chapter11布萊克休爾斯莫頓期權(quán)定價模型

1、 1973年，美國芝加哥大學(xué)教授 Fischer Black& Myron Scholes提出了著名的B-S定價模型，用于確定歐式股票期權(quán)價格，在學(xué)術(shù)界和實務(wù)界引起了強烈反響；同年，Robert C. Merton獨立地提出了一個更為一般化的模型。舒爾斯和默頓由此獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。在本章中，我們將循序漸進，盡量深入淺出地介紹布萊克-舒爾斯-默頓期權(quán)定價模型（下文簡稱B-S-M模型），并由此導(dǎo)出衍生證券定價的一般方法。 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 1 我們?yōu)榱私o股票期權(quán)定價，必須先了解股票本身的走勢。因為股票期權(quán)是其標(biāo)的

2、資產(chǎn)（即股票）的衍生工具，在已知執(zhí)行價格、期權(quán)有效期、無風(fēng)險利率和標(biāo)的資產(chǎn)收益的情況下，期權(quán)價格變化的唯一來源就是股票價格的變化，股票價格是影響期權(quán)價格的最根本因素。 因此，要研究期權(quán)的價格，首先必須研究股票價格的變化規(guī)律。在 了解了股票價格的規(guī)律后，我們試圖通過股票來復(fù)制期權(quán)，并以此為依據(jù)給期權(quán)定價。 在下面幾節(jié)中我們會用數(shù)學(xué)的語言來描述這種定價的思想。 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 2 市場有效理論與隨機過程 1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說。該假說認為，證券價格對新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價格能完全

3、反應(yīng)全部信息。 根據(jù)眾多學(xué)者的實證研究，發(fā)達國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。一般認為，弱式效率市場假說與馬爾可夫隨機過程（Markov Stochastic Process）是內(nèi)在一致的。因此我們可以用數(shù)學(xué)來刻畫股票的這種特征。 有效市場三個層次 1、弱式效率市場假說 2、半強式效率市場假說3、強式效率市場假說 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 3 布朗運動（Brownian Motion）起源于英國植物學(xué)家布郎對水杯中的花粉粒子的運動軌跡的描述。 ?t代表一個小 對于標(biāo)準(zhǔn)布朗運動來說：設(shè) z代表變量z在 的時間間隔長度，? ?t時

4、間內(nèi)的?z具有兩種特征： 變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運動的 z和 ?t的關(guān)系滿足： 特征1 ：? ?t = ?z? 代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為0 、標(biāo)其中，準(zhǔn)差為1 的正態(tài)分布）中取的一個隨機值。 ?z的?t， 特征2 ：對于任何兩個不同時間間隔 值相互獨立。 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 4 將標(biāo)準(zhǔn)布郎運動擴展我們將得到普通布郎運動，令漂移率為a，方差率為b2，我們就可得到變量x 的普通布朗運動： dx?adt?bdz 標(biāo)準(zhǔn)布朗運動是普通布朗運動的一個特例，即漂移率為0，方差為1的普通布郎運動。 Copyright? Zheng Zhenl

5、ong & Chen Rong, 2008 5 ?x?a?t?b?t，顯然，x也普通布朗運動的離差形式為 a?t，標(biāo)準(zhǔn)差為 具有正態(tài)分布特征，其均值為 b2?tb?t，方差為 1、顯然，遵循普通布朗運動的變量x是關(guān)于時間和dz的動態(tài)過程，其中第一項adt為確定項，它意味著x的期望漂移率是每單位時間為a 。第二項bdz是隨機項，它表明對x的動態(tài)過程添加的噪音 。這種噪音是由維納過程的b倍給出的。 2、在任意時間長度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為bT，方差為b2T。 aT，標(biāo)準(zhǔn)差為 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 6 普通布朗運動

6、假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時間t的函數(shù)，我們就可dx?a(x,t)dt?b(x,t)dz以得到 這就是伊藤過程（Ito Process）。其中，dz是一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 7 在伊藤過程的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)家伊藤（K.Ito）進一步推導(dǎo)出：若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程： ?G?G1?2G2?GdG?(a?b )dt?bdz2?x?t2?x?x 其中，dz是一個標(biāo)準(zhǔn)布朗運動。這就是著名的伊藤引

7、理。 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 8 dS*隨機微積分與非隨機微積分的差別 d ln S?S案例案例11.1 運用伊藤引理推導(dǎo)運用伊藤引理推導(dǎo)lnS所遵循的隨機過程所遵循的隨機過程 假設(shè)變量S服從 dS?Sdt?Sdz其中和都為常數(shù)，則lnS遵循怎樣的隨機過程？ 由于和是常數(shù)，S顯然服從 ，a(S,t)?S b(S,t)?的伊藤過程，我S們可以運用伊藤引理推導(dǎo)lnS所遵循的隨機過程。 ?G1?2G1?G?,? ?,?0?lnS，則 令G 22?SS?S?tS 2?G?G1?G2?GG?lnS所 代入式 我們就可得到 dG?(a?b )

8、dt?bdz?x?t2?x2?x ?2dG?d ln S?(?)dt?dz遵循的隨機過程為 2 由于dlnS是股票的連續(xù)復(fù)利收益率，得出的公式說明股票的連續(xù) 2?2?dt的正態(tài)分布。 (?)dt，方差為 復(fù)利收益率服從期望值 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 29 一般來說，金融研究者認為證券價格的變化過程可以用?22的伊藤過程（即幾何布朗運動）漂移率為S、方差率為 S來表示： dS?Sdt?Sdz 之所以采用幾何布朗運動其主要原因有兩個： 一是可以避免股票價格為負從而與有限責(zé)任相矛盾的問題，二是幾何布朗運動意味著股票連續(xù)復(fù)利收益率服從正態(tài)

9、分布，這與實際較為吻合。 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 10 從案例11.1我們已經(jīng)知道，如果股票價格服從幾何布朗運動，2?則有 dG?dlnS?(?)dt?dz2 從自然對數(shù)的定義域可知，S不能為負數(shù)。另外從上式可以看出，股票價格的對數(shù)服從普通布朗運動，因為它具有恒定的漂移率 ?2。由前文的分析可知，當(dāng)一個變量服?2/2和恒定的方差率 dx?adt?bdz時，其在任意時間長度T-t內(nèi)的變化值從普通布朗運動 22a T?tbT?t?、方差為 ?的正態(tài)分布。也就是說， 都服從均值為 lnS?lnS?(?2)(T?t),?T?tT2Copy

10、right? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 11 由上一頁的推導(dǎo)可知證券價格對數(shù)服從正態(tài)分布。如果一個變量的自然對數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個變量服從對數(shù)正態(tài)分布。這表明ST服從對數(shù)正態(tài)分布。根據(jù)對數(shù)正態(tài)分布的特性，以及符號的定義，我們可以得到 E(ST)?Se?(T?t)和 var( ST)?S e22?(T?t)e?(T?t)2?1 ln S?ln SlnST?lnS實際上就是股票價格在Tt期間的連續(xù)復(fù)利收益率， T?則Tt期間年化的連續(xù)復(fù)利收益率可以表示為 ，T?t?從式（11.9）可知隨機變量 服從正態(tài)分布 ?(?22),?T?tCopyright? Z

11、heng Zhenlong & Chen Rong, 2008 12 ?: 1、幾何布朗運動中的期望收益率。 ? 取決于該證券的系統(tǒng)性風(fēng)險、2、根據(jù)資本資產(chǎn)定價原理，無風(fēng)險利率水平、以及市場的風(fēng)險收益偏好。由于后者涉及主觀因素，因此其決定本身就較復(fù)雜。然而幸運的是，我們將在下文證明，衍生證券的定價與標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收?益率 是無關(guān)的。 2?/23 、較長時間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值等于 ?，這是因為較長時間段后的連續(xù)復(fù)利收益率的期望值 是較短時間內(nèi)收益率幾何平均的結(jié)果，而較短時間內(nèi)的收益率則是算術(shù)平均的結(jié)果。 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 20

12、08 13 : ?1、證券價格的年波動率，又是股票價格對數(shù)收益率的年標(biāo)準(zhǔn)差 2、一般從歷史的證券價格數(shù)據(jù)中計算出樣本對數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，再對時間標(biāo)準(zhǔn)化，得到年標(biāo)準(zhǔn)差，即為波動率的估計值。在計算中，一般來說時間距離計算時越近越好；時間窗口太短也不好；一般來說采用交易天數(shù)計算波動率而不采用日歷天數(shù)。 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 14 當(dāng)股票價格服從幾何布朗運動 dS ? ? ?Sdz 時，由?Sdt于衍生證券價格G是標(biāo)的證券價格S和時間t的函數(shù)G(S,t)，根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價格G應(yīng)遵循如下過程： ?G?G1?2G22?G dG?(

13、?S?S )dt?Sdz2?S?t2?S?S 比較（11.1）和（11.11）可看出，衍生證券價格G和股票價格S都受同一個不確定性來源dz的影響，這點對于以后推導(dǎo)衍生證券的定價公式很重要。 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 15 假設(shè)： ?和 ?為常數(shù)； 1、證券價格遵循幾何布朗運動，即 2、允許賣空標(biāo)的證券； 3、沒有交易費用和稅收，所有證券都是完全可分的； 4、衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付； 5、存在無風(fēng)險套利機會； 6、證券交易是連續(xù)的，價格變動也是連續(xù)的； 7、衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險利率r為常數(shù)。 Copyright?

14、 Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 16 dS 由于證券價格S遵循幾何布朗運動，因此有： ?Sdt?Sdz?S為： 其在一個小的時間間隔 ? t中，S的變化值 ?S?S?t?S?z 設(shè)f是依賴于S的衍生證券的價格，則f一定是S和t的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得： ?f?f1?2f22?fdf?(?S?S )dt?Sdz2?S?t2?S?S在一個小的時間間隔中，f的變化值 ?f為： 2?f?f?f22?f1 ?f?(?S?S )?t?S?z?S?t2?S2?SCopyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 17 ?z，可以構(gòu)建一個

15、包括一單位衍生證 為了消除風(fēng)險源 ?f單位標(biāo)的證券多頭的組合。 券空頭和 ?代表該投資組合的價值，則： 令 ?S?f? ? ?f?S?x?t時間后，該投資組合的價值變化 在 ?為： ?f? ? ?f?S?S代入 ?f 和 ?S?f1 ?2f22可得 ?(?S )?t2?t2?SCopyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 18 中不含任何風(fēng)險源，因 ?必須獲得無風(fēng)險收益，即 此組合 ? ?r?t?f1?2f22?(?S )?t2?t2?S代入上式可得 ?f1?2f22?f(?S )?t?r(f?S)?t2?t2?S?S化簡為 ?f?f122?2f?rS

16、?S?rf2?t2?S?S*這就是著名的布萊克舒爾斯微分分程，它適用于其價格取決于標(biāo)的證券價格S的所有衍生證券的定價。 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 19 觀察布萊克舒爾斯微分方程，我們可以發(fā)現(xiàn)，受制于主觀的風(fēng)險收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價值決定公式中。這意味著，無論風(fēng)險收益偏好狀態(tài)如何，都不會對f的值產(chǎn)生影響。因此我們可以作出一個可以大大簡化我們工作的假設(shè)：在對衍生證券定價時，所有投資者都是風(fēng)險中性的。在對衍生證券定價時，所有投資者都是風(fēng)險中性的。盡管這只是一個人為的假定，但通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資

17、者風(fēng)險中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險的所有情況。 在風(fēng)險中性的條件下，所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險利率r，所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險利率進行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險中性定價原理。 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 20 假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價為10元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是11元，要么是9元?，F(xiàn)在我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。 由于歐式期權(quán)不會提前執(zhí)行，其價值取決于3個月后股票的市價。若3個月后該股票價格等于11元，則該期權(quán)價值為0.5元；若3個月后該股票價格等于9

18、元，則該期權(quán)價值為0。 風(fēng)險中性定價原理的應(yīng)用風(fēng)險中性定價原理的應(yīng)用 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 21 為了找出該期權(quán)的價值，我們可構(gòu)建一個由一單位看漲期權(quán)空頭和 ?單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若3?個月后該股票價格等于11元時，該組合價值等于( 11 0.5)元；若3個月后該股票價格等于9元時，該組合價值等于9 ?元。為了使該組合價值處于無風(fēng)險狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)??值，使3個月后該組合的價值不變，這意味著： 11 0.5=9 ? =0.25 ? 因此，一個無風(fēng)險組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和0.25股標(biāo)的股票。無論3個月后股票價

19、格等于11元還是9元，該組合價值都將等于2.25元。 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 22 假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險年利率等于10%，則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為： ?0 .1?0 .252 .25 e?2 .19元 由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場為10元，因此： 10?0 .25?f?2 .19f?0 .31元 這就是說，該看漲期權(quán)的價值應(yīng)為0.31元，否則就會存在無風(fēng)險套利機會。 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 23 從該例子可以看出，在確定期權(quán)價值時，我們

20、并不需要知道股票價格上漲到11元的概率和下降到9元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。事實上，只要股票的預(yù)期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。例如，在風(fēng)險中性世界中，無風(fēng)險利率為10%，則股票上升的概率P可以通過下式來求： 10?e?0.1?0.25?11 P?9(1?P)P=62.66%。 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 24 又如，如果在現(xiàn)實世界中股票的預(yù)期收益率為15%，則股票的上升概率可以通過下式來求： 10?e?0.15?0.25?11 P?9(1?P)P=69.11%。 可見，投資者厭惡風(fēng)險程度決定了股票的

21、預(yù)期收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風(fēng)險程度如何，從而無論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價值都等于0.31元。 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 25 在風(fēng)險中性的條件下，無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)到期時（T時刻）的期望值為： Emax( ST?X,0 ) 其中， E表示風(fēng)險中性條件下的期望值。根據(jù)風(fēng)險中性定價 原理，歐式看漲期權(quán)的價格c等于將此期望值按無風(fēng)險利率進 ?行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即： c?e?r(T?t)Emax( ST?X,0)?Copyright? Zheng Zhenlong & Chen

22、Rong, 2008 26 c?Emax(?X)右邊求值是一種積分過程，結(jié)果為： 對 e S T ,0 ?r(T?t)?其中， c?SN(d1)?Xe?r(T?t)N(d2)d1?ln(S/X)?(r?2/2 )(T?t)?T?tln(S/X)?(r?2/2)(T?t)d2?d1?T?t?T?t N（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)(即這個變量小于x的概率)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)特性，我們 有 N(?x)?1?N(x)。 這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價公式。 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 27 對于布萊克舒爾斯期權(quán)定價公式的

23、理解： 在B-S公式中，N(d2)是在風(fēng)險中性世界中ST大于X的概率，或者說是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率，e-r(T-t)XN(d2)是X的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值。SN(d1)= e-r(T-t)STN(d1)是ST的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值 。 因此，這個公式就是未來收益期望值的貼現(xiàn)。 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 28 無收益資產(chǎn)的歐式看跌期權(quán)的定價公式 根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價關(guān)系，可以得到無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價公式： p?Xe?r(T?t)N(?d2)?SN(?d1)Copyright? Zheng Zhenlong

24、 & Chen Rong, 2008 29 無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價公式 在標(biāo)的資產(chǎn)無收益情況下，美式看漲期權(quán)提前執(zhí)行是不合理的，因此C=c，無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的定價公式同樣是： ?r(T?t)C?SN(d1)?XeN(d2)Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 30 有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)的定價公式 對于有收益標(biāo)的資產(chǎn)的歐式期權(quán)，在收益已知情況下，我們可以把標(biāo)的證券價格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分和一個有風(fēng)險部分。當(dāng)期權(quán)到期時，這部分現(xiàn)值將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，我們只要用S表示有風(fēng)險部分的證券價格。表

25、示風(fēng)險部分遵循隨機過程的波動率，就可直接 ?r(T?t)c?SN(d )?XeN(d2)套用公式: 1?r(T?t) p?XeN(?d2)?SN(?d1)分別計算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價值。 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 31 因此，當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I時，我們只要用（SI）代替S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。 當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計算的固定收益率q（單位為q(T?t)年）時，我們只要將 代替S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率 Se? 證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。 一般來說，期貨期權(quán)、股指期

26、權(quán)和外匯期權(quán)都可以看作標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)復(fù)利收益率的期權(quán)。其中，歐式期貨期權(quán)可以看作一個支付連續(xù)紅利率為r的資產(chǎn)的歐式期權(quán)；股指期權(quán)則是以市場平均股利支付率為收益率，外匯期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的連續(xù)紅利率為該外匯在所在國的無風(fēng)險利率。 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 32 有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)的定價 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有收益時，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，因此有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價較為復(fù)雜，布萊克提出了一種近 似處理方法。該方法是先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理，tn 提前執(zhí)行可能是合理 若不合理，則按歐式期權(quán)處理；若在 的，則要分別計算在T時刻

27、和 tn 時刻到期的歐式看漲期權(quán)的 價格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價格。在大多數(shù)情況下，這種近似效果都不錯。 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 33 美式看跌期權(quán)的定價 美式看跌期權(quán)無論標(biāo)的資產(chǎn)有無收益都有提前執(zhí)行的可能，而且與其對應(yīng)的看漲期權(quán)也不存在精確的平價關(guān)系，因此我們一般通過數(shù)值方法來求美式看跌期權(quán)的價值。 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 34 我們已經(jīng)知道，B-S-M期權(quán)定價公式中的期權(quán)價格取決于下列五個參數(shù)：標(biāo)的資產(chǎn)市場價格、執(zhí)行價格、到期期限、無風(fēng)險利率和標(biāo)的

28、資產(chǎn)價格波動率（即標(biāo)的資產(chǎn)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差）。在這些參數(shù)當(dāng)中，前三個都是很容易獲得的確定數(shù)值。但是無風(fēng)險利率和標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率則需要通過一定的計算求得估計值。 Copyright? Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 35 （一）估計無風(fēng)險利率 在發(fā)達的金融市場上，很容易獲得無風(fēng)險利率的估計值，但在實際應(yīng)用時仍然需要注意幾個問題。首先，要選擇正確的利率。要注意選擇無風(fēng)險的即期利率（即零息票債券的到期收益率），而不能選擇附息票債券的到期收益率，并且要轉(zhuǎn)化為連續(xù)復(fù)利的形式，才可以在B-S-M公式中應(yīng)用。一般來說，在美國人們大多選擇美國國庫券利率作為無風(fēng)險利率的估計值，在中國過去通常使用銀行存款利率，現(xiàn)在則可以從銀行間債券市場的價格中確定國債即期利率作為無風(fēng)險利率。其次，要注意選擇利率期限。如果利率期限結(jié)構(gòu)曲線傾斜嚴重，那么不同到期日的收益率很可能相差很大，我們必須選擇距離期權(quán)到期日最近的利率作為無風(fēng)險利率。