次根式的概念及性質(zhì)

1、二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì)一、二次根式的有關(guān)概念：1. 二次根式：式子(a 0) 叫做二次根式2. 最簡(jiǎn)二次根式：滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式；( 1 )被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；( 2 )被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。如不是最簡(jiǎn)二次根式，因被開方數(shù)中含有 4 是可開得盡方的因數(shù)，又如 ， ， 都不是最簡(jiǎn)二次根都是最簡(jiǎn)二次根式3. 同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次 根式就叫做同類二次根式。如 , , 就是同類二次根式，因?yàn)?=2 ， =3 ， 它們與的被開方數(shù)均為 2 。4. 有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如

2、果它們的積不含有二次根式，則說這 兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。如 與 ， a+ 與 a- ， - 與 + ，互為有理 化因式。二、二次根式的性質(zhì)：1. (a 0) 是一個(gè)非負(fù)數(shù) , 即 0;2. 非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根再平方仍得這個(gè)數(shù)，即： () 2=a(a 0) ；3. 某數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于某數(shù)的絕對(duì)值，即 =|a|=4. 非負(fù)數(shù)的積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積，即 = a0,b 0)5. 非負(fù)數(shù)的商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根，即a0,b0)三、例題：例 為何值時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)才有意義：1)3)4)5)分析：這是一組考察二次根式基本概念的問題

3、，要弄清每一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式的含義，根據(jù)分式和根式成立的條件去解，即要考慮到分式的分母不能為 0 并且偶次根號(hào)下被開方數(shù)要大于或解：( 1) 6- x0, x6 時(shí)原式有意義。( 2) x 2 0, x 2+30, x 取任意實(shí)數(shù)原式都有意義。(3) 當(dāng) x3 且 x -3 時(shí)，原式有意義。4)當(dāng) - x 時(shí)，原式有意義。當(dāng) x0且 x1 時(shí)，原式有意義。當(dāng) x=2 時(shí)，原式有意義。例 2. 寫出下列各等式成立的條件：1)=-3x3) =1+2a2)=-mn4) = 5) - =7分析：本題考察算術(shù)平方根的概念及二次根式的性質(zhì)。解：（ 1）mn0, - 3x 0,3x 0, x 0.2)= =|m

4、n| =-mn成立，隱含 m 0,3）m0 且 n0.=|2a+1|=1+2a1+2a 0, a - .4）由題意得=|x+5|-|2-x|=7只有 |x+5|=x+5, |2-x|=x-2 時(shí)才成立，x2.例 3. 化簡(jiǎn)下列各式：4)2x3)6)(y3, |= -3.2)m0,要使 有意義，則a0,(3) 2x3, 原式 = +|2-x|+ =|2-x|+|2-x|+|x-3|=x-2+x-2+3-x=x-1.在這里我們分 3x- 10或 3x-10 兩種情況進(jìn)行了討論。= +|x-y|+y-x=- +y-x.6) y0,原式=2|xy|=-2|x|y當(dāng) x0時(shí) , 原式 =-2xy當(dāng) x0

5、 時(shí) ,原式 =2xy( 7 )+= + =|4-x|+|x+1|x-1, 若|4-x|=0, 則 x=4;若|x+1|=0 則 x=-1 ，則本題需要將 x 的取值分成三段，即分 - 1x4, x 4 三段來進(jìn)行討論。當(dāng) x -1 時(shí)，原式 =4-x+(-x-1)=4-x-x-1=3-2x.當(dāng) -1x4 時(shí) , 原式 =4-x+x+1=5.當(dāng) x4時(shí)，原式 =x-4+x+1=2x-3.例 4. 把根號(hào)外的因式移至根號(hào)內(nèi)：分析：本題需逆用性質(zhì) = （a0,b 0） 只能將根號(hào)外的正因式移至根號(hào)內(nèi)解：（ 1） 2 = =2) -5=- =-3) m 0,4)x(x 0) x =- =-例 5. （ 1 ）已知： y-1=, 求： x+2y 的值2)若+|x-2y|=0, 求： x2+y2 的值分析：（ 1）觀察已知條件，等式右邊有兩個(gè)根式，要使兩個(gè)根式有意義，則 x=2 ， y=1, 從而可求出 x+2y 的值。（ 1 ）解：由已知可得： x=2, y=1當(dāng) x=