數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法既有區(qū)別又有密切聯(lián)系

1、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法既有區(qū)別又有密切聯(lián)系。數(shù)學(xué)思想的理論和抽象程度要高一些，而數(shù)學(xué)方法的實(shí)踐性更強(qiáng)一些。人們實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想往往要靠一定的數(shù)學(xué)方法；而人們選擇數(shù)學(xué)方法，又要以一定的數(shù)學(xué)思想為依據(jù)。因此，二者是有密切聯(lián)系的。我們把二者合稱為數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，那么，要想學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)，就要深入到數(shù)學(xué)的“靈魂深處”。 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在總體目標(biāo)中明確提出：“學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能。”這一總體目標(biāo)貫穿于小學(xué)和初中，這充分說(shuō)明了數(shù)學(xué)思想方法的重要性。在小學(xué)數(shù)學(xué)階段有意識(shí)地向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法可以加深學(xué)

2、生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定律的理解，提高學(xué)生解決問題的能力和思維能力，也是小學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)行素質(zhì)教育的真正內(nèi)涵之所在。同時(shí)，也能為初中數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)打下較好的基礎(chǔ)。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)思想方法主要有符號(hào)化思想、化歸思想、類比思想、歸納思想、分類思想、方程思想、集合思想、函數(shù)思想、一一對(duì)應(yīng)思想、模型思想、數(shù)形結(jié)合思想、演繹推理思想、變換思想、統(tǒng)計(jì)與概率思想等等。為了使廣大小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中能很好地滲透這些數(shù)學(xué)思想方法，筆者把這些思想方法比較系統(tǒng)地進(jìn)行概括和梳理，明晰這些思想方法的概念，整理它們?cè)谛W(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)中的應(yīng)用，以及了解每個(gè)思想方法的適當(dāng)拓展。一、符號(hào)化思想1. 符號(hào)化思想的概念。數(shù)學(xué)符

3、號(hào)是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，數(shù)學(xué)世界是一個(gè)符號(hào)化的世界，數(shù)學(xué)作為人們進(jìn)行表示、計(jì)算、推理和解決問題的工具，符號(hào)起到了非常重要的作用；因?yàn)閿?shù)學(xué)有了符號(hào)，才使得數(shù)學(xué)具有簡(jiǎn)明、抽象、清晰、準(zhǔn)確等特點(diǎn)，同時(shí)也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的普及和發(fā)展；國(guó)際通用的數(shù)學(xué)符號(hào)的使用，使數(shù)學(xué)成為國(guó)際化的語(yǔ)言。符號(hào)化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意義。2. 如何理解符號(hào)化思想。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)比較重視培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，并提出了幾點(diǎn)要求。那么，在小學(xué)階段，如何理解這一重要思想呢？下面結(jié)合案例做簡(jiǎn)要解析。第一，能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號(hào)表示。這是一個(gè)從具體到抽象、從特殊到一般的探索和歸納的過程。如通過幾組具體的兩個(gè)數(shù)相加，

4、交換加數(shù)的位置和不變，歸納出加法交換律，并用符號(hào)表示：a+b=b+a。再如在長(zhǎng)方形上拼擺單位面積的小正方形，探索并歸納出長(zhǎng)方形的面積公式，并用符號(hào)表示：Sab。這是一個(gè)符號(hào)化的過程，同時(shí)也是一個(gè)模型化的過程。第二，理解符號(hào)所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。這是一個(gè)從一般到特殊、從理論到實(shí)踐的過程。包括用關(guān)系式、表格和圖象等表示情境中數(shù)量間的關(guān)系。如假設(shè)一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是a，那么4a就表示該正方形的周長(zhǎng)，a2表示該正方形的面積。這同樣是一個(gè)符號(hào)化的過程，同時(shí)也是一個(gè)解釋和應(yīng)用模型的過程。第三，會(huì)進(jìn)行符號(hào)間的轉(zhuǎn)換。數(shù)量間的關(guān)系一旦確定，便可以用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來(lái)，但數(shù)學(xué)符號(hào)不是唯一的，可以豐富多彩。如一輛

5、汽車的行駛時(shí)速為定值80千米，那么該輛汽車行駛的路程和時(shí)間成正比，它們之間的數(shù)量關(guān)系既可以用表格的形式表示，也可以用公式s=80t表示，還可以用圖象表示。即這些符號(hào)是可以相互轉(zhuǎn)換的。第四，能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號(hào)所表示的問題。這是指完成符號(hào)化后的下一步工作，就是進(jìn)行數(shù)學(xué)的運(yùn)算和推理。能夠進(jìn)行正確的運(yùn)算和推理是非常重要的數(shù)學(xué)基本功，也是非常重要的數(shù)學(xué)能力。3. 符號(hào)化思想的具體應(yīng)用。數(shù)學(xué)的發(fā)展雖然經(jīng)歷了幾千年，但是數(shù)學(xué)符號(hào)的規(guī)范和統(tǒng)一卻經(jīng)歷了比較慢長(zhǎng)的過程。如我們現(xiàn)在通用的算術(shù)中的十進(jìn)制計(jì)數(shù)符號(hào)數(shù)字09于公元8世紀(jì)在印度產(chǎn)生，經(jīng)過了幾百年才在全世界通用，從通用至今也不過幾百年。代數(shù)在早期

6、主要是以文字為主的演算，直到16、17世紀(jì)韋達(dá)、笛卡爾和萊布尼茲等數(shù)學(xué)家逐步引進(jìn)和完善了代數(shù)的符號(hào)體系。符號(hào)在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用如下表。知識(shí)領(lǐng)域知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用舉例應(yīng)用拓展數(shù)與代數(shù)數(shù)的表示阿拉伯?dāng)?shù)字：09中文數(shù)字：一十百分號(hào)：千分號(hào)：用數(shù)軸表示數(shù)數(shù)的運(yùn)算+、( ) 2（平方）3（立方）數(shù)的大小關(guān)系、K21K24，所以KK（K1）（K1）（K2）（K2），所以把這個(gè)偶數(shù)拆分成兩個(gè)相等的數(shù)的和，它們的積最大。如果N為奇數(shù)，可設(shè)N2K1（K為任意大于1的自然數(shù)）；那么NK（K1）（K1）（K2）（K2）（K3），因?yàn)镵2KK2K2K2K6，所以K（K1）（K1）（K2）（K2）（K3），所以把這個(gè)奇數(shù)拆分成

7、兩個(gè)相差1的數(shù)的和，它們的積最大。仔細(xì)觀察問題可以發(fā)現(xiàn)，題中的自然數(shù)只要大于4, 便存在一種普遍的規(guī)律；因此，取幾個(gè)具體的特殊的數(shù)，也應(yīng)該存在這樣的規(guī)律。這時(shí)就可以把一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題，僅舉幾個(gè)有代表性的比較小的數(shù)（只要大于4）進(jìn)行枚舉歸納，如10,11等，就可以解決問題，具體案例見前文?；瘹w思想作為最重要的數(shù)學(xué)思想之一，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問題的過程中無(wú)所不在，對(duì)于學(xué)生而言，要學(xué)會(huì)善于運(yùn)用化歸的思想方法解決各種復(fù)雜的問題，最終達(dá)到在數(shù)學(xué)的世界里舉重若輕的境界。三、模型思想1. 模型思想的概念。數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從廣

8、義角度講，數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系式、圖表、程序等都是數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)的模型思想是一般化的思想方法，數(shù)學(xué)模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)式和圖表，因而它與符號(hào)化思想有很多相通之處，同樣具有普遍的意義。不過，也有很多數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解似乎更注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用性,即把數(shù)學(xué)模型描述為特定的事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)。如通過數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)、物理、農(nóng)業(yè)、生物、社會(huì)學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，所構(gòu)造的各種數(shù)學(xué)模型。為了把數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)知識(shí)或是符號(hào)思想明顯地區(qū)分開來(lái)，本文主要從俠義的角度討論數(shù)學(xué)模型，即重點(diǎn)分析小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用及數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。2. 模型思想的重要意義。數(shù)學(xué)模型是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和工具，對(duì)現(xiàn)

9、實(shí)世界的一些信息進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，經(jīng)過推理和運(yùn)算，對(duì)相應(yīng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、預(yù)測(cè)、決策和控制，并且要經(jīng)過實(shí)踐的檢驗(yàn)。如果檢驗(yàn)的結(jié)果是正確的，便可以指導(dǎo)我們的實(shí)踐。如上所述，數(shù)學(xué)模型在當(dāng)今市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)和信息化社會(huì)已經(jīng)有比較廣泛的應(yīng)用；因而，模型思想在數(shù)學(xué)思想方法中有非常重要的地位，在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域也應(yīng)該有它的一席之地。如果說(shuō)符號(hào)化思想更注重?cái)?shù)學(xué)抽象和符號(hào)表達(dá)，那么模型思想更注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用，即通過數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化解決問題，尤其是現(xiàn)實(shí)中的各種問題；當(dāng)然，把現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化的過程也是一個(gè)抽象的過程?，F(xiàn)行的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)符號(hào)化思想有明確的要求，如要求學(xué)生“能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號(hào)來(lái)表示”這實(shí)際上

10、就包含了模型思想。但是，課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)第一、二學(xué)段并沒有明確提出模型思想的要求，只是在第三學(xué)段的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)建議中明確提出了模型思想，要求在教學(xué)中“注重使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型”，教學(xué)過程以“問題情境建立模型解釋、應(yīng)用與拓展”的模式展開。如果說(shuō)小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者中有人關(guān)注了模型思想，多數(shù)人基本上只是套用第三學(xué)段對(duì)模型思想的要求進(jìn)行研究，也很難做到要求的具體化和課堂教學(xué)的貫徹落實(shí)。據(jù)了解，即將頒布的課程標(biāo)準(zhǔn)修改稿與現(xiàn)行的課程標(biāo)準(zhǔn)相比有了較大變化，在課程內(nèi)容部分中明確提出了“初步形成模型思想”，并具體解釋為“模型思想的建立是幫助學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過

11、程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)”。并在教材編寫建議中提出了“教材應(yīng)當(dāng)根據(jù)課程內(nèi)容，設(shè)計(jì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的活動(dòng)。這樣的活動(dòng)應(yīng)體現(xiàn)問題情境建立模型求解驗(yàn)證的過程，這個(gè)過程要有利于理解和掌握相關(guān)的知識(shí)技能，感悟數(shù)學(xué)思想、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；要有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)”。這是否可以理解為：在小學(xué)階段，從課程標(biāo)準(zhǔn)的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用，并明確了模型思想的重

12、要意義。這不僅表明了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)明確了建立模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用和解決問題的核心。3. 模型思想的具體應(yīng)用。數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展過程，也是一個(gè)應(yīng)用的過程。從這個(gè)角度而言，伴隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展，數(shù)學(xué)模型實(shí)際上也隨后產(chǎn)生和發(fā)展了。如自然數(shù)系統(tǒng)1，2，3，是描述離散數(shù)量的數(shù)學(xué)模型。2000多年前的古人用公式計(jì)算土地面積，用方程解決實(shí)際問題等，實(shí)際上都是用各種數(shù)學(xué)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問題的。就小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用來(lái)說(shuō)，大多數(shù)是古老的初等數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，也許在數(shù)學(xué)家的眼里，這根本就不是真正的數(shù)學(xué)模型；不過，小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用雖然簡(jiǎn)單，但仍然是現(xiàn)實(shí)生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所不可或缺的。小學(xué)數(shù)學(xué)中的模型如下表。知識(shí)領(lǐng)域知

13、識(shí)點(diǎn)應(yīng)用舉例數(shù)與代數(shù)數(shù)的表示自然數(shù)列：0,1,2,用數(shù)軸表示數(shù)數(shù)的運(yùn)算a+b=cca =b, cbaabc(a0,b0)ca=b, cba運(yùn)算定律加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac方程ax+b=c數(shù)量關(guān)系時(shí)間、速度和路程：s=vt數(shù)量、單價(jià)和總價(jià)：a=np正比例關(guān)系：y/x=k反比例關(guān)系：xy=k用表格表示數(shù)量間的關(guān)系用圖象表示數(shù)量間的關(guān)系空間與圖形用字母表示公式三角形面積：Sab平行四邊形面積：Sah梯形面積：S (a+b)h圓周長(zhǎng)：C2r圓面積：Sr2長(zhǎng)方體體積：v=a

14、bc正方體體積：v=a3圓柱體積：v=sh圓錐體積：v=sh空間形式用圖表表示空間和平面結(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表用統(tǒng)計(jì)圖表描述和分析各種信息可能性用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小4模型思想的教學(xué)。從表格中可以看出：模型思想與符號(hào)化思想都是經(jīng)過抽象后用符號(hào)和圖表表達(dá)數(shù)量關(guān)系和空間形式，這是它們的共同之處；但是模型思想更加重視如何經(jīng)過分析抽象建立模型，更加重視如何應(yīng)用數(shù)學(xué)解決生活和科學(xué)研究中的各種問題。正是因?yàn)閿?shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，不但促進(jìn)了科學(xué)和人類的進(jìn)步，也使得人們對(duì)數(shù)學(xué)有了新的認(rèn)識(shí)：數(shù)學(xué)不僅僅是數(shù)學(xué)家的樂園，它也不應(yīng)是抽象和枯燥的代名詞，它是全人類的朋友，也是廣大中小學(xué)生的朋友。廣大教師在教學(xué)

15、中結(jié)合數(shù)學(xué)的應(yīng)用和解決問題的教學(xué)，要注意貫徹課程標(biāo)準(zhǔn)的理念：一方面要注重滲透模型思想，另一方面要教會(huì)學(xué)生如何建立模型，并喜歡數(shù)學(xué)。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型大概有兩種情況：第一種是基本模型的學(xué)習(xí)，即學(xué)習(xí)教材中以例題為代表的新知識(shí)，這個(gè)學(xué)習(xí)過程可能是一個(gè)探索的過程，也可能是一個(gè)接受學(xué)習(xí)的理解過程；第二種是利用基本模型去解決各種問題，即利用學(xué)習(xí)的基本知識(shí)解決教材中豐富多彩的習(xí)題以及各種課外問題。數(shù)學(xué)建模是一個(gè)比較復(fù)雜和富有挑戰(zhàn)性的過程，這個(gè)過程大致有以下幾個(gè)步驟：(1) 理解問題的實(shí)際背景，明確要解決什么問題，屬于什么模型系統(tǒng)。(2) 把復(fù)雜的情境經(jīng)過分析和簡(jiǎn)化，確定必要的數(shù)據(jù)。(3) 建立模型，可以是數(shù)量

16、關(guān)系式，也可以是圖表形式。(4) 解答問題。下面結(jié)合案例做簡(jiǎn)要解析。第一，學(xué)習(xí)的過程可以經(jīng)歷類似于數(shù)學(xué)家建模的再創(chuàng)造過程?，F(xiàn)實(shí)生活中已有的數(shù)學(xué)模型基本上是數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家等科學(xué)家們把數(shù)學(xué)應(yīng)用于各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域經(jīng)過艱辛的研究創(chuàng)造出來(lái)的，使得我們能夠享受現(xiàn)有的成果。如阿基米德發(fā)現(xiàn)了杠桿定律：平衡的杠桿，物體到杠桿支點(diǎn)的距離之比，等于兩個(gè)物體重量的反比，即1：22：L1。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程有時(shí)是一個(gè)探索的過程，也是一個(gè)再創(chuàng)造的過程；也就是說(shuō)有些模型是可以由學(xué)生進(jìn)行再創(chuàng)造的，可以把科學(xué)家發(fā)明的成果再創(chuàng)造一次。如在學(xué)習(xí)了反比例關(guān)系以后，可以利用簡(jiǎn)單的學(xué)具進(jìn)行操作實(shí)驗(yàn)，探索杠桿定律。再如利用若

17、干個(gè)相同的小正方體拼擺成一個(gè)長(zhǎng)方體，探索長(zhǎng)方體中含有小正方體的個(gè)數(shù)與長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的關(guān)系，進(jìn)而歸納出長(zhǎng)方體的體積公式，建立模型Vabc，這是一個(gè)模型化的過程，也是一個(gè)再創(chuàng)造的過程。第二，對(duì)于大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，在現(xiàn)實(shí)生活和工作中利用數(shù)學(xué)解決各種問題，基本上都是根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)情境的分析，利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建模型。這樣的模型是已經(jīng)存在并且是科學(xué)的，并不是新發(fā)明的，由學(xué)生進(jìn)行再創(chuàng)造也幾乎是不可行的；換句話說(shuō)，有些模型由于難度較大或不便于探索，不必讓學(xué)生再創(chuàng)造。如兩個(gè)變量成反比例關(guān)系，如果給出兩個(gè)量數(shù)據(jù)變化的表格，學(xué)生通過觀察和計(jì)算有可能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)量的關(guān)系。但是如果讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐操作去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，還是有一定

18、難度的。再如物體運(yùn)動(dòng)的路程、時(shí)間和速度的關(guān)系為s=vt，利用這個(gè)基本模型可以解決各種有關(guān)勻速運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。但是由于這個(gè)模型比較抽象，操作難度較大，因而也不適合學(xué)生進(jìn)行再創(chuàng)造。教師只需要通過現(xiàn)實(shí)模擬或者動(dòng)畫模擬，使學(xué)生能夠理解模型的意義便可。第三，應(yīng)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)分析數(shù)量關(guān)系和空間形式，經(jīng)過抽象建立模型，進(jìn)而解決各種問題。學(xué)生學(xué)習(xí)了教材上的基礎(chǔ)知識(shí)以后，利用已有知識(shí)解決新的更加復(fù)雜的各種問題，是一個(gè)富有挑戰(zhàn)的過程，也可以是一個(gè)合作探究的過程。如小學(xué)生奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有很多應(yīng)用數(shù)學(xué)解決的問題，就是一個(gè)建立模型的過程；再如中學(xué)生和大學(xué)生組隊(duì)參加數(shù)學(xué)建模大賽，就是一個(gè)團(tuán)隊(duì)合作探究的過程。案

19、例1：小明的家距離學(xué)校600米，每天上學(xué)從家步行10分鐘到學(xué)校。今天早晨出門2分鐘后發(fā)現(xiàn)忘記帶學(xué)具了，立即回家去取。他如果想按原來(lái)的時(shí)間趕到學(xué)校，他從回家再到學(xué)校，步行的速度應(yīng)是多少？（取東西的時(shí)間忽略不計(jì)）解答過程如下：(1) 本題是日常生活中常見的行程問題，問題是要求小明步行的速度，是關(guān)于時(shí)間、速度和路程的問題。(2) 這里需要明確所求的速度相對(duì)應(yīng)的路程和時(shí)間是什么，因?yàn)槿|西等時(shí)間忽略不計(jì)，因此剩余的時(shí)間就可以確定為步行的時(shí)間；路程是從家出來(lái)2分鐘后開始算，再回家的路程加上從家到學(xué)校的路程的和；時(shí)間是10分鐘減去2分鐘，只有8分鐘的時(shí)間了。(3) 根據(jù)基本的關(guān)系式s=vt，可先求出s60

20、0+（60010）2720(米),t1028(分鐘)。列式為：7208v。(4)v90，即小明步行的速度為90米分鐘。從上面的解答過程來(lái)看，小學(xué)數(shù)學(xué)的情境還是比較容易理解的，模型系統(tǒng)也容易確定。如果說(shuō)此題比教材中的一般習(xí)題有難度的話，就是路程和時(shí)間沒有直接給出,拐了個(gè)彎。也就是說(shuō)難點(diǎn)在于第二步中知道模型系統(tǒng)后相應(yīng)的數(shù)量怎么準(zhǔn)確地找出來(lái)，一定要注意題中對(duì)每一個(gè)量是怎樣敘述的，有什么特殊的要求，在認(rèn)真讀題的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確地找出來(lái)或計(jì)算出來(lái)。案例2 ：有一根20米長(zhǎng)的繩子，要剪成2米和5米長(zhǎng)兩種規(guī)格的跳繩，每種跳繩各剪多少根？（要求繩子無(wú)剩余，并且每種規(guī)格的跳繩至少要有一根。）分析：此題從表面上看，是小

21、學(xué)數(shù)學(xué)整數(shù)乘除法的一般問題，但是由于題目中有特殊要求，無(wú)法直接列式解答。如果用方程，題目中涉及了兩個(gè)未知數(shù)，屬于二元一次方程，超出了小學(xué)數(shù)學(xué)的范圍。那么，面對(duì)這樣的問題如何解決呢？在小學(xué)數(shù)學(xué)中面對(duì)一些非常規(guī)的問題時(shí)，有時(shí)運(yùn)用列表枚舉或者猜測(cè)的方式是一種可行的策略，只不過會(huì)繁瑣一些。5米跳繩的根數(shù)12342米跳繩的根數(shù)7520剩余米數(shù)1010由上表可知符合要求的答案為：5米和2米的跳繩分別剪2根和5根。此題如果用方程解決，可設(shè)5米和2米的跳繩分別剪x根和y根，可列方程：5x2y20。可仿照正比例關(guān)系ykx圖像的畫法，在有方格紙的坐標(biāo)系里，通過兩點(diǎn)(0，10)和(4，0)畫出一條直線，就是方程5x

22、2y20的圖像。再找出圖像與方格的交叉點(diǎn)重合的點(diǎn)，就是方程的解。案例3：一瓶礦泉水滿瓶水為500毫升，小林喝了一些，剩余的水都在圓柱形的部分，高度是16厘米。如果把瓶蓋擰緊，倒立過來(lái)，無(wú)水的部分高度是4厘米。小林喝了多少水？分析：此題是求水的容積，有一個(gè)在建模過程中需要的假設(shè)，就是礦泉水瓶圓柱部分并不是一個(gè)嚴(yán)格的圓柱形狀，要假設(shè)它是圓柱形狀，這樣才便于建立模型。由于不知道圓柱的底面積，所以無(wú)法用容積公式直接求解。這就需要換一個(gè)思路來(lái)想，根據(jù)容積公式vsh，可知如果底面積一定，容積與圓柱的高成正比。這樣就把求容積問題轉(zhuǎn)化為比例的問題。由于礦泉水瓶最上面部分形狀不規(guī)則，倒立過來(lái)以后喝的水就相當(dāng)于圓

23、柱形瓶子高度為4厘米的水。滿瓶礦泉水就相當(dāng)于這瓶水都裝在圓柱形瓶子后，高度為20厘米的水?？稍O(shè)小林喝的水為v毫升，列式為：v：5004：(16+4)，v100。四、推理思想1. 推理思想的概念。推理是從一個(gè)或幾個(gè)已有的判斷得出另一個(gè)新判斷的思維形式。推理所根據(jù)的判斷叫前提，根據(jù)前提所得到的判斷叫結(jié)論。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。演繹推理是根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）推出特殊性命題的推理。演繹推理的特征是：當(dāng)前提為真時(shí)，結(jié)論必然為真。演繹推理的常用形式有：三段論、選言推理、假言推理、關(guān)系推理等。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推測(cè)某些結(jié)果。合情推理的常用

24、形式有：歸納推理和類比推理。當(dāng)前提為真時(shí)，合情推理所得的結(jié)論可能為真也可能為假。(1) 演繹推理。三段論，有兩個(gè)前提和一個(gè)結(jié)論的演繹推理，叫做三段論。三段論是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理，小前提所研究的特殊情況，結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷。例如：一切奇數(shù)都不能被整除，(3)是奇數(shù)，所以(3)不能被整除。選言推理，分為相容選言推理和不相容選言推理。這里只介紹不相容選言推理：大前提是個(gè)不相容的選言判斷，小前提肯定其中的一個(gè)選言支，結(jié)論則否定其它選言支；小前提否定除其中一個(gè)以外的選言支，結(jié)論則肯定剩下的那個(gè)選言支。例如：一個(gè)三角形，要么是銳角三角形，要么是直角三角形，要

25、么是鈍角三角形。這個(gè)三角形不是銳角三角形和直角三角形，所以，它是個(gè)鈍角三角形。假言推理， 假言推理的分類較為復(fù)雜，這里簡(jiǎn)單介紹一種充分條件假言推理：前提有一個(gè)充分條件假言判斷，肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。例如：如果一個(gè)數(shù)的末位是，那么這個(gè)數(shù)能被整除；這個(gè)數(shù)的末位是，所以這個(gè)數(shù)能被整除。這里的大前提是一個(gè)假言判斷，所以這種推理盡管與三段論有相似的地方，但它不是三段論。關(guān)系推理，是前提中至少有一個(gè)是關(guān)系命題的推理。下面簡(jiǎn)單舉例說(shuō)明幾種常用的關(guān)系推理：(1)對(duì)稱性關(guān)系推理，如米厘米，所以厘米米；(2)反對(duì)稱性關(guān)系推理，a大于b，所以b不大于a ；(3)傳遞性關(guān)系推理，ab，bc，所以

26、ac。關(guān)系推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用比較普遍，如在一年級(jí)學(xué)習(xí)數(shù)的大小比較時(shí)，把一些數(shù)按從小到大或從大到小的順序排列，實(shí)際上都用到了關(guān)系推理。(2) 合情推理。歸納推理，是從特殊到一般的推理方法，即依據(jù)一類事物中部分對(duì)象的相同性質(zhì)推出該類事物都具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法。完全歸納法是根據(jù)某類事物中的每個(gè)事物或每個(gè)子類事物都具有某種性質(zhì)，而推出該類事物具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。完全歸納法考察了所有特殊對(duì)象，所得出的結(jié)論是可靠的。不完全歸納法是通過觀察某類事物中部分對(duì)象發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)，推出該類事物具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法。依據(jù)該方法得到的

27、結(jié)論可能為真也可能為假，需要進(jìn)一步證明結(jié)論的可靠性。數(shù)學(xué)歸納法是一種特殊的數(shù)學(xué)推理方法，從表面上看并沒有考察所有對(duì)象，但是根據(jù)自然數(shù)的性質(zhì)，相當(dāng)于考察了所有對(duì)象，因而數(shù)學(xué)歸納法實(shí)際上屬于完全歸納推理。類比推理，是從特殊到特殊的推理方法，即依據(jù)兩類事物的相似性，用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物也具有該性質(zhì)的推理方法。依據(jù)該方法得到的結(jié)論可能為真也可能為假，需要進(jìn)一步證明結(jié)論的可靠性。2. 推理思想的重要意義。我國(guó)數(shù)學(xué)教育幾十年來(lái)的主要優(yōu)勢(shì)或者說(shuō)成果就是重視培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力和空間想象能力。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)大綱比較強(qiáng)調(diào)邏輯推理而忽視了合情推理；而現(xiàn)行的課程標(biāo)準(zhǔn)又矯枉過正，過于強(qiáng)調(diào)合情推理，在邏

28、輯推理能力方面有所淡化。近年來(lái)課程改革的實(shí)踐證明，二者不可偏廢。就學(xué)好數(shù)學(xué)或者培養(yǎng)人的智力而言，邏輯推理和合情推理都是不可或缺的。據(jù)了解，課程標(biāo)準(zhǔn)修改稿在這方面有比較合理的處理，明確了推理的范圍及作用“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們?cè)趯W(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論的正確性”。數(shù)學(xué)在當(dāng)今市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)和信息化社會(huì)有比較廣泛的應(yīng)用，人們?cè)诶脭?shù)學(xué)解決各種實(shí)際問題的過程中，雖然大量的計(jì)算和推理可以通過計(jì)算機(jī)來(lái)完成。但是就人的思維能力構(gòu)成而言，推

29、理能力仍然是至關(guān)重要的能力之一，因而培養(yǎng)推理能力仍然是數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù)之一。3. 推理思想的具體應(yīng)用。推理思想作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的思想方法，無(wú)論在小學(xué)還是在中學(xué)都有著廣泛的應(yīng)用，尤其是合情推理作為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種重要方法，在小學(xué)數(shù)學(xué)的探究學(xué)習(xí)和再創(chuàng)造學(xué)習(xí)中應(yīng)用更為廣泛。在小學(xué)數(shù)學(xué)中雖然沒有初中類似于數(shù)學(xué)證明等嚴(yán)密規(guī)范的演繹推理，但是在很多結(jié)論的推導(dǎo)過程中間接地應(yīng)用了演繹推理。如推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式之后，三角形的面積公式的推導(dǎo)過程是先把兩個(gè)同樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的面積公式推出三角形的面積公式。這個(gè)過程實(shí)際上應(yīng)用了演繹推理，如下：平行四邊形的面積等于底乘高，兩個(gè)同樣

30、的三角形的面積等于平行四邊形的面積，所以兩個(gè)同樣的三角形的面積等于底乘高；因而一個(gè)三角形的面積就等于底乘高的積除以2。小學(xué)數(shù)學(xué)中推理思想的應(yīng)用如下表。思想方法知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用舉例不完全歸納法找規(guī)律找數(shù)列和圖形的規(guī)律整數(shù)計(jì)算四則計(jì)算法則的總結(jié)運(yùn)算定律加法交換律：a+b=b+a加法結(jié)合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac除法商不變的規(guī)律分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)面積長(zhǎng)方形面積公式的推導(dǎo)體積長(zhǎng)方體體積公式的推導(dǎo)圓柱體積公式的推導(dǎo)圓錐體積公式的推導(dǎo)完全歸納法三角形三角形內(nèi)角和的推導(dǎo)類比推理整數(shù)讀寫法億以內(nèi)及億以上的數(shù)的讀寫，與萬(wàn)以

31、內(nèi)數(shù)的讀寫相類比整數(shù)的運(yùn)算四則計(jì)算的法則：多位數(shù)加減法與兩位數(shù)加減法相類比，多位數(shù)乘多位數(shù)與多位數(shù)乘一位數(shù)相類比，除數(shù)是多位數(shù)的除法與除數(shù)是一位數(shù)的除法相類比小數(shù)的運(yùn)算整數(shù)的運(yùn)算法則、順序和定律推廣到小數(shù)分?jǐn)?shù)的運(yùn)算整數(shù)的運(yùn)算順序和運(yùn)算定律推廣到分?jǐn)?shù)除法、分?jǐn)?shù)和比除法商不變的規(guī)律、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和比的基本性質(zhì)進(jìn)行類比面積與平行四邊形面積公式的推導(dǎo)方法相類比，三角形、梯形面積公式的推導(dǎo)，也用轉(zhuǎn)化的方法，把它們轉(zhuǎn)化成平行四邊形推導(dǎo)面積公式。長(zhǎng)度、面積、體積線、面、體之間的類比：線段有長(zhǎng)短，用長(zhǎng)度單位來(lái)計(jì)量；平面圖形有大小，用面積單位來(lái)計(jì)量；立體圖形占的空間有大小，用體積單位來(lái)計(jì)量問題解決數(shù)量關(guān)系相近

32、的實(shí)際問題的類比，如分?jǐn)?shù)實(shí)際問題與百分?jǐn)?shù)實(shí)際問題的類比雞兔同籠不同素材的雞兔同籠問題的類比抽屜原理不同素材的抽屜原理問題的類比三段論多邊形多邊形內(nèi)角和的推導(dǎo)面積正方形面積公式的推導(dǎo)平行四邊形面積公式的推導(dǎo)三角形面積公式的推導(dǎo)梯形面積公式的推導(dǎo)圓面積公式的推導(dǎo)體積正方體體積公式的推導(dǎo)選言推理類似于人教版二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣角中的“猜一猜”假言推理根據(jù)概念、性質(zhì)等進(jìn)行判斷的一些問題關(guān)系推理大小比較、恒等變形、等量代換等等4推理思想的教學(xué)。就演繹推理和合情推理的關(guān)系及教學(xué)建議，課程標(biāo)準(zhǔn)修改稿指出“推理貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，推理能力的形成和提高需要一個(gè)長(zhǎng)期的、循序漸進(jìn)的過程。義務(wù)教育階段要注重學(xué)生思考的條

33、理性，不要過分強(qiáng)調(diào)推理的形式。教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測(cè)某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力；通過實(shí)例使學(xué)生逐步意識(shí)到，結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認(rèn)，可以根據(jù)學(xué)生的年齡特征提出不同程度的要求”。根據(jù)以上課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于推理思想的理念和要求，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要注意把握以下幾點(diǎn)。第一，推理是重要的思想方法之一，是數(shù)學(xué)的基本思維方式，要貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，除了運(yùn)算是數(shù)學(xué)的基本方法外，推理也是常用的數(shù)學(xué)方法。無(wú)論是低年級(jí)的找規(guī)律、總結(jié)計(jì)算法則，還是高年級(jí)的面積、體積公式的推導(dǎo)，無(wú)不用到推理的思想方法。因而，廣大教

34、師要牢記推理思想從一年級(jí)就要開始滲透和應(yīng)用，是一個(gè)長(zhǎng)期的培養(yǎng)過程。第二，合情推理和演繹推理二者不可偏廢。合情推理多用于根據(jù)特殊的事實(shí)去發(fā)現(xiàn)和總結(jié)一般性的結(jié)論，演繹推理往往用于根據(jù)已有的一般性的結(jié)論去證明和推導(dǎo)新的結(jié)論。二者在數(shù)學(xué)中的作用都是很重要的。第三，推理能力的培養(yǎng)與四大內(nèi)容領(lǐng)域的教學(xué)要有機(jī)地結(jié)合。推理能力的發(fā)展與各領(lǐng)域知識(shí)的學(xué)習(xí)是一個(gè)有機(jī)的結(jié)合過程，因而在教學(xué)過程中要給學(xué)生提供各個(gè)領(lǐng)域的豐富的、有挑戰(zhàn)性的觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)，去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，培養(yǎng)推理能力。第四，把握好推理思想教學(xué)的層次性和差異性。推理能力的培養(yǎng)要結(jié)合具體知識(shí)的學(xué)習(xí)，同時(shí)要考慮學(xué)生的認(rèn)知水平和接受能力。綜合現(xiàn)行課程標(biāo)準(zhǔn)

35、及其修改稿關(guān)于 “數(shù)學(xué)思考”分階段的目標(biāo)要求，推理能力在小學(xué)階段的要求可參考下表。學(xué)段推理能力教學(xué)目標(biāo)第一學(xué)段初步學(xué)會(huì)選擇有用信息進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納和類比第二學(xué)段在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力，能進(jìn)行有條理的思考，能比較清楚地表達(dá)自己的思考過程與結(jié)果下面再結(jié)合案例談?wù)剮追N在小學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用較多的推理思想的教學(xué)。（1）類比思想。無(wú)論是學(xué)習(xí)新知識(shí)，還是利用已有知識(shí)解決新問題，如果能夠把新知識(shí)和新問題與已有的相類似的知識(shí)進(jìn)行類比，進(jìn)而找到解決問題的方法，這樣就實(shí)現(xiàn)了知識(shí)和方法的正遷移。因此，要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中善于利用類比思想，提高解決問題的能力。有些類比比較直接，如由整數(shù)的運(yùn)算定律遷移到小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算定律，問題解決中數(shù)量關(guān)系相近的問題的類比等。而有些類比比較隱蔽，需要在分析的基礎(chǔ)上才能實(shí)現(xiàn)。如抽屜原理，變式練習(xí)有很多，難度較大，解決此類問題的關(guān)鍵就是通過類比找到抽屜。應(yīng)用類比的思想方法，關(guān)鍵在于發(fā)