數(shù)學(xué)建模食堂排隊(duì)問題

1、數(shù)學(xué)建模作業(yè) 食堂排隊(duì)問題建模食堂排隊(duì)問題建模 演講人：馬朋博 學(xué)號：20130067 班級:試1301 同組成員：高記遠(yuǎn) 許童心 韓敏 曾航引言引言 在學(xué)校，我們常常可以看到這樣的情景：下課后，許多同學(xué)爭相跑向食堂去買飯，為數(shù)不多的食堂窗口前很快就排滿了長長的隊(duì)伍。所以增加窗口數(shù)量，減少排隊(duì)等待時間，是同學(xué)們十分關(guān)心的問題。然而就食堂角度來看，雖然可以贏得更多同學(xué)到該食堂來就餐。但同時也會增加食堂的運(yùn)營成本。因此，我們將根據(jù)綜合食堂中午的擁擠狀況建立數(shù)學(xué)模型，為其擁擠狀況找到一個比較合理的解決方案。摘要摘要n 首先，我們分析了一些調(diào)查數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生流符合泊松分布，服務(wù)時間符合指數(shù)分布，由此，

2、我們的模型就變成了排隊(duì)理論模型。n 根據(jù)模型求解得到的數(shù)據(jù)，我們對模型分析后發(fā)現(xiàn)，解決本模型的關(guān)鍵就在于分析學(xué)生平均排隊(duì)時間，如果對其窗口數(shù)進(jìn)行關(guān)系擬合，就兩者之間的關(guān)系進(jìn)行分析。n 針對窗口數(shù)與顧客平均排隊(duì)時間之間的關(guān)系，比較增加窗口后成本的增加量與減少排隊(duì)等待時間所帶來的收益之間的關(guān)系。模型的建立與分析模型的建立與分析 我們假設(shè)食堂的座位數(shù)是足夠的，不需要添加新的桌椅。所以解決食堂擁擠狀況，主要解決排長隊(duì)的問題。就此問題建立模型，進(jìn)行分析。 食堂窗口與就餐人員之間是服務(wù)機(jī)構(gòu)與顧客的關(guān)系,可以按如下示意圖表示等待服務(wù)等待服務(wù)顧客顧客接受服務(wù)接受服務(wù)到達(dá)到達(dá)排隊(duì)規(guī)則排隊(duì)規(guī)則服務(wù)時間服務(wù)時間服務(wù)

3、系統(tǒng)服務(wù)系統(tǒng)離開離開 我們假設(shè)學(xué)生到食堂就餐的時刻是隨機(jī)的,用n(t)表示0,t)時間內(nèi)到達(dá)該服務(wù)系統(tǒng)的顧客數(shù), 用v(n)表示第n位顧客所需的服務(wù)時間,則有隨機(jī)變量 v(n), n=1,2,. 因此,由排隊(duì)論的有關(guān)知識, t時刻到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的人數(shù)為k 的概率為: p(n(t)=k)= ,k=1,2,其中0, 第n位顧客所需的服務(wù)時間不超過t的概率服從負(fù)指數(shù)分布:p(v(n)t)= 其中0.1,00,0utett ()!kttek為了使模型便于求解為了使模型便于求解,我們假定：我們假定：n 每個工作人員的打飯效率相同。n 每個窗口的飯菜相同。n 食堂打飯服務(wù)系統(tǒng)的容量無限,來到食堂就餐的學(xué) 生

4、不會在未打好飯之前離去. 這樣,得到一個輸入過程為最簡單流,服務(wù)時間為負(fù)指數(shù)分布,1個服務(wù)臺,系統(tǒng)容量無限,顧客數(shù)無限的等待制排隊(duì)模型.這里這里,對有關(guān)符號的數(shù)量指標(biāo)加以說明對有關(guān)符號的數(shù)量指標(biāo)加以說明:n 單位時間內(nèi)平均到達(dá)的顧客數(shù),即平均到達(dá)率;n 單位時間內(nèi)受到服務(wù)的顧客數(shù),即平均服務(wù)率;n1/ 每位顧客的平均服務(wù)時間;nlq 等待隊(duì)長的期望值; nwq 等待時間的期望值. 模型求解 假設(shè)食堂有4個服務(wù)窗口,對該食堂進(jìn)行討論.在12:00至12:40之間,每4分鐘為1個時段,統(tǒng)計到達(dá)人數(shù),如下表.求得平均到達(dá)率為:= (68+93+105+118+134+147+136+113+89+4

5、7)/(1044) = 5.94 (人/分鐘)相應(yīng)地,對50名顧客接受服務(wù)的時間進(jìn)行統(tǒng)計,得到下表.1/=(22.5+357.5+812.5+317.5+122.5+127.5)/(5060) =9.42（秒）=0.157(分鐘)求得平均服務(wù)時間為:所以平均服務(wù)率為: = 6.37 (顧客/分鐘) 結(jié)果分析 上述模型求出的平均服務(wù)時間為9.4秒,這與實(shí)際情況大體吻合;等待隊(duì)長的期望值為12.88顧客,明顯偏長,但實(shí)際上,高峰期往往排隊(duì)會更長些,這主要是因?yàn)樵诟叻迤?用餐人數(shù)比閑時明顯增多(如下圖所示),且持續(xù)時間較長;相應(yīng)地,現(xiàn)實(shí)中高峰期的等待時間也比求得的平均等待時間(2.17分鐘)要久.時

6、段到達(dá)人數(shù)窗口設(shè)置改進(jìn)現(xiàn)假設(shè)各時段內(nèi)的用餐人數(shù)是均勻增加的,根據(jù)各時段的到達(dá)人數(shù)分別求出每個時段需要的窗口數(shù),如下表所示.窗口數(shù)時段所以時間12:0012:0512:1512:3512:40窗口344454時段12344578910服務(wù) 76.4476.44 101.9101.9 101.9101.9 101.9101.9 127.4127.4 127.4127.4 127.4127.4 127.4127.4 127.4127.4 50.9650.96排隊(duì)003.0816.086.619.68.6000給食堂管理部門的建議 n 按就餐人員到達(dá)時間設(shè)置窗口:12:00前個,12:00后3個,12:05后4個,12:15后5個,12:35后4個,12:40后2個.調(diào)整后,就餐人員排隊(duì)等待時間僅為原來的一半,排隊(duì)造成的不滿也將明顯減少;同時,食堂窗口所