《線性代數(shù)與空間解析幾何》(1)ppt課件

1、一、齊次線性方程組一、齊次線性方程組 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa即即 AX = 0 AX = 0平凡解：平凡解：X = 0(X = 0(零解零解) )設設 A =( 1, 2, , n), 那么以下命題等價：那么以下命題等價：1o 1, 2, , n線性相關線性相關;2o AX = 0有非零解有非零解;.)(nAR3o解的性質(zhì)：解的性質(zhì)：AX = 0 的解向量的線性組合仍為的解向量的線性組合仍為AX = 0的解的解.證證 設設1, 2, , s 為為AX = 0 的解向量，那么的解向量，那么 A(k11+ k22+ + ks

2、s ) = A(k11) + A(k22)+ + A(kss ) = k1 A1 + k2 A2 + + ksAs = k1 0 + k2 0 + + ks0 = 0. 所以，所以，k11+ k22+ + kss 仍為仍為AX = 0的的解解. W =XRn | AX = 0 為為Rn的子空間的子空間AX = 0的根底解系：的根底解系：W 的一組基的一組基.1o 假設假設1, 2, , s 線性無關線性無關;那么稱那么稱 1, 2, , r 為為AX = 0 的一個根底解系的一個根底解系.2o AX = 0的任一解向量均可由的任一解向量均可由1, 2, , s 線線性表出性表出 定理定理1 設

3、設R(A) = r n, 那么那么AX = 0有根底解系有根底解系且所含向量個數(shù)為且所含向量個數(shù)為n - r, 即即dimW = n - r, 這里這里n為為方程組未知數(shù)個數(shù)方程組未知數(shù)個數(shù).證證R(A) = r, 無妨設無妨設A的前的前r 個列向量線性無關個列向量線性無關, 那那么么ObbbbBAnrrn1111111001,行初等變換行初等變換得得AX = 0的同解方程組的同解方程組nrnrrrrnrnrxbxbxxbxbx,1111111分別取分別取,10001000121nrrxxx那么依次得那么依次得, 12121111 rnrrnrrrbbbbbbxx便得便得AX = 0的的n r

4、 個解：個解： 100,010,001, 121221111rnrrnrnrrbbbbbb可證明可證明: 1, 2, , n-r 即為根底解系：即為根底解系：線性無關線性無關100010001,(1) 證明證明 1, 2, , n-r 線性無關：線性無關： 1, 2, , n-r 線性無線性無關關為什么？為什么？(2) 可以證明可以證明AX = 0的任一解都可由的任一解都可由 1, 2, , n-r 線性表出線性表出.略略 設設 1, 2, , n - r 為為AX = 0 的一個基解系，的一個基解系，那么那么 AX = 0 的解的解 ， = k1 1+ k2 2+ + kn-r n-r ,

5、k1, k2, , kn-r R. AX = 0 的根底解系普通不獨一，但其任一根的根底解系普通不獨一，但其任一根底解系中所含向量個數(shù)必為底解系中所含向量個數(shù)必為 n (未知數(shù)個數(shù)未知數(shù)個數(shù)) - R(A). AX = 0 的的 通解通解 假設假設AX = 0有非零解，那么必有無窮多個解有非零解，那么必有無窮多個解.例例1 求方程組的通解求方程組的通解 02630284204232143214321xxxxxxxxxxx解解 026328421421A 3100000001421 0000310001421, 2)(, 42)( ARnnAR為求通解，可進一步化為為求通解，可進一步化為 000

6、0100021000031000142110351得同解方程組得同解方程組 43421103512xxxxx(x2, x4為自在未知量為自在未知量)根底解系為根底解系為 10,00121035121方程組通解為方程組通解為.R,212211 kkkkX例例2 解解 042075201063032321321321321xxxxxxxxxxxx解解 1001101003214217521063321A 000100110321r(A) =3 = n, 只需零解只需零解 X = 0例例3 解解 04320464203440324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解解 4

7、321464234411321A 3000600041201321 0000600041201321 00001000210520121 00001000010020121得同解方程組得同解方程組 021243231xxxxx(x3為自在未知量為自在未知量)根底解系為根底解系為,01212 方程組通解為方程組通解為.,RkkX 例例4 證明：與證明：與AX = 0根底解系等價的線性無關根底解系等價的線性無關的向量組也是該方程組的根底解系的向量組也是該方程組的根底解系. 證證 兩個等價的線性無關的向量組所含向量個數(shù)兩個等價的線性無關的向量組所含向量個數(shù)相等相等. 設設1, 2, , s 是是AX

8、 = 0根底解系，根底解系， 1, 2, , s與之等價與之等價. 1, 2, , s可由可由1, 2, , s 線性表出，線性表出，所以是所以是AX = 0的解；的解； AX = 0的任一解的任一解X 可由可由1, 2, , s 線性表線性表出，出， 故，故， 1, 2, , s 是是AX = 0的根底解系的根底解系.又又1, 2, , s 可由可由1, 2, , s 線性表出，線性表出，所以所以X 可由可由1, 2, , s 線性表出；線性表出； 例例5 設設n階矩陣階矩陣A, B滿足滿足AB = 0, 證明：證明： R(A)+R(B) n.證證設設 B = (b1, , bn), 那那么

9、么AB = A(b1, , bn) = (A b1 , , Abn) = 0,A bi = 0, i = 1, , n.bi ( i = 1, , n)為為AX = 0的解，所以可由根底解系的解，所以可由根底解系1, 2, , n-r(r = R(A)線性表出線性表出.所以所以, 秩秩( B) =秩秩 (b1, , bn) 秩秩(1 , , n-r)= n-r(A).即即 R(A)+R(B) n.二、非齊次線性方程組二、非齊次線性方程組 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111即即 AX = b AX = b設設 A =( 1, 2

10、, , n), 即即x1 1 + x2 2 + +xn n = b,AX = b 有解有解 b可由可由 1, 2, , n線性表出線性表出 )()(ARAR(AX = 0稱為稱為AX = b的導出組的導出組)解的性質(zhì)：解的性質(zhì)： 性質(zhì)性質(zhì)1 設設1 , 2 為為AX = b 的解的解, 那么那么1 - 2為為其導出組的解其導出組的解.證證 A(1 - 2 ) = A1 - A2 = b b = 0所以，所以， 1 - 2為為AX = 0的解的解. 性質(zhì)性質(zhì)2 設設 為為AX = b 的解的解, 為為AX = 0的解，那么的解，那么 + 為為AX = b 的解的解.證證 A( + ) = A +

11、 A = b + 0 = b所以，所以， + 為為AX = b 的解的解.AX = b 的特解：的特解： AX = b 的任一解的任一解. 性質(zhì)性質(zhì)3 設設0 為為AX = b 的一個特解的一個特解, 那么那么AX = b 的任的任一解一解 可表為可表為 = 0 + , (為為AX = 0 的一個的一個解解) 對于對于AX = b 的任一個特解的任一個特解0, 當當 取遍它的導出組取遍它的導出組的全部解時，的全部解時， = 0 + 就給出就給出AX = b 的全部解的全部解. 性質(zhì)性質(zhì)3的證明的證明 = 0 + ( - 0 )為為AX = 0的解，設為的解，設為 為了求為了求AX = b 的通

12、解全部解，只需求其一個特的通解全部解，只需求其一個特解解0, 以及導出組的全部解即可：以及導出組的全部解即可： 設設0為為AX = b 的一個特解，的一個特解， 1, 2, , n-r為為其導出組的根底解系，那么其導出組的根底解系，那么AX = b 的通解為的通解為 X = 0 + k11+ + kn-rn-r , k1 , , kn-rR例例6 解解 221323532321321xxxxxxxx解解 2210131235111A 000022105111 000022103101, 32)()( nARAR有無窮多解有無窮多解得同解方程組得同解方程組 3231223xxxx(1)求非齊次的

13、特解求非齊次的特解:取取x3=0, 得得 0 =(3,2,0)T(2)求導出組的根底解系求導出組的根底解系:取取x3=1, 得得 =(1, -2, 1)T AX = b 的通解為：的通解為： X = 0 + k , kR例例7 解解2233235332321321xxxxxxxx解解221033235113A221022105113400022105113,)()(32ARAR無解無解例例8 解解23213213211xxxxxxxxx解解21111111A111111123221110111011)(32221200111011)()()()()(11210011101122,)()(31n

14、ARAR(1) = 1時，時，有無窮多解有無窮多解000000001111A得同解方程組得同解方程組 x1 = 1- x2 x3 導出組根底解系：導出組根底解系： 1 =(-1, 1, 0)T, 2 =(-1, 0, 1)T非齊次特解：非齊次特解： 0 =(1, 0, 0)T原方程組通解：原方程組通解：X = 0 + k1 1 + k2 2 , k1 , k2 R(2) = - 2時，時，,)()(32ARAR無解無解(3) 1, - 2時，時，,)()(nARAR3有獨一解：有獨一解：2132122112)(xxx例例9 判別方程組有無解判別方程組有無解 2221221211cxbxacbx

15、axxx(a, b , c互不等)解解222111detcbacbaA )()(bcacab 0 , 3)( AR, 2)( AR( (為什么？為什么？) )所以，方程組無解所以，方程組無解例例10 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣A的秩等于的秩等于 02121111211nnnnnnnbbbbaaabaaaB的秩，證明上述方程組有解的秩，證明上述方程組有解. 證證nnnnnnnbaaabaaabaaaA21222221111211A的行向量組是的行向量組是B 的行向量組的部分組，的行向量組的部分組，A所以所

16、以的行向量組可由的行向量組可由B 的行向量組線性表出的行向量組線性表出,A的行向量組的秩的行向量組的秩 B 的行向量組的秩的行向量組的秩),()()(ARBRAR又又),()(ARAR故故),()(ARAR方程組有解方程組有解已已 知知1.).()(ARAART證明證明證證.,維維列列向向量量為為矩矩陣陣為為設設nxnmA ;)(,)(, 000TTxAAAxAAxx即即則則有有滿滿足足若若.,)()(,)(,)( T0000TTTAxAxAxxAAxxAAx從而推知從而推知即即則則滿足滿足若若,)(同同解解與與綜綜上上可可知知方方程程組組00TxAAAx思索題思索題( )()TnR AnR

17、A A).()( ARAART因因此此知四元齊次方程組知四元齊次方程組 及另一及另一 00:4221xxxxI四元齊次方程組四元齊次方程組 的通解為的通解為 II.,R1221011021T2T1kkkk .,;,?說說明明理理由由有有若若沒沒求求出出來來若若有有是是否否有有非非零零公公共共解解與與問問III2. 解解 得得的的通通解解代代入入將將III 0202221212kkkkkk.21kk 的的公公共共解解為為與與故故IIIT2T2T1111112210110,kkk所所有有非非零零公公共共解解為為 .,01111Tkk 滿滿足足的的三三個個解解向向量量方方程程組組如如果果非非齊齊次次線線性性且且矩矩陣陣是是設設321,. 1,3 bAxARmA ,32121 ,11032 10113 .的的通通解解求求bAx 3. , 1)(,3 ARmA矩矩陣陣是是.2130 無關的解向量無關的解向量個線性個線性的基礎解系中含有的基礎解系中含有 Ax則則令令,133221cba ,21231)(211 bca ,23230)(21