義，延續(xù)點的判別及分類。課時：課時：2學時學時寧 德 師 專 數(shù) 學 系http:/ 2.2.1 2.2.1 函數(shù)延續(xù)的定義函數(shù)延續(xù)的定義定義定義9 設函數(shù)設函數(shù)y=f(x)在點在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，假設的某一鄰域內(nèi)有

14、定義，假設 那么就稱函數(shù)那么就稱函數(shù)f(x)在點在點x0延續(xù)延續(xù).)()(lim00 xfxfxx )()(, 0, 0)(:)(000 xfxfxxxxfxf有有使當使當處連續(xù)處連續(xù)在點在點語言表達如下語言表達如下連續(xù)的連續(xù)的函數(shù)函數(shù)右右連連續(xù)續(xù)在在點點就就說說函函數(shù)數(shù)即即且且等等于于存存在在如如果果左左連連續(xù)續(xù)在在點點就就說說函函數(shù)數(shù)即即存存在在且且等等于于如如果果0000000000)(),()()()()(lim;)()()()()()(lim00 xxfxfxfxfxfxfxxfxfxfxfxfxfxxxx 定義定義10 (左左(右右)延續(xù)延續(xù)) 寧 德 師 專 數(shù) 學 系http:

15、/ 由函數(shù)的延續(xù)定義可知由函數(shù)的延續(xù)定義可知: 在點在點 延續(xù)的充要條件是延續(xù)的充要條件是 在點在點 左延續(xù)且右延續(xù)左延續(xù)且右延續(xù). ( )f x0 x( )f x0 x定義定義11 設設 函數(shù)函數(shù),當自變量當自變量 從初值從初值 變到終值變到終值 時時,稱稱 為為 的改動量的改動量(或增量或增量), 為函數(shù)為函數(shù)的改動量的改動量.( )yf xx1x2x12xxx x12yyy 由定義由定義11,設設 ,那么那么 于是定義于是定義9可改寫為可改寫為 或或0 xxx 00( )()()( )yf xf xf xxf x 000lim()()xf xxf x 000limlim()( )0 xx

16、yf xxf x 寧 德 師 專 數(shù) 學 系http:/ 從幾何上看，在從幾何上看，在 上延續(xù)的函數(shù)的圖形是一條無延續(xù)的曲上延續(xù)的函數(shù)的圖形是一條無延續(xù)的曲線，即是從點線，即是從點 到點到點 的一筆畫成的曲線的一筆畫成的曲線見圖見圖2-3假設函數(shù)假設函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上每一點都延續(xù)上每一點都延續(xù),我們就稱我們就稱 在在 上延續(xù)或稱上延續(xù)或稱 為為 上的延續(xù)函數(shù)上的延續(xù)函數(shù)()fxII()fx()fxI, a b( ,( )A a f a( ,( )B b f b寧 德 師 專 數(shù) 學 系http:/ 我們通常把函數(shù)的延續(xù)點分成以下三類：我們通常把函數(shù)的延續(xù)點分成以下三類：二、函數(shù)的延續(xù)點二、

17、函數(shù)的延續(xù)點定義定義 設函數(shù)設函數(shù)f(x)f(x)在點在點x0 x0的某去心鄰域內(nèi)有定義，假設函數(shù)的某去心鄰域內(nèi)有定義，假設函數(shù) f(x)f(x)有以下三種情形之一：有以下三種情形之一：(1)(1)在在x=x0 x=x0沒有定義；沒有定義；(2)(2)雖在雖在x= x0 x= x0有定義，但有定義，但 不存在；不存在；(3)(3)雖在雖在x= x0 x= x0有定義，且有定義，且 存在存在, ,但但那么函數(shù)那么函數(shù)f(x)f(x)在點在點x0 x0為不延續(xù)，而點為不延續(xù)，而點x0 x0稱為函數(shù)稱為函數(shù)f(x)f(x)的不延續(xù)的不延續(xù)點或延續(xù)點點或延續(xù)點. .)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx)()(lim00 xfxfxx 寧 德 師 專 數(shù) 學 系http:/ 1.可去延續(xù)點可去延續(xù)點:2.第一類延續(xù)點第一類延續(xù)點: 與與 均存在但不相等均存在但不相等 3.第二類延續(xù)點：第二類延續(xù)點： 與與 兩者至少有一個不兩者至少有一個不 存在存在 00lim( )()xxf xAf x0lim( )xxf x0lim( )xxf x0lim( )xxf