第五章圖象恢復和重建

1、第五章 圖像恢復 5.1 概述 5.2 退化模型 5.3 無約束復原 5.4 有約束恢復 5.1 概述一、降質(zhì)舉例 宇航、衛(wèi)星、航空測繪、遙感、天文學中所得照片，由于大氣湍流，光學系統(tǒng)的像差，傳感器非線性畸變，攝像機與物體之間的相對運動及環(huán)境噪聲等，會使圖像降質(zhì)。 二、退化圖像 (1) 使原清晰圖像變模糊 由于各種原因， (2) 或原圖未達到應有質(zhì)量而形成的降質(zhì)圖像。 5.1 概述三、圖像恢復（復原） 使退化圖像恢復本來面目。 （圖像增強只關(guān)心圖像局部信息，不管增強后是否符合原圖像、是否失真）。 四、圖像恢復過程及關(guān)鍵 根據(jù)圖像降質(zhì)過程的某些先驗知識，建立“退化（降質(zhì)）模型”，運用和退化相反的

2、過程，將退化圖像恢復。5.1 概述五、圖像恢復準則 用某一客觀標準來度量，則為某種準則下的最優(yōu)估計。 5.2 退化模型 一、幾種形式的退化模型 ( , ) 0A 10B 1( , )0else f x yxyf x y ； ； ( , ) 0C 10D 1( , )0else h x yxyh x y ； ； A-1 B-1=0=0( , )( , )( , )( , )( , ) (,)ijf x yh x yg x yfhg x yfhf i j h mi nj( , ) 0M 10N 1( , )0else g x yxyg x y ；結(jié)果為 ； 設圖像圖像系統(tǒng)且圖像系統(tǒng)為線性時不變。(

3、一)不考慮噪聲的模型其中，M=A+C-1，N=B+D-15.2 退化模型( , )( , )( , )( , )g x yf x yh x yn x y( , )( , )( , )f x yh x yg x yfhn ( , )n x y 為MN維（二）退化模型( , )g x y000000( , )( , )( , )fx yh x ygx yfhn0( , )n x y目的：用DFT（循環(huán)卷積）計算線性卷積。（三）變形退化模型5.2 退化模型( , ) 0A 10B 1( , )0 AM 1BN 1ef x yxyfx yxy ；( , ) 0C 10D 1( , )0 CM 1DN

4、1eh x yxyh x yxy ；同上，令M=A+C-1，N=B+D-1則1100( , )( , )( , )( , )( , )() ,() ( , )( , )( , )( , )( , )MNeeeeeeMNeijegx yfx yh x yn x yf i j hxiyjn x yf x yh x yn x yg x y5.2 退化模型( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )eeeeeeeegx yfx yh x yn x yG u vF u v H u vN u v（四）頻域退化模型 對（三）進行DFT，可得：( , )( , )( , )

5、( , )G u vF u v H u vN u v( , )( , )( , )F u vH u vG u vHFN ( , )N u v5.2 退化模型1100( , )( , )(,)( , )MNeeeemngx yf m n h xm ynn x y用矩陣形式表示：g=hf+n即：111 MNMN MNMNMNghfn二、退化模型的矩陣表示1.由變形模型：5.2 退化模型1 (0,0)(0,1)(0,1)(1,0)(1,1)(1,1)TMNeeeeeeffffNffNf MN其中，用行堆疊成列向量，g及n同f，而011102120 pMN MNMMM Mhhhhhhhhhhh5.2

6、退化模型其中一元素其中，hiNN是（右）循環(huán)矩陣，h是分塊循環(huán)矩陣。矩陣表示成立的條件：h（x,y）是線性和空間移不變。( ,0)( ,1)( ,1)( ,1)( ,0)( ,2)( ,1)( ,2)( ,0)eeeeeeieeeN Nh ih i Nh ih ih ih ihh i Nh i Nh i5.2 退化模型2.圖像復原問題即通過式（*）估計f，但運算量大，要解聯(lián)立方程。如512512圖像要解 512512個聯(lián)立方程。求解方法有2種：（1）將循環(huán)矩陣h對角化，以簡化運算；（2）在頻域求解，通過FFT減少運算量。5.3 無約束復原 22minnghf f f圖像復原：給定退化圖像g，及

7、對h和n做某種假設或若干了解后，在某種最優(yōu)準則下求出原圖像f的估計一、無約束復原1.由退化模型 g=hf+n 可得噪聲為n=g-hf 目的是尋找f的估計 ，使 ，即使 與g的偏差滿足最小平方準則， 稱為范數(shù)。 hf5.3 無約束復原2. 用公式表示 目標函數(shù)由范數(shù)定義3.實質(zhì)：尋找 使目標（函數(shù)） 為最小， 不再受任何約束，故稱為無約束復原。4.使 min 可求得由即得 （假設 存在）2 ( ) ( )TJ fghfJ fghfghf J f f J f f f 2 ( )0 TJ fhghff 1 fhg1 h5.3 無約束復原二、逆（反向）濾波法1.圖像復原的逆濾波法由無約束復原法，得對

8、中各元素進行DFT（FFT），即則上式變?yōu)椋ㄆ渲?）由于上式是（正向）濾波公式 的逆（反）過程，故此法稱為反（逆）向濾波法。1 fhg ( , ),( , ),( , )eeehH u vfF u v gG u v( , )( , ) ( , )G u vH u v F u v( , )1( , )P u vH u v( , )( , )( , ) ( , )( , )G u vF u vP u v G u vH u v5.3 無約束復原 ( , )( , ) ( , )( , )G u vf m nIDFT F u vIFFTH u v( , )( , )( , )( , )N u vF u

9、 vF u vH u v( , )( , ) ( , )( , )G u vH u v F u vN u v則恢復后圖像為：2.逆濾波法的特點將頻域退化模型 代入逆濾波器，有（1）存在問題上式包含了我們希望得到的 ，但同時又加上一項由噪聲帶來的項 ，但 較小或 0處具有噪聲放大作用，這些 較小的點上噪聲起主要作用；( , )( , )N u vH u v( , )H u v( , )F u v( , )H u v5.3 無約束復原( , )( , )F u vG u v( , )=0H u v( , )H u v( , )( , )N u vH u v( , )P u v( , )( , )1

10、( , )kH u vdP u velseH u v 如 (2)使用逆濾波器時的注意事項忽略 的點（奇異點）。比如可令此處的 的鄰域均值，對復原結(jié)果不會產(chǎn)生太大影響；當 非常小時， 對復原結(jié)果起主導作用，而多數(shù)實際應用系統(tǒng)中， 離開原點衰減很快，故復原應局限于離遠點不太遠的有限區(qū)域進行。（3）一種改進的方法是取恢復濾波器其中k和d均小于1的常數(shù)，且d選得較小為好。( , )H u v5.4 有約束恢復 一、基本原理1.問題提出：令 Q為f的線性算子，尋找一個最優(yōu)估計 ，使 在約束條件 的條件下為最小。2.求解這類最小化問題，可用Lagrange算子來處理，準則函數(shù)為同理，令 ，可得：上式中，

11、，適當選擇這一常數(shù)，使約束條件滿足，便能求得最佳估計 。不同的Q就形成不同的恢復方法。2 J fQf f22 ghfn222 J fQfghfn2 2 0 TTJQQfhghff1 TTTfhhr QQhg f1r（*3）5.4 有約束恢復,TTfnREffREnn11TTfnfh hrR Rh g二、維納濾波法1.設Rf和Rn分別為原始圖像f和噪聲n的相關(guān)矩陣，即 這里由概率論只是可知，Rf和Rn中各元素分別是f和n這兩個多維隨機向量中各分量間的自相關(guān)函數(shù)，其FT是隨機向量的功率譜密度。2.選擇Q滿足如下關(guān)系 其FT為信噪（功率譜）比上式代入（*3），可得 （*4）1TfnQ QR R5.4

12、 有約束恢復*11,TeeeefnntfF hH hHgG RRSS*222( , )1( , ) ( , )()( , )( , )( , )nfnfHu vHF u vG u vGH Hr SSH u vr S u vSu v將上式中各矩陣的元素進行FT，即這里Sf和Sn分別是fp和np的譜密度，則上式變?yōu)椋?（*5）上式中，M=N，u，v=0，1，2，N-1；r=1/（為Lagrange乘子）2*( , )( , )( , )H u vHu v H u v5.4 有約束恢復3.結(jié)果討論（1）r=1時，上式中括號內(nèi)的項就是維納濾波器；（2）r=變量，稱為（變）參數(shù)維納濾波器。（注意:r=1時,不能說可以利用(*5)在約束條件下得到最佳估計）。（3）無（或不考慮）噪聲時，即Sn(u,v)=0時，即變?yōu)槟鏋V波法。即 逆濾波可看作是維納濾波器的一種特例。而(*5)中Sn/Sf項是在有噪聲情況下，在統(tǒng)計意義下對H的修正，即為在有噪聲的情況下提供均方意義下的最佳復原，而使1/H復平滑。1FGH5.4 有約束恢復 （4） (*5)式求解關(guān)鍵是要知道頻譜密度Sn和Sf，而對隨機噪聲的統(tǒng)計性質(zhì)的了解往往是困難的和有限的，因此，一般設想是白噪聲，即其頻譜密度為一常數(shù)，并與圖像不相關(guān)。實際中并