直線和圓知識(shí)點(diǎn)歸納

1、練習(xí)一（直線和圓部分）知識(shí)梳理1.直線的傾斜角的范圍是；求直線斜率的兩種方法： 定義：k （斜率公式：k y2 y1 （xi X2） 答案0,180 X2 X12 直線方程的幾種形式： 點(diǎn)斜式，適用范圍：不含直線X Xo ；特例：斜截式，適用范圍：不含垂直于X軸的直線；特例：截距式，適用范圍：不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線y2）；兩點(diǎn)式，適用范圍：不含直線x X1（X1 X2）和直線y 如（如一般式，適用范圍：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用3求過R（X1,yJ，P2（X2, y2）的直線方程時(shí)：（1 ）若X1 X2，且y1 y2時(shí)，直線垂直于X軸，方程為X為；（2）若X1 X2，且y1 y2時(shí)，

2、直線垂直于 y軸，方程為y y ；（3） 若X1 X2 0，且y1 y2時(shí)，直線即為y軸，方程為x 0；（4） 若X1 X2，且y y2 0時(shí)，直線即為x軸，方程為y 0。4 .已知直線h ： y k1X bi，直線12: y丨1與12相交 ；丨1與12重合 ；5.已知直線11 : A|X B G 0，直線11與12相交 ；丨1與12 重合 ；6 兩點(diǎn)P（X1,yJ , P2（X2, y2）之間的距離k2X b2，貝U丨1與12平行 11與12垂直 2: A2 x B2 y C2 0 ,貝V11與12平行 11與12垂直 PP2 =；點(diǎn)P(x ,y )到直線l : Ax By C 0的距離d

3、兩平行直線ll :AxByCl 0與l2: Ax By C2 0之間的距離d.7 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2(r 0),其中為圓心，為半徑；圓的一般方程為2 x2yDxEyF 0表示圓的充要條件是 D2 E24F 0,其中圓心為，半徑為.8 .點(diǎn)與圓的位置關(guān)系2 2 2圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x a) (y b) r ,點(diǎn)M (x, y)，(1)點(diǎn)在圓上：(X0a)2(y0b)22r ;(2)點(diǎn)在圓外：(X0a)2(y0b)22r ;(3)點(diǎn)在圓內(nèi)：(Xa)2(y0b)22 r 。9 直線與圓的位置關(guān)系判斷直線與圓的三種位置關(guān)系常用的兩種判斷方法:(1)代數(shù)法：直線方程和圓的方程聯(lián)立方程組

4、消去x或y整理成一元二次方程后,計(jì)算判別式b24ac0;b24ac0;b24ac0。(2)幾何法：禾U用圓心到直線的距離d和圓半徑的大小關(guān)系 d r : d r ； d r 。10 圓的切線方程 若圓的方程為x2 y2 r2，點(diǎn)P(Xo,yo)在圓上，則過 P點(diǎn)，且與圓x2 y2 r2相2切的切線方程為XX。 yyo r ；2 2 2 經(jīng)過圓(x a) (y b) r上的P(x。，y。)的切線方程為：2(xo a)(x a) (yo b)(y b) r。y y k(x x)點(diǎn)P(xo, yo)在圓外，則可設(shè)切線方程為y yo k(x xo),利用直線與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出

5、k。11 計(jì)算直線被圓截得的弦長(zhǎng)的兩種方法：(1) 幾何法：運(yùn)用弦心距、弦長(zhǎng)的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算。(2) 代數(shù)法：利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式AB4lk2|xa XbJ(1 k2) (xaXb)24xaXb- 2 22_ 2 2 212 .設(shè)圓 G ： (xxj(y %)r1，圓C2:(xx?)(yy?)Q ,則有兩圓相離C1C2;外切C1C2 ;內(nèi)切C1C2 相交 C1C2 ；內(nèi)含C1C2 .13 .對(duì)稱冋題 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱：禾U用中點(diǎn)坐標(biāo)公式。 直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：利用取特殊點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法。 點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱：利用垂直和平分。 直線關(guān)于直線對(duì)稱：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題解決。如果是平行直線，還

6、可以利用平行直線之間距離。如果是相交直線，可以利用已知交點(diǎn)，夾角相等的方法。常用的對(duì)稱關(guān)系：點(diǎn)(a,b)點(diǎn)(a,b)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)(-a,-b),(2ao a,2bo a)點(diǎn)(a,b)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)(a,-b),點(diǎn)(a,b)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為(b,a),點(diǎn)(a,b)關(guān)于點(diǎn)(ao,bo)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)(a,b)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(-a,b),點(diǎn)(a,b)關(guān)于直線y= -x的對(duì)稱點(diǎn)(-b,-a),點(diǎn)(a,b)關(guān)于直線y=x+m 的對(duì)稱點(diǎn)為(b-m,a+m), 點(diǎn)(a,b)關(guān)于直線y= -x+m 的對(duì)稱點(diǎn) (m-b,m-a).練習(xí)題(第一部分)31 .直線的傾斜角為,右 sin，則此直

7、線的斜率是()53434A.-B.-C .D .-43432.直線過點(diǎn)(-1 ,2 )且與直線y-x垂直，則的方程是3A. 3x 2y1 0B. 3x 2y 70C. 2x 3y5 0D. 2x 3y 803 .已知兩條直線y ax 2 和y(a 2)x1互相垂直，則a等于()A. 2B . 1C . 0D 1解析：兩條直線yax 2 和 y(a2)x 1互相垂直，則a(a2) 1 , a= 1，選 D點(diǎn)評(píng)：直線間的垂直關(guān)系要充分利用好斜率互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系，同時(shí)兼顧到斜率為零和不存在兩種情況4 已知 A(2, 3)、B( 3, 2)，直線I過P(1,1)且與線段AB有交點(diǎn)，設(shè)直線1 1的斜率為

8、k ,則k的取值范圍()A k 3 或 k4B 3k3C k31或k-D.3k 444444解析：過點(diǎn)B( 3,2)、P(1,1)的直線斜為k1；2)3)3-，過點(diǎn)A(2,43)、P(1,1)的直線斜率為k21(3)4，畫圖可看出過點(diǎn)P(1,1)的直線與線段AB有公共點(diǎn)可1 2看作直線繞點(diǎn)P(1,1)從PB旋轉(zhuǎn)至PA的全過程。S ,如果符合條件的直線l能5 直線l經(jīng)過點(diǎn)P(2,1),且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為作且只能作三條，則 S (C. 5解析：設(shè)直線方程為1,a b2則有一a11，當(dāng) a,b 0 時(shí)，ba4，顯然與兩坐標(biāo)得ab 8，即I與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形的面積的最小值為軸圍

9、成的三角形在二、四象限時(shí)各有一個(gè)面積為 4 ,共可作且只可作三條符合條件的 直線I。6 已知直線I : x y 10 , li : 2x y 20，若直線I2與li關(guān)于I對(duì)稱，則I2的方程為()A x 2y 10B x 2y 10C x y 10D x 2y 10解析：在I1上取兩點(diǎn)(0, 2),(1,0)，則它關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)為(1, 1),(1,0)，所以I2的方 程為x 2y 10。7 已知點(diǎn)M (0, 1)，點(diǎn)N在直線x y 10上，若直線MN垂直于直線x 2y 30 ,則點(diǎn)N的坐標(biāo)是()A ( 2, 1)B (2,3)C (2,1)D ( 2,1)二、填空題8 過點(diǎn)(1, 2)且與

10、直線x 2y 1 0平行的直線方程是 _x 2y 5 0_ .9 已知兩條直線 I1 : ax 3y 3 0,l2 :4x 6y 1 0.若 I1/I2，則 a.a2解：兩條直線 l1: ax 3y 3 0,l2 :4x 6y 1 0.若 I1/I2,，則 a 2 3310 若過點(diǎn)P(1 a,1 a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是: a ( 2,1)11 如果ab 0,直線axby c0的傾斜角為,且 sin -41sinV1sin ,則2直線的斜率為解析：由 sin v1 sinJ1sinsin 一cos sin 一cos22222因?yàn)閍b 0,直線axby c

11、0的傾斜角為,所以tana-0,又0,b所以（一，），（一，），所以 0 cos sin ,224 222所以 sin (sincos) (sincos) 2cos ,2 2 2 2 2 2所以 tan 2 , k tan22 tan 一421 tan2 32三、解答題12.已知直線I經(jīng)過直線3x 4y 20與直線2x0的交點(diǎn)P，且垂直于直線x 2y 10.（I）求直線I的方程；（n）求直線I與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S.3x 4y 2 0,x 2,解：（I）由解得2x y 20.y 2.由于點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2 , 2）.則所求直線I與直線x 2y 10垂直，可設(shè)直線l的方程為 2x y C

12、0.把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得 222 C 0，即 C 2.所求直線l的方程為 2x y 20.（n）由直線l的方程知它在x軸、y軸上的截距分別是1、 2,1所以直線I與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積 S 121.213.求經(jīng)過直線I1 : 3x 4y 50與直線J : 2x 3y 80的交點(diǎn)M，且滿足下列條件經(jīng)過原點(diǎn)；與直線 I3 : 2x y 5 0平行；與直線I4: 2x y 5 0垂直的直線方程。答案：x 2y 50y i,14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長(zhǎng)為2，寬為1 , AB、AD邊 分別在x_DcI I i O, I TA）X軸、y軸的正半軸上，A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，將矩形折疊，使A

13、點(diǎn)落在線段DC上，若折痕所在的直線的斜率為 k，試寫出折痕所在直線的方程。1解：（1 ）當(dāng)k 0時(shí)，A、D重合，折痕所在直線方程為y 2（2）當(dāng)k 0時(shí)，設(shè)折疊后 A落在線段上的點(diǎn)為 G（a,1），所以A與G關(guān)于折痕所在直線對(duì)稱。kAG k 1，可得 a k,從而G（ k,1），線段0G之中點(diǎn)為M(,2 2折痕所在直線方程為kk(x )，化簡(jiǎn)得y2 2k21kx2 2練習(xí)題（第二部分）直線y 9與圓（x 1）21的位置關(guān)系是C.相離D.相交且直線過圓心2 與圓C2:x2y2x 350同圓心，且面積為圓C面積的一半的圓的方程為（）A. (x1)22y18B. (x 1)22y9C. (x1)22

14、y6D. (x1)22y33 圓心為C1-,3的圓與直線l : x 2y 30 交于 P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿2A .相交但直線不過圓心B.相切0 ,則圓C的方程為（1 2亠、251 2亠、25A. (x-)(y3)B. (x -)(y3)22221 22251 2亠、225C. (x)2(y3)D. (x -)(y3)2424x 1 cos4. P(x, y)是曲線y sin .2 2上任意一點(diǎn)，則（X 2） （y 4）的最大值為（5 .兩個(gè)圓G ：2 2x y2x2y 22 20 與 C2: x y4x 2y10的公切線有且僅有（）A. 1條B.2條C.3條D. 4條解析：因?yàn)锳20

15、,124,002S3，所以1r2 Q0 212，所以兩圓相A 36B. 26C. 25D. 6交，故兩圓公切線有 2條。6 .從圓x22xy2 2y 10外一點(diǎn)P 3,2向這個(gè)圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為（)133D. 0A.B.C.2522解析：圓x2xy2 2y10的圓心為M(1,1），半徑為1，從外一點(diǎn)P（3, 2）向:2丄21 1443，該角的余弦值等于-。35圓作兩條切線，則點(diǎn) P到圓心M的距離等于.5，每條切線與 PM的夾角的正切值1等于一，所以兩切線夾角的正切值為tan2l : ax by 0的距離為2、2 ,2 27.若圓x y 4x 4y 100上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直

16、線則直線I的斜率的取值范圍是（）B. 2.3,2. 3 D . 0,2 2解析：圓x y 4x 4y 100 整理為(x 2)2 (y 2)2(3、2)2 ,圓心坐標(biāo)為（2 , 2），半徑為 32 ,要求圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l : ax by 0的距離為2 2 ,則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于2 ,| 2a_2b |- a2 b22， (b)2 4 1 23(詁 23, k (b) , 2 3 k 2 3，選 B.8 .若直線2x y2c 0按向量a = 1,-1平移后與圓x2y5相切，則c的值為（）C. 4 或 6解：將直線2xc 0按向量a= 1,-1平移得2（x1)(y 1) c

17、o,即2x y0,因?yàn)?x0與圓x25相切，所以,5 ,二、填空題299.圓x y ax 2y 10關(guān)于直線x2 2y 1對(duì)稱的圓的方程是x y10，則實(shí)數(shù)a的值是210 .若半徑為1的圓分別與y軸的正半軸和射線 yfx（x 0）相切，則這個(gè)圓的方程解析：若半徑為1的圓分別與y軸的正半軸和射線 yx(x 0)相切,3則圓心在直線 y ,3x上，且圓心的橫坐標(biāo)為所以縱坐標(biāo)為. 3 ,2這個(gè)圓的方程為（X 1）（y、3）21。11 .已知圓M :(x cos )2(y sin )21，直線 l:y kx，下面四個(gè)命題:對(duì)任意實(shí)數(shù)k與，直線l和圓M相切;對(duì)任意實(shí)數(shù)k與，直線l和圓M有公共點(diǎn);對(duì)任意實(shí)

18、數(shù)，必存在實(shí)數(shù)k,使得直線I與和圓M相切對(duì)任意實(shí)數(shù)k，必存在實(shí)數(shù)，使得直線I與和圓M相切.其中真命題的序號(hào)是（寫出所有真命題的序號(hào)）解：，圓心坐標(biāo)為（cos ,sin ）,kcos sin |/ + k2|sin( + )| . . z . Al dd =|si n( + )| 1。Jl + k2/ + k212 .函數(shù) f (x)x2 4x 13x2 12x 37 的最小值為 . 4 22 213 從原點(diǎn)向圓x y 12y270作兩條切線，則該圓夾在兩條切線間的劣弧長(zhǎng)為解析：利用數(shù)形結(jié)合解此題有優(yōu)勢(shì)。2 2 2 2因?yàn)閤 y 12y270，所以x (y 6)9，圓心在(0,6)，半徑為3，設(shè)

19、圓心為M，切點(diǎn)為N，則在Rt OMN中，OM 6,MN 3,所以 MON ,62l 2所以兩切線的夾角為，劣弧所對(duì)的圓心角為，故劣弧的 弧長(zhǎng)為丨23333三、解答題14 求過直線2x y 40和圓x2 y2 2x 4y 10的交點(diǎn)，且滿足下列條件之一的圓的方程.(1 )過原點(diǎn)；(2)有最小面積.22x15 如果實(shí)數(shù)x,y滿足x y 4x 10 ,求一的最大值；y x的最小值；y2 2 fx y的最值.分析：x2 y2 4x 10表示以(2,0)點(diǎn)為圓心，半徑為 的圓，為圓上的點(diǎn)M與原y點(diǎn)連線的斜率；設(shè) y x b，則y x b，可知b是斜率為1的直線在y軸上的截距，于 是問題實(shí)質(zhì)上是求圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的最大值；實(shí)質(zhì)上是求斜率為1的直線與已知圓有公共點(diǎn)時(shí)直線的縱截距的最小值