專題十六圓錐曲線中的熱點(diǎn)問題聽課手冊(cè)

1、 圓錐曲線中的熱點(diǎn)問題12014湖北卷改編 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)F(1，0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點(diǎn)M的軌跡為C，則軌跡C的方程為_22014福建卷改編 已知曲線：x24y在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A，直線y3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M，N.以MN為直徑作圓C，過點(diǎn)A作圓C的切線，切點(diǎn)為B.當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度_發(fā)生改變(填“會(huì)”與“不會(huì)”)32013廣東卷改編 過點(diǎn)P(4，2)作拋物線C：x24y的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)，則直線AB的方程為_42015江蘇卷 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為雙曲線x2y21右支上的一個(gè)動(dòng)

2、點(diǎn)若點(diǎn)P到直線xy10的距離大于c恒成立，則實(shí)數(shù)c的最大值為_52015福建卷改編 已知橢圓E：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x4y0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)若|AF|BF|4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是_62015陜西卷改編 如圖161所示，已知橢圓E：y21，點(diǎn)A為橢圓E的下端點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)(1，1)且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q(均異于點(diǎn)A)，則直線AP與AQ的斜率之和為_圖16172015四川卷改編 如圖162所示，已知橢圓1，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD為短軸，過點(diǎn)P(0，1)的動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則_圖16282015湖北

3、卷改編 已知橢圓C的方程為1，設(shè)動(dòng)直線l與兩定直線l1：x2y0和l2：x2y0分別交于P，Q兩點(diǎn)若直線l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則OPQ的面積的最小值為_考點(diǎn)一軌跡問題、存在探究性問題題型：選擇、填空、解答分值：58分難度：中等偏難熱點(diǎn)：軌跡方程與存在性問題考向一點(diǎn)的軌跡問題1 設(shè)A是圓x2y24上的任意一點(diǎn)，l是過點(diǎn)A且與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l上，且滿足.當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C，求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程聽課筆記 小結(jié) 求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的基本方法有直接法、待定系數(shù)法(定義法)和代入法式題 已知點(diǎn)A(4，4)，B(4，4)，直線AM與BM相交于點(diǎn)M

4、，且直線BM的斜率與直線AM的斜率之差為2，則點(diǎn)M的軌跡方程為_考向二存在性問題2 橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為M(0，)，焦點(diǎn)在x軸上，若右焦點(diǎn)到直線xy10的距離為.(1)求橢圓C的方程(2)設(shè)n是過原點(diǎn)的直線，不垂直于x軸的直線l與n垂直且相交于P點(diǎn)，與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|1，則是否存在直線l使1成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由聽課筆記 小結(jié) 存在探究性問題的解法一般是在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行計(jì)算和推理，根據(jù)得出的結(jié)果是否合理確定存在與否式題 已知橢圓C：y21，O為原點(diǎn)，直線l：ykxm與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，問在橢圓C上是否存在點(diǎn)R，使四邊形OPRQ為平行四邊形？若

5、存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由圖164考點(diǎn)二圓錐曲線中的參數(shù)范圍與最值問題題型：解答題分值：510分難度：較難 熱點(diǎn)：參數(shù)范圍與最值考向一確定參數(shù)范圍3 已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：1(ab0)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為4，離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)若點(diǎn)E(0，1)，問是否存在直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，使得|ME|NE|？若存在，求出直線l的斜率的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由聽課筆記 小結(jié) 解析幾何中具有范圍的有如下幾個(gè)因素：(1)直線與曲線相交(判別式)；(2)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍；(3)題目中要求的限制條件這些具有范圍的因素可能同時(shí)出現(xiàn)在一個(gè)問題中，在解題時(shí)要

6、注意全面把握范圍產(chǎn)生的原因式題 如圖165所示，M，N是焦點(diǎn)為F的拋物線y22px(p0)上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4.(1)求|MF|NF|的值；(2)若p2，直線MN與x軸交于點(diǎn)B，求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的取值范圍圖165考向二求解最值問題4 已知橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A(2，)在橢圓上，且AF2與x軸垂直(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)A作直線與橢圓交于另外一點(diǎn)B，求AOB面積的最大值聽課筆記 小結(jié) 求圓錐曲線面積的最值問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題或利用基本不等式求最值問題，有時(shí)也利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)求最值考點(diǎn)三圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題題型：解答題分

7、值：510分難度：較難 熱點(diǎn)：定值考向一定點(diǎn)問題5 已知拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有|FA|FD|，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，ADF為正三角形(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l1l，且l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E，證明：直線AE過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)聽課筆記 小結(jié) 由直線方程確定定點(diǎn)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式y(tǒng)y0k(xx0)，則直線必過定點(diǎn)(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式y(tǒng)kxm，則直線必過定點(diǎn)(0，m)式題 已知拋物線C：y24x，過點(diǎn)A(1，2)作拋物線C的弦AP，AQ，若APAQ，證

8、明：直線PQ過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)考向二定值問題6 已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓1(ab0)，焦距為2，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線分別與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，證明：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，并求出這個(gè)定值圖166聽課筆記 小結(jié) 求定值問題常見的方法有兩種：從特殊情況入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；直接推理、計(jì)算，并在推理、計(jì)算的過程中消去變量，從而得到定值式題 如圖167所示，曲線C由半圓C1：x2y21(y0)和部分拋物線C2：yx21(y0)連接而成，A，B為C1與C2的公共點(diǎn)(B在原點(diǎn)右側(cè))，過C1上的點(diǎn)D(異于點(diǎn)A，B)作切線l與C2相交于

9、M，N兩點(diǎn)(1)若切線l與拋物線yx21在點(diǎn)B處的切線平行，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)D(x0，y0)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：MON恒為鈍角圖167 高考易失分題15 直線與圓錐曲線位置關(guān)系引出的定值問題范例 2015全國卷 已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，點(diǎn)(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直線l不經(jīng)過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值失分分析 (1)設(shè)出直線l的方程后，不能用有關(guān)參量合理表示出直線OM的斜率；(2)在探討直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積時(shí)，由于用參過多，不能消去參量得出常量；(3)運(yùn)算不準(zhǔn)確高考預(yù)

10、測(cè) 已知橢圓C：1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段OB的中垂線與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為P.設(shè)直線PA，PB，PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，k3，k4，若k1k2，則k3k4_圓錐曲線中的熱點(diǎn)問題 核心知識(shí)聚焦1y2解析 設(shè)點(diǎn)M(x，y)，依題意得|MF|x|1，即|x|1，化簡(jiǎn)整理得y22(|x|x)故點(diǎn)M的軌跡C的方程為y22不會(huì)解析 設(shè)P(x0，y0)(x00)，則y0x，由yx，得切線l的斜率ky|xx0x0，所以切線l的方程為yy0x0(xx0)，即yx0xx.又N(0，3)，所以圓心C，半徑r|MN|，|AB|.所以點(diǎn)P在曲

11、線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度不變32xy20解析 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由x24y得yx，拋物線C在點(diǎn)A處的切線PA的方程為yy1(xx1)，即yxy1x，又x4y1，所以yxy1.因?yàn)辄c(diǎn)P在切線上，所以有22x1y1，同理有22x2y2.綜合得，A，B的坐標(biāo)滿足方程22xy，所以直線AB的方程為2xy20.4. 解析 不妨設(shè)點(diǎn)P(x0，)(x01)，則點(diǎn)P到直線xy10的距離d.令u(x)x，則u(x)是單調(diào)遞減函數(shù)，且u(x)0.當(dāng)x時(shí)，u(x)0，所以d，故cmax.5(0，解析 因?yàn)橹本€l過原點(diǎn)，不妨設(shè)A在第一象限，左焦點(diǎn)為F，由對(duì)稱性可知四邊形AFBF為平行四邊形，所以|

12、AF|BF|AF|AF|2a4，所以a2，點(diǎn)M(0，b)到直線l的距離d且ba，所以1b0.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，則x1x2，x1x2.從而直線AP，AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)()2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.73解析 當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykx1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)聯(lián)立得(2k21)x24kx20.其判別式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2.從而x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(22k2)x1x2k(x1x2)113.當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線C

13、D，此時(shí)，213.88解析 (1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l為x4或x4，都有SOPQ448.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：ykxm.由消去y，可得(14k2)x28kmx4m2160.因?yàn)橹本€l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以64k2m24(14k2)(4m216)0，即m216k24.又由可得P，同理可得Q.由原點(diǎn)O到直線PQ的距離d和|PQ|xPxQ|，可得SOPQ|PQ|d|m|xPxQ|m|.將代入得，SOPQ|8|.當(dāng)k2時(shí)，SOPQ888；當(dāng)0k2時(shí)，SOPQ88.因?yàn)?k2，所以00，得2k21m2，x1x2，代入式，得8m220，整理得4m212k2，代入式，得

14、m0.又4m212k21，m或m，存在滿足條件的m，其取值范圍為(，)考點(diǎn)二圓錐曲線中的參數(shù)范圍與最值問題考向一確定參數(shù)范圍例3解：(1)橢圓C：1(ab0)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為4，離心率為，解得a4，b2，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)易知當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不滿足題意設(shè)直線l：ykxm，M(x1，y1)，N(x2，y2)聯(lián)立消去y，得(34k2)x28kmx4m2480，則64k2m24(34k2)(4m248)0，16k212m2，且x1x2，x1x2.設(shè)MN的中點(diǎn)為F(x0，y0)，則x0，y0kx0m.|ME|NE|，EFMN，kEFk1，即k1，m(4k23)，代入可得16k212(4k

15、23)2，16k48k230，解得k，存在直線l滿足題意，且直線l的斜率的取值范圍是k0，可得0t20，得k.又易得|AB|，原點(diǎn)O到直線AB的距離d，SAOB|AB|d2|1|.k，2k211，2)(2，)，11，0)(0，1)，SAOB(0，2綜上所述，AOB面積的最大值為2.考點(diǎn)三圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題考向一定點(diǎn)問題例5解：(1)由題意知，F(xiàn)(，0)設(shè)D(t，0)(t0)，則FD的中點(diǎn)為(，0)由拋物線的定義知，3，解得t3p或t3(舍去)又易知3，解得p2，所以拋物線C的方程為y24x.(2)由(1)知，F(xiàn)(1，0)，設(shè)A(x0，y0)(x0y00)，D(xD，0)(xD0)因?yàn)閨

16、FA|FD|，所以|xD1|x01，由xD0，得xDx02，則D(x02，0)，故直線AB的斜率kAB.由直線l1和直線AB平行，可設(shè)直線l1的方程為yxb，代入拋物線方程，得y2y0，由題意知0，得b.設(shè)E(xE，yE)，則yE，xE.當(dāng)y4時(shí)，kAE，可得直線AE的方程為yy0 (xx0)，由y4x0，整理可得y (x1)，故直線AE恒過點(diǎn)F(1，0)當(dāng)y4時(shí)，直線AE的方程為x1，過點(diǎn)F(1，0)綜上，直線AE過定點(diǎn)F(1，0)變式題解：設(shè)直線PQ的方程為xmyn，點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為P(x1，y1)，Q(x2，y2)由得y24my4n0，由0，得m2n0，且y1y24m，y1y24n.

17、APAQ，0，(x11)(x21)(y12)(y22)0.又x1，x2，(y12)(y22)(y12)(y22)160，(y12)(y22)0或(y12)(y22)160.當(dāng)(y12)(y22)0時(shí)，則y1y22(y1y2)40，即4n8m40，n2m1，不滿足0恒成立，舍去；當(dāng)(y12)(y22)160時(shí)，可得n2m5，滿足0恒成立，n2m5，直線PQ的方程為x5m(y2)，故直線PQ過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為(5，2)考向二定值問題例6解：(1)由題意知，2c2，2a4，所以a2，c，所以b2a2c21，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)當(dāng)直線AB的斜率不存在

18、時(shí)，則AOB為等腰直角三角形，不妨設(shè)直線OA：yx.將yx代入y21，解得x，所以點(diǎn)O到直線AB的距離d.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykxm，代入y21，化簡(jiǎn)得(14k2)x28kmx4m240，則x1x2，x1x2.因?yàn)镺AOB，所以x1x2y1y20，所以x1x2(kx1m)(kx2m)0，即(1k2)x1x2km(x1x2)m20，所以(1k2)m20，整理得5m24(1k2)，所以點(diǎn)O到直線AB的距離d.綜上可知，點(diǎn)O到直線AB的距離為定值.變式題解：(1)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(a，b)(b0)，由已知得B(1，0)又y2x，所以切線l的斜率k2，故，且a2b21，解得a，b

19、，于是點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)(2)證明：設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由點(diǎn)D(x0，y0)知，切線l的方程為x0xy0y1.由y0x2x0xy010，顯然0，則有x1x2，x1x21，所以x1x2y1y2x1x2(x1)(x1)x1x2xx(xx)1x1x2(x1x2)2(x1x2)22x1x211(1)210，由此可知，|AB|，圓心C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a8，即a4，且c3，b21697，曲線T的方程為1.(2)當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，|，27，|cos 7，則.當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線MN：yk(x3)，則直線OQ：yk

20、x.由得(716k2)x296k2x144k21120，則x1x2，x1x2，y1y2k2(x13)(x23)k2x1x23(x1x2)9，(x13)(x23)y1y2.由得7x216k2x2112，則x2，2x2y2(1k2)x2.由2，可解得.綜上，存在常數(shù)，使2恒成立例2(配聽課例3使用)已知橢圓C：1(ab0)的焦距為2，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，其中A為橢圓的左頂點(diǎn)，若橢圓的上頂點(diǎn)P始終在以AB為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解：(1)根據(jù)題意，得c，a2b.又a2b2c2，4b2b23，解得a2，b1，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

21、y21.(2)由(1)及題意知，左頂點(diǎn)A(2，0)，直線l的方程為yk(x2)，聯(lián)立消去y，得(14k2)x216k2x(16k24)0，則(16k2)24(14k2)(16k24)0.設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0，y0)，則x02，x0，y0.又橢圓的上頂點(diǎn)P在以AB為直徑的圓內(nèi)，APB為鈍角，即0.P(0，1)，A(2，0)，B(，)，(2，1)，(，)，0，即20k24k3b0)相交于A，B兩點(diǎn)(1)若橢圓的離心率為，焦距為2，求線段AB的長(zhǎng)；(2)若向量與向量互相垂直(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，當(dāng)橢圓的離心率e，時(shí)，求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值解：(1)e，2c2，a，c1，則b，橢圓的方程為1，將yx1代入，消去y，得5x26x30.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，0，即x1x2y1y20.由消去y，得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0，由(2a2)24a2(a2b2)(1b2)0，整理得a2b21，又x1x2，x1x2，y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)1.由x1x2y1y20，得2x1x2(x1x2)10，10，整理得a2b22a2b20.又b2a2c2a2a2e2，2a21，a2(1)e，e2，1e2，2，13，a2，滿足a2b21，a，2a，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值為.例4