雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo),解析式求解-教師版

1、 年級(jí):高二 學(xué)科：數(shù)學(xué) 教師：王鵬 上課日期：2月5日 直利教育2015年寒假 名師培優(yōu)一對(duì)一教案第2講雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1、概念：如果把橢圓定義中的和改成差: 或,即: ，其中動(dòng)點(diǎn)的軌跡會(huì)發(fā)生什么變化呢？ 若，則軌跡是線段的延長(zhǎng)線；若，則軌跡是線段的延長(zhǎng)線；若，則無(wú)軌跡；在條件下軌跡是存在的，我們把這時(shí)得到的軌跡叫做雙曲線. 說(shuō)明通過(guò)對(duì)橢圓定義的類比，啟發(fā)學(xué)生思考并發(fā)現(xiàn)與的大小關(guān)系與動(dòng)點(diǎn)的軌跡的變化規(guī)律. （1）當(dāng)時(shí)，雙曲線 （2）當(dāng)時(shí)，射線 （3）當(dāng)時(shí)，無(wú)軌跡2、概念形成n 雙曲線定義定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)

2、，兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離叫做焦距.n 雙曲線定義中的注意點(diǎn)在概念的理解中要注意：（1）是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值是一個(gè)非零正常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)小于 .（2）當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是與對(duì)應(yīng)的雙曲線的一支， 時(shí)為雙曲線的另一支.3、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)可以仿照求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的做法，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程如圖8-12建系，設(shè)，取過(guò)點(diǎn)的直線為軸，線段的中垂線為軸，建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)是所求軌跡上的點(diǎn).依已知條件有， 移項(xiàng)得：， 平方得： （*） 再平方得：，即，令則，即 綜上：焦點(diǎn)在軸上雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，其中，焦點(diǎn).說(shuō)明對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)可以啟發(fā)學(xué)生仿照求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的做法來(lái)完成，在建立直角坐標(biāo)系之前

3、，可以讓學(xué)生初步推斷雙曲線所具有的對(duì)稱性，使建系更合理.同樣如果雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上(圖813)，那么，此時(shí)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程又是怎樣的呢？焦點(diǎn)是F1(0，c)、F2(0，c)時(shí)，a、b的意義同上，那么只要將方程的x、y互換，就可以得到焦點(diǎn)在軸上雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，其中，焦點(diǎn).說(shuō)明雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是指雙曲線在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的方程，這里的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)有兩層含義：（1）雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，（2）這兩個(gè)焦點(diǎn)的中心必須與原點(diǎn)重合.從這一方面理解，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程就是在特殊的直角坐標(biāo)系下的方程.定義及性質(zhì)對(duì)比名 稱橢 圓雙 曲 線圖 象定 義 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)2（2）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓.

4、即當(dāng)22時(shí)，軌跡是橢圓，當(dāng)2=2時(shí)，軌跡是一條線段當(dāng)22時(shí)，軌跡不存在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)2（）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.即當(dāng)22時(shí)，軌跡是雙曲線當(dāng)2=2時(shí)，軌跡是兩條射線當(dāng)22時(shí)，軌跡不存在標(biāo)準(zhǔn)方 程 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 注：是根據(jù)分母的大小來(lái)判斷焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 焦點(diǎn)在軸上時(shí)：注：是根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)來(lái)判斷焦點(diǎn)所在的位置常數(shù)的關(guān) 系 （符合勾股定理的結(jié)構(gòu)），最大，可以（符合勾股定理的結(jié)構(gòu)）最大，可以精題精講【例1】 判斷下列方程是否表示雙曲線，若是，求出三量的值 （）分析：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的格式：平方差，項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在軸上，項(xiàng)的分母是；項(xiàng)的系數(shù)

5、是正的，那么焦點(diǎn)在軸上，項(xiàng)的分母是解：是雙曲線， ； 是雙曲線， ；是雙曲線， ； 是雙曲線， 【例2】已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，雙曲線上一點(diǎn)P到的距離之差的絕對(duì)值等于6，求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程 解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為(,) 所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為 【例3】 已知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)，且點(diǎn)，在此雙曲線上，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：由于已知焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可用設(shè)出來(lái)，進(jìn)行求解 本題是用待定系數(shù)法來(lái)解的，得到的關(guān)于待定系數(shù)的一個(gè)分式方程組，并且分母的次數(shù)是2，解這種方程組時(shí)利用換元法可將它化為二元二次方程組；也可將的倒數(shù)作為未知數(shù)，直接看作二

6、元一次方程組 解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)，所以設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （）則有 ，即解關(guān)于的二元一次方程組，得 所以，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 【例4】 點(diǎn)A位于雙曲線上，是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的重心G的軌跡方程 分析：要求重心的軌跡方程，必須知道三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，利用相關(guān)點(diǎn)法進(jìn)行求解 注意限制條件 解：設(shè)的重心G的坐標(biāo)為，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為.因?yàn)辄c(diǎn)A位于雙曲線上，從而有，即所以，的重心G的軌跡方程為 【例5】 已知的底邊BC長(zhǎng)為12，且底邊固定，頂點(diǎn)A是動(dòng)點(diǎn)，使，求點(diǎn)A的軌跡分析：首先建立坐標(biāo)系，由于點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)規(guī)律不易用坐標(biāo)表示，注意條件的運(yùn)用，可利用正弦定理將其化為邊的關(guān)系，注意

7、有關(guān)限制條件解：以底邊BC 為軸，底邊BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，這時(shí)，由得,即 所以，點(diǎn)A的軌跡是以為焦點(diǎn)，2=6的雙曲線的左支 其方程為：點(diǎn)評(píng)：求軌跡方程的過(guò)程中，有一個(gè)重要的步驟就是找出(或聯(lián)想到)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件，列方程就是根據(jù)這些條件確定的，由于軌跡問(wèn)題比較普遍，題型多樣，有些軌跡上的動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件可能比較隱蔽和復(fù)雜解決它需要突出形數(shù)結(jié)合的思考方法，運(yùn)用邏輯推理，結(jié)合平面幾何的基本知識(shí)，分析、歸納，這里安排本例就是針對(duì)以上情況來(lái)進(jìn)行訓(xùn)練的 【例6】求下列動(dòng)圓圓心M的軌跡方程:(1)與C:(x+2)2+y2=2內(nèi)切，且過(guò)點(diǎn)A（2，0）（2）與C1：x2+(y-1)2=1

8、和C2:x2+(y+1)2=4都外切.（3）與C1:(x+3)2+y2=9外切，且與C2:(x-3)2+y2=1內(nèi)切.分析：這是圓與圓相切的問(wèn)題，解題時(shí)要抓住關(guān)鍵點(diǎn)，即圓心與切點(diǎn)和關(guān)鍵線段，即半徑與圓心距離.如果相切的C1、C2的半徑為r1、r2且r1r2，則當(dāng)它們外切時(shí)，|O1O2|=r1+r2;當(dāng)它們內(nèi)切時(shí)，|O1O2|=r1-r2.解題中要注意靈活運(yùn)用雙曲線的定義求出軌跡方程.解：設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r(1)C1與M內(nèi)切，點(diǎn)A在C外|MC|=r-,|MA|=r,|MA|-|MC|=點(diǎn)M的軌跡是以C、A為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且有：a=,c=2,b2=c2-a2=雙曲線方程為2x2-=1(x-)

9、(2)M與C1、C2都外切|MC1|=r+1,|MC2|=r+2,|MC2|-|MC1|=1點(diǎn)M的軌跡是以C2、C1為焦點(diǎn)的雙曲線的上支，且有：a=,c=1,b2=c2-a2=所求的雙曲線方程為：4y2-=1(y)(3)M與C1外切，且與C2內(nèi)切|MC1|=r+3,|MC2|=r-1,|MC1|-|MC2|=4點(diǎn)M的軌跡是以C1、C2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且有：a=2,c=3,b2=c2-a2=5所求雙曲線方程為：(x2)【例7】已知雙曲線的右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線上的左支上且|PF1|PF2|=32，求F1PF2的大小.分析：一般地，求一個(gè)角的大小，通常要解這個(gè)角所在的三角形.解

10、：點(diǎn)P在雙曲線的左支上|PF1|-|PF2|=6|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=36|PF1|2+|PF2|2=100|F1F2|2=4c2=4(a2+b2)=100F1PF2=90評(píng)述：（1）巧妙地將雙曲線的定義應(yīng)用于解題當(dāng)中，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)單化.（2）題目的“點(diǎn)P在雙曲線的左支上”這個(gè)條件非常關(guān)鍵，應(yīng)引起我們的重視，若將這一條件改為“點(diǎn)P在雙曲線上”結(jié)論如何改變呢？請(qǐng)讀者試探索.【例8】已知F1、F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足F1PF2=90，求F1PF2的面積.分析：利用雙曲線的定義及F1PF2中的勾股定理可求F1PF2的面積.解：P為雙曲線上的一個(gè)點(diǎn)且F1

11、、F2為焦點(diǎn).|PF1|-|PF2|=2a=4 |F1F2|=2c=2 F1PF2=90在RtPF1F2中 |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20（|PF1|-|PF2|）2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=1620-2|PF1|PF2|=16|PF1|PF2|=2S|PF1|PF2|=1由此題可歸納出SF1PF2=b2cot評(píng)述：雙曲線定義的應(yīng)用在解題中起了關(guān)鍵性的作用.綜合發(fā)展：1.已知點(diǎn)F1（0，-13）、F2（0，13），動(dòng)點(diǎn)P到F1與F2的距離之差的絕對(duì)值為26，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（ ）A.y=0 B.y=0(x-13或x13) C.x=0(|y|13)

12、 D.以上都不對(duì)【解析】|PF1|-|PF2|=|F1F2|，P點(diǎn)的軌跡為分別以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線.【答案】C2.在方程mx2my2=n中，若mn0，則方程的曲線是（ ）A.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓D.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線【解析】 把方程mx2my2=n寫成標(biāo)準(zhǔn)方程=1mn0,0,0.方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.【答案】 D3.已知點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足=4，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（ ）A.橢圓 B.雙曲線 C.兩條射線 D.以上都不對(duì)【解析】點(diǎn)（1，1）與（-3，-3）的距離為44，P的軌跡是雙曲線.【答案】B4.已知雙曲線的方程為=1,點(diǎn)A、B

13、在雙曲線的右支上，線段AB經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F2，|AB|=m,F1為另一焦點(diǎn)，則ABF1的周長(zhǎng)為（ ）A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m【解析】 A、B在雙曲線的右支上，|BF1|BF2|=2a,|AF1|AF2|=2a,|BF1|+|AF1|(|BF2|+|AF2|)=4a|BF1|+|AF1|=4a+mABF1的周長(zhǎng)為4a+m+m=4a+2m.【答案】 B5.已知雙曲線的焦距為26，=,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）A.=1B.=1C. =1D.=1或=1【解析】 2c=26,=,c13，a225.b2=13225=144.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1或=1.【答案】 D6.F1

14、、F2為雙曲線y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且F1PF2=90,則F1PF2的面積是（ ）A.2B.4C.8D.16【解析】 雙曲線y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1(0，)、F2(0，)，F(xiàn)1PF2=90,PF12+PF22=F1F22.即PF12+PF22=20 PF1PF2=2，PF122PF2PF1+PF22=4 得2PF1PF2=16，=PF1PF2=4.【答案】 B7.雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且它的一個(gè)焦點(diǎn)在直線5x2y+20=0上，兩焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則此雙曲線的方程是（ ）A.=1B.=1C.=1D.=1【解析】 在方程5x2y+20=0中，令x=0得：y=10，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直

15、線5x2y+20=0上又在y軸上，且兩焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，c=10,a=6,b2=c2a2=10036=64.雙曲線的方程為=1，即=1.【答案】 D8.已知ABC中，B、C是兩個(gè)定點(diǎn)，并且sinB-sinC=sinA，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是（ ）A.雙曲線 B.橢圓 C.雙曲線的一部分 D.橢圓的一部分【解析】由正弦定理得|AC|-|AB|=|BC|.B、C為定點(diǎn)，|BC|為常數(shù).點(diǎn)A的軌跡是雙曲線的一部分.【答案】C9.雙曲線2x2y2=k的焦距是6，求k的值.【解】 把雙曲線的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，=1.當(dāng)k0時(shí)，a2=,b2=k，由題知+k=9即k=6.當(dāng)k0時(shí)，a2=k,b2=,k=9即k=

16、6綜上所述k=6為所求.10.過(guò)雙曲線=1的一個(gè)焦點(diǎn)作x軸的垂線，求垂線與雙曲線的交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離.【解】 雙曲線方程為=1c=13,于是焦點(diǎn)F1（13，0）、F2（13，0），設(shè)過(guò)點(diǎn)F1的垂直于x軸的直線l交雙曲線于A(13,y)(y0).,y=,即|AF1|=又|AF2|AF1|=2a=24,|AF2|=24+|AF1|=24+=故垂線與雙曲線的交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離為或.11.一雙曲線中心為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過(guò)點(diǎn)A（-2，-3）、（7，6），求雙曲線的方程.【解】當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為mx2-ny2=1(m0,n0)，則由題知解之得雙曲線的方程為=1.當(dāng)雙曲線的焦

17、點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為py2-qx2=1(p0,q0)，則此方程組的解使p、q都為負(fù)值，故應(yīng)舍去.綜上所述，所求雙曲線的方程為=1.12.已知曲線C：x2y21及直線l：y=kx1.(1)若l與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若l與C交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且AOB的面積為，求實(shí)數(shù)k的值.【解】 (1)由消y，得(1k2)x22kx20由得k的取值范圍為（，1）（1，1）（1，）（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）得x1x2，x1x2又l過(guò)點(diǎn)D(0，1)OABOADOBDx1x2x1x2（x1x2）2（2）2即（）2k0或k=.13.已知雙曲線=1，

18、P為雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，并且F1PF2=60，求F1PF2的面積.【解】|F1F2|2=4c2=4(24+16)=160.在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=160.|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=160. 又|PF1|-|PF2|=2，|PF1|2-2|PF1|PF2|+|PF2|2=96. -得|PF1|PF2|=64.=|PF1|PF2|sin60=64=16.【點(diǎn)評(píng)】若本題是填空題或選擇題時(shí)，則用解法二：=b2cot=16cot=16.14.A、B、C是我方三個(gè)炮兵陣地，A在B的正東，相距6 km，C在B的北偏西30方向上，相距4 km，P為敵炮陣地.某時(shí)刻A發(fā)現(xiàn)敵炮陣地的某種信號(hào)，由于B、C兩地比A距P地遠(yuǎn)，因此4秒后，B、C才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號(hào)（該項(xiàng)信號(hào)的傳播速度為每秒1 km）.A若炮擊P地，求炮擊的