2021-2021版高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3.2.3空間的角的計算學(xué)案蘇教版選修2-1

1、323空間的角的計算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解直線與平面所成角的概念 .2.能夠利用向量方法解決線線、線面、面面的夾角問題.3.掌握用空間向量解決立體幾何問題的根本步驟.二知退梳理自主學(xué)習(xí)知識點一 兩條異面直線所成的角(1) 定義：設(shè)a、b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點0,作直線a/ a, b/ b,貝U a與b所成的銳角(或直角)叫做a與b所成的角.n(2) 范圍：兩條異面直線所成角9的取值范圍是0= |AB-丙 18|AB| OD|屮83 10所以異面直線 AB與CD所成角的余弦值為3 1010 .反思與感悟 建立空間直角坐標(biāo)系要充分利用題目中的垂直關(guān)系；利用向量法求兩異面直線所成角的計算思路簡便

2、，要注意角的范圍.跟蹤訓(xùn)練1 如圖，在長方體 ABC AB1C1D中，AD- AA = 1, AB= 2,點 E是棱AB上的動點假設(shè)異面直線 AD與EC所成角為60,試確定此時 動點E的位置.解 以DA所在直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以DD所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖.設(shè) E(1 , t, 0)(0 w t w 2),那么 A(1,0,0), D(0,0,0), D(0,0,1) , C(0,2,0),弘一(1,0 , 1), 6E=(1 , t 2,0),根據(jù)數(shù)量積的定義及得：1 + 0X( 2) + 0- 2X ；1+ t 2 2 cos 60 ,所以t - 1,所以點

3、E的位置是AB的中點.題型二 直線與平面所成角的向量求法例2正三棱柱 ABC1B1C的底面邊長為a,側(cè)棱長為, M為AB的中點，求BC與平 面AMC所成角的正弦值.解建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，貝UA(0,0,0),M0,2,J2a),G( 23a , 2 ,邁a), B(0 , a, 0),故AC-( , I ,伍),10設(shè)平面AMC的法向量為n= (x, y, z).aC*o ,呂x+ly+ /2az= 0，那么lAM n = 0,尹+2|乙=0,x= 0. n= (0,2 ,又 Bc=( fa, cos BG， nBG n |BG| n|99 .設(shè)BG與平面AMC所成的角為 那么 sin

4、 e = |cos BG, n|反思與感悟 借助于向量求線面角關(guān)鍵在于確定直線的方向向量和平面的法向量，一定要注 意向量夾角與線面角的區(qū)別和聯(lián)系.PA= BC跟蹤訓(xùn)練 2 如圖，四棱錐 P ABGD中, PAL底面 ABGD AD/ BC AB= AD= AC= 3,=4, M為線段 AD上一點，AM= 2MD N為PC的中點.(1) 證明MN/平面PAB(2) 求直線AN與平面PMb所成角的正弦值.2(1)證明 由得 AM= 3AD= 2.3取BP的中點T,連接AT TN由N為PC中點知TN/ BC TN= 2bc= 2.MN AT又AD/ BC故TN綊AM四邊形AMN為平行四邊形，于是因為

5、AT?平面PAB MN平面PAB所以 M/平面 PAB 解 取BC的中點E,連接AE由 AB= AC得 AEL BC從而 AELAD AEA-BAB BC =護(hù).A xyz.,2, 4) , PN=以A為坐標(biāo)原點， 鬲的方向為x軸正方向，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系由題意知,R0, 0, 4), M0, 2, 0), C ：5, 2, 0), N# , 1 , 2 , PM= (01 2 AN=1 22 2設(shè)n = (x , y , z)為平面PMN勺法向量，貝Ut2y 4z = 0 ,n PM= 0 ,即(5可取 n= (0 , 2 , 1).n PN= 0 ,Tx+ y 2z= 0，是cos

6、n,尿=能=號設(shè)AN與平面PMb所成的角為0 ,那么sin直線AN與平面PMN所成的角的正弦值為25 .題型三 二面角的向量求法例3 如圖，在三棱臺 AB( DEF中 ,平面BCFEL平面 ABC / ACB= 90 ,BE= EF= FC= 1,BC= 2 , AC= 3.(1)求證：BF丄平面ACFD求二面角B- AD- F的平面角的余弦值.(1)證明延長AD BE CF相交于因為平面 BCF丄平面 ABC且ACL BC 所以，AC丄平面BCK因此BFL AC又因為EF/ BC BE= EF= FC= 1, BC= 2，所以 BCK為等邊三角形，且 F為CK的中點，那么BF丄 CK且 CK

7、H AC= C,所以BFL平面ACFD 解 如圖，延長 AD BE, CF相交于一點 那么厶BCK為等邊三角形.AB- n= 0 ,2x2+ 3y2= 0 ,由得n = 0 , X2+取BC的中點 O貝U KC丄BC又平面 BCF丄平面ABC所以KC丄平面ABC以點0為原點，分別以射線 OB 0K的方向為x , z的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系 0- xyz.由題意得 B(1 , 0,0), c( 1,0 , 0), k(o , 0 , 3), A 1, 3 , o), E -2 , o , , F 2, 0 ,.因此，AC= (0 , 3 , 0) , Ak= (1 , 3 , 3) , Kb

8、= (2 , 3 , 0).設(shè)平面ACK的法向量為 rn= (X1 , y, zj ,平面ABK的法向量為n= (% , y2 , Z2).XC- m= 0 ,3y1= 0 ,由得一AK- m 0 ,X1+ 3y1+ 3Z1= 0,取 m (3 , 0, 1);于是,cos m, n取 n= (3 , 2 ,3)| n1| -| n2|所以，二面角B- AD- F的平面角的余弦值為 丁.反思與感悟設(shè)n1 , n2分別是平面a ,卩的法向量，那么向量 n1與圧的夾角(或其補(bǔ)角)就是兩個平面所成角的大小，如圖.用坐標(biāo)法的解題步 驟如下:(1)建系：依據(jù)幾何條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(2)求法向

9、量：在建立的空間直角坐標(biāo)系下求兩個面的法向量 計算：求m與n2所成銳角0 , cos e =(4)定值：假設(shè)二面角為銳角，那么為e ；假設(shè)二面角為鈍角，那么為n- e.跟蹤訓(xùn)練3在如下圖的圓臺中， AC是下底面圓0的直徑，EF是上底面圓O的直徑，F(xiàn)B 是圓臺的一條母線.(1)G, H分別為EC FB的中點，求證：GH/平面ABC1 EF= FB= 2AC= 2晶 AB= BC求二面角 F- BC- A的余弦值.證明 設(shè)FC中點為I，連接GI, HI，在 CEF中，因為點 G是CE的中點，所以 GI / EF又 EF/ 0B 所以 GI / 0B在厶CFB中，因為H是FB的中點，所以 HI/ B

10、C,又HI n GI = I，所以平面 GHI/平面 ABC因為GH平面GH,所以GIH/平面ABC連接00 ,貝U 00丄平面 ABC又AB= BC且AC是圓0的直徑，所以 BOL AC由題意得B(0 , 2 3, 0),C( 2 3 , 0 , 0).過點F作FM垂直0B于點M, 所以 FM= F BlM= 3,可得 F(0,3 , 3).故 ( 2 3 , 2 3 , 0) , EF= (0 , - . 3 , 3). 設(shè)mi= (x , y , z)是平面BCF的一個法向量.nr BC= 0 ,由 - 可得BF= 0.2 3x 2 3y= 0 , 寸 3y + 3z = 0.可得平面B

11、CF的一個法向量 m= 1, 1 ,因為平面ABC的一個法向量n= (0 , 0 , 1),n ,7 所以 cos m, n=丐-.丨 mi nl 7所以二面角F BG A的余弦值為 斗.戸當(dāng)堂檢測自育自糾11.向量 m n分別是直線I和平面a的方向向量和法向量，假設(shè) cos m n= -，那么直線l與平面a所成的角為答案30解析由cosm n= 2知，直線l與平面a所成的角為90 60= 302.兩平面的法向量分別為m= (0,1,0), n= (0,1,1)，那么兩平面所成的二面角的大小為答案 45或135解析- cos mn.面角的大小為 45或1353 .在正三棱柱 ABCAC中，假設(shè)

12、AB=J2bB，貝U AB與GB所成角的大小為 答案 90解析 建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BB= 1,那么A(0,0,1),B i6，2，0，G(0，2, 0),B，亠.2，2，-AB=誓，爭，1 , 註子，-子，1， AB CB= 6- 1 = 0,二 AB丄 C1B44即AB與CB所成角的大小為90.4.正方體 ABC ABCD中，BB與平面ACD所成角的余弦值為 _ 答案中解析設(shè)正方體的棱長為1，建系如圖.那么 Q0,0,0),政1,1,0),B(1,1,1).平面ACD勺一個法向量為DB= (1,1,1)又 BB = (0,0,1),那么cosDB, BB =DB BB| DB| DB|1 =遲3X1 3故BB與平面ACD所成角的余弦值為3 5在長方體 ABCBABCD中，DA= DC= 4, DD= 3,那么異面直線 AB與BC所成角的余弦值為答案25解析如圖